基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案.pdf

基 本 不 等 式 及 其 应 用 1 基 本 不 等 式 若 a0 ,， b 0 ， 则 ， 当 且 仅 当 时 取 “ ” 这 一 定 理 叙 述 为 ： 两 个 正 数 的 算 术 平 均 数 它 们 的 几 何 平 均 数 注 ： 运 用 均 值 不 等 式 求 最 值 时 ， 必 须 注 意 以 下 三 点 ： (1 )各 项 或 各 因 式 均 正 ； （ 一 正 ） (2 )和 或 积 为 定 值 ； （ 二 定 ） (3 )等 号 成 立 的 条 件 存 在 ： 含 变 数 的 各 项 均 相 等 ， 取 得 最 值 （ 三 相 等 ） 2 常 用 不 等 式 (1 )a 2 b 2 (a ， b R ) (2 ) 注 ： 不 等 式 a2 b 2 2 ab 和 它 们 成 立 的 条 件 不 同 ， 前 者 只 要 求 a、 b 都 是 实 数 ， 而 后 者 要 求 a、 b 都 是 正 数 .其 等 价 变 形 ： ab （ ） 2 . (3 ) a b (a ， b R ) (4 ) 2 (a ， b 同 号 且 不 为 0 ) (5 )(a ， b R ). （ 6 ） (7 )a b c; (8 )； 3 利 用 基 本 不 等 式 求 最 大 、 最 小 值 问 题 (1 )求 最 小 值 ： a 0 ， b 0 ， 当 a b 为 定 值 时 ， a b ， a 2 b 2 有 ， 即 a b ， a 2 b 2 . (2 )求 最 大 值 ： a 0 ， b 0 ， 当 a b 为 定 值 时 ， a b 有 最 大 值 ， 即 ； 或 a 2 b 2 为 定 值 时 ， a b 有 最 大 值 (a 0 ， b 0 )， 即 . 设 a ， b R ， 且 a b 3 ， 则 2 a 2 b 的 最 小 值 是 ( ) A.6 B.4 C.2 D.2 解 ： 因 为 2 a 0 ， 2 b 0 ， 由 基 本 不 等 式 得 2 a 2 b 2 2 4 ， 当 且 仅 当 a b 时 取 等 号 ， 故 选 B. 若 a 0 ， b 0 ， 且 a 2 b 2 0 ， 则 a b 的 最 大 值 为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 解 ： a 0 ， b 0 ， a 2 b 2 ， a 2 b 2 2 ， 即 a b .当 且 仅 当 a 1 ， b 时 等 号 成 立 .故 选 A . 小 王 从 甲 地 到 乙 地 往 返 的 时 速 分 别 为 a 和 b (a b )， 其 全 程 的 平 均 时 速 为 v ， 则 ( ) A.a v B.v C. v D.v 解 ： 设 甲 、 乙 两 地 之 间 的 距 离 为 s. a b ， v . 又 v a a 0 ， v a .故 选 A . ()若 实 数 x， y满 足 xy 1 ， 则 x2 2 y2 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解 ： 由 xy 1 得 x2 2 y2 x2 2 ， 当 且 仅 当 x 时 等 号 成 立 .故 填 2. 点 (m， n )在 直 线 x y 1 位 于 第 一 象 限 内 的 图 象 上 运 动 ， 则 lo g 2 m lo g 2 n 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解 ： 由 条 件 知 ， m 0 ， n 0 ， m n 1 ， 所 以 mn ， 当 且 仅 当 m n 时 取 等 号 ， lo g 2 m lo g 2 n lo g 2 mn lo g 2 2 ， 故 填 2. 类 型 一 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 (1 )求 函 数 y (x 1 )的 值 域 . 解 ： x 1 ， x 1 0 ， 令 m x 1 ， 则 m 0 ， 且 y m 5 2 5 9 ， 当 且 仅 当 m 2 时 取 等 号 ， 故 ymin 9 . 又 当 m 或 m0 时 ， y ， 故 原 函 数 的 值 域 是 9 ， ). (2 )下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是 ( ) A.lg lg x(x0 ) B.sin x 2 (xk， k Z) C.x2 1 2 (x R ) D.1 (x R ) 解 ： A中 ， x2 x(x 0 )， 当 x 时 ， x2 x. B中 ， sin x 2 (sin x (0 ， 1 )； sin x 2 (sin x 1 ， 0 ). C中 ， x2 2 |x| 1 (|x| 1 )2 0 (x R ). D中 ， (0 ， 1 (x R ).故 C一 定 成 立 ， 故 选 C . 点拨： 这 里 (1 )是 形 如 f(x) 的 最 值 问 题 ， 只 要 分 母 x d 0 ， 都 可 以 将 f(x) 转 化 为 f(x) a (x d ) h (这 里 a e 0 ； 若 a e 0 ， 可 以 直 接 利 用 单 调 性 等 方 法 求 最 值 )， 再 利 用 基 本 不 等 式 求 其 最 值 . (2 )牢 记 基 本 不 等 式 使 用 条 件 一 正 、 二 定 、 三 相 等 ， 特 别 注 意 等 号 成 立 条 件 要 存 在 . (1 )已 知 t 0 ， 则 函 数 f(t) 的 最 小 值 为 . 解 ： t 0 ， f(t) t 4 2 ， 当 且 仅 当 t 1 时 ， f(t)min 2 ， 故 填 2. (2 )已 知 x 0 ， y 0 ， 且 2 x 8 y xy 0 ， 求 ： ( )xy的 最 小 值 ； ( )x y的 最 小 值 . 解 ： ( )由 2 x 8 y xy 0 ， 得 1 ， 又 x 0 ， y 0 ， 则 1 2 ， 得 xy6 4 ， 当 且 仅 当 x 4 y， 即 x 1 6 ， y 4 时 等 号 成 立 . ( )解 法 一 ： 由 2 x 8 y xy 0 ， 得 x ， x 0 ， y 2 ， 则 x y y (y 2 ) 1 0 1 8 ， 当 且 仅 当 y 2 ， 即 y 6 ， x 1 2 时 等 号 成 立 . 解 法 二 ： 由 2 x 8 y xy 0 ， 得 1 ， 则 x y (x y) 1 0 1 0 2 1 8 ， 当 且 仅 当 y 6 ， x 1 2 时 等 号 成 立 . 类 型 二 利 用 基 本 不 等 式 求 有 关 参 数 范 围 若 关 于 x的 不 等 式 (1 k2 )xk4 4 的 解 集 是 M， 则 对 任 意 实 常 数 k， 总 有 ( ) A.2 M， 0 M B.2 M， 0 M C.2 M， 0 M D.2 M， 0 M 解 法 一 ： 求 出 不 等 式 的 解 集 ： (1 k2 )xk4 4 x (k2 1 ) 2 x 2 2 (当 且 仅 当 k2 1 时 取 等 号 ). 解 法 二 (代 入 法 )： 将 x 2 ， x 0 分 别 代 入 不 等 式 中 ， 判 断 关 于 k的 不 等 式 解 集 是 否 为 R . 故 选 A . 点拨： 一 般 地 ， 对 含 参 的 不 等 式 求 范 围 问 题 通 常 采 用 分 离 变 量 转 化 为 恒 成 立 问 题 ， 对 于 “恒 成 立 ”的 不 等 式 ， 一 般 的 解 题 方 法 是 先 分 离 然 后 求 函 数 的 最 值 .另 外 ， 要 记 住 几 个 常 见 的 有 关 不 等 式 恒 成 立 的 等 价 命 题 ： ( 1) a f(x)恒 成 立 a f(x)max ； (2 )a f(x)恒 成 立 a f(x)min ； (3 )a f(x)有 解 a f(x)min ； (4 )a f(x)有 解 a f(x)max . 已 知 函 数 f(x) ex e x， 其 中 e是 自 然 对 数 的 底 数 .若 关 于 x的 不 等 式 mf(x)e x m 1 在 (0 ， )上 恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 . 解 ： 由 条 件 知 m(ex e x 1 )e x 1 在 (0 ， )上 恒 成 立 . 令 t ex(x 0 )， 则 t 1 ， 且 m 对 任 意 t 1 成 立 . t 1 1 2 1 3 ， ， 当 且 仅 当 t 2 ， 即 x ln 2 时 等 号 成 立 . 故 实 数 m的 取 值 范 围 是 . 类 型 三 利 用 基 本 不 等 式 解 决 实 际 问 题 围 建 一 个 面 积 为 3 6 0 m2 的 矩 形 场 地 ， 要 求 矩 形 场 地 的 一 面 利 用 旧 墙 (利 用 旧 墙 需 维 修 )， 其 它 三 面 围 墙 要 新 建 ， 在 旧 墙 的 对 面 的 新 墙 上 要 留 一 个 宽 度 为 2 m的 进 出 口 ， 如 图 所 示 ， 已 知 旧 墙 的 维 修 费 用 为 4 5 元 /m， 新 墙 的 造 价 为 1 8 0 元 /m， 设 利 用 的 旧 墙 的 长 度 为 x(单 位 ： 元 )， 修 建 此 矩 形 场 地 围 墙 的 总 费 用 为 y(单 位 ： 元 ). (1 )将 y表 示 为 x的 函 数 ； (2 )试 确 定 x， 使 修 建 此 矩 形 场 地 围 墙 的 总 费 用 最 小 ， 并 求 出 最 小 总 费 用 . 解 ： (1 )如 图 ， 设 矩 形 的 另 一 边 长 为 a m， 则 y 4 5 x 1 8 0 (x 2 ) 1 8 0 2 a 2 2 5 x 3 6 0 a 3 6 0 . 由 已 知 xa 3 6 0 ， 得 a ， 所 以 y 2 2 5 x 3 6 0 (x2 ). (2 ) x0 ， 2 2 5 x 2 1 0 8 0 0 ， y 2 2 5 x 3 6 0 1 0 4 4 0 ， 当 且 仅 当 2 2 5 x ， 即 x 2 4 时 等 号 成 立 . 答 ： 当 x 2 4 m时 ， 修 建 围 墙 的 总 费 用 最 小 ， 最 小 总 费 用 是 1 0 4 4 0 元 . 如 图 ， 为 处 理 含 有 某 种 杂 质 的 污 水 ， 要 制 造 一 个 底 宽 2 m的 无 盖 长 方 体 的 沉 淀 箱 ， 污 水 从 A孔 流 入 ， 经 沉 淀 后 从 B孔 排 出 ， 设 箱 体 的 长 度 为 a m， 高 度 为 b m， 已 知 排 出 的 水 中 该 杂 质 的 质 量 分 数 与 a ， b 的 乘 积 a b 成 反 比 .现 有 制 箱 材 料 6 0 m2 ， 问 a ， b 各 为 多 少 m时 ， 经 沉 淀 后 排 出 的 水 中 该 杂 质 的 质 量 分 数 最 小 (A， B孔 面 积 忽 略 不 计 ). 解 法 一 ： 设 y为 排 出 的 水 中 杂 质 的 质 量 分 数 ， 根 据 题 意 可 知 ： y ， 其 中 k是 比 例 系 数 且 k 0 . 依 题 意 要 使 y最 小 ， 只 需 a b 最 大 . 由 题 设 得 ： 4 b 2 a b 2 a 6 0 (a 0 ， b 0 )， 即 a 2 b 3 0 a b (a 0 ， b 0 ). a 2 b 2 ， 2 a b 3 0 ， 得 0 3 . 当 且 仅 当 a 2 b 时 取 “ ”号 ， a b 最 大 值 为 1 8 ， 此 时 得 a 6 ， b 3 . 故 当 a 6 m， b 3 m时 经 沉 淀 后 排 出 的 水 中 杂 质 最 少 . 解 法 二 ： 同 解 法 一 得 b ， 代 入 y 求 解 . 1 .若 a 1 ， 则 a 的 最 小 值 是 ( ) A.2 B.a C.3 D. 解 ： a 1 ， a a 1 1 2 1 2 1 3 ， 当 a 2 时 等 号 成 立 .故 选 C . 2 .设 a ， b R ， a b ， 且 a b 2 ， 则 下 列 各 式 正 确 的 是 ( ) A.a b 1 B.a b 1 C.1 a b D.a b 1 解 ： 运 用 不 等 式 a b 2 a b 1 以 及 (a b )2 2 (a 2 b 2 ) 2 a 2 b 2 (由 于 a b ， 所 以 不 能 取 等 号 )得 ， a b 1 ， 故 选 A . 3 .函 数 f(x) 在 ( ， 2 )上 的 最 小 值 是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解 ： 当 x 2 时 ， 2 x 0 ， 因 此 f(x) (2 x)2 2 ， 当 且 仅 当 2 x时 上 式 取 等 号 .而 此 方 程 有 解 x 1 ( ， 2 )， 因 此 f(x)在 ( ， 2 )上 的 最 小 值 为 2 ， 故 选 C . 4 .()要 制 作 一 个 容 积 为 4 m3 ， 高 为 1 m的 无 盖 长 方 体 容 器 ， 已 知 该 容 器 的 底 面 造 价 是 每 平 方 米 2 0 元 ， 侧 面 造 价 是 每 平 方 米 1 0 元 ， 则 该 容 器 的 最 低 总 造 价 是 ( ) A.8 0 元 B.1 2 0 元 C.1 6 0 元 D.2 4 0 元 解 ： 假 设 底 面 的 长 、 宽 分 别 为 x m， m， 由 条 件 知 该 容 器 的 最 低 总 造 价 为 y 8 0 2 0 x 1 6 0 ， 当 且 仅 当 底 面 边 长 x 2 时 ， 总 造 价 最 低 ， 且 为 1 6 0 元 .故 选 C . 5 .下 列 不 等 式 中 正 确 的 是 ( ) A.若 a ， b R ， 则 2 2 B.若 x， y都 是 正 数 ， 则 lg x lg y2 C.若 x0 ， 则 x 2 4 D.若 x0 ， 则 2 x 2 x2 2 解 ： 对 于 A， a 与 b 可 能 异 号 ， A错 ； 对 于 B， lg x与 lg y可 能 是 负 数 ， B错 ； 对 于 C， 应 是 x 2 4 ， C错 ； 对 于 D， 若 x0 ， 则 2 x 2 x2 2 成 立 (x 0 时 取 等 号 ).故 选 D . 6 .()若 lo g 4 (3 a 4 b ) lo g 2 ， 则 a b 的 最 小 值 是 ( ) A.6 2 B.7 2 C.6 4 D.7 4 解 ： 因 为 lo g 4 (3 a 4 b ) lo g 2 ， 所 以 lo g 4 (3 a 4 b ) lo g 4 (a b )， 即 3 a 4 b a b ， 且 即 a 0 ， b 0 ， 所 以 1 (a 0 ， b 0 )， a b (a b ) 7 7 2 7 4 ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 .故 选 D . 7 .若 对 任 意 x 0 ， a 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 . 解 ： 因 为 x 0 ， 所 以 x 2 (当 且 仅 当 x 1 时 取 等 号 )， 所 以 有 ， 即 的 最 大 值 为 ， 故 填 a . 8 .()设 m R ， 过 定 点 A的 动 直 线 x my 0 和 过 定 点 B的 动 直 线 mx y m 3 0 交 于 点 P(x， y)， 则 |PA|PB|的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解 ： 易 知 定 点 A(0 ， 0 )， B(1 ， 3 ). 且 无 论 m取 何 值 ， 两 直 线 垂 直 . 所 以 无 论 P与 A， B重 合 与 否 ， 均 有 |PA|2 |PB|2 |AB|2 1 0 (P在 以 AB为 直 径 的 圆 上 ). 所 以 |PA|PB|(|PA|2 |PB|2 ) 5 . 当 且 仅 当 |PA| |PB| 时 ， 等 号 成 立 .故 填 5 . 9 .(1 )已 知 0 x ， 求 x(4 3 x)的 最 大 值 ； (2 )点 (x， y)在 直 线 x 2 y 3 上 移 动 ， 求 2 x 4 y的 最 小 值 . 解 ： (1 )已 知 0 x ， 0 3 x 4 . x(4 3 x) (3 x)(4 3 x) ， 当 且 仅 当 3 x 4 3 x， 即 x 时 “ ”成 立 . 当 x 时 ， x(4 3 x)取 最 大 值 为 . (2 )已 知 点 (x， y)在 直 线 x 2 y 3 上 移 动 ， 所 以 x 2 y 3 . 2 x 4 y2 2 2 4 . 当 且 仅 当 即 x ， y 时 “ ”成 立 . 当 x ， y 时 ， 2 x 4 y取 最 小 值 为 4 . 1 0 .已 知 a 0 ， b 0 ， 且 2 a b 1 ， 求 S 2 4 a 2 b 2 的 最 大 值 . 解 ： a 0 ， b 0 ， 2 a b 1 ， 4 a 2 b 2 (2 a b )2 4 a b 1 4 a b .且 1 2 a b 2 ， 即 ， a b ， S 2 4 a 2 b 2 2 (1 4 a b ) 2 4 a b 1 .当 且 仅 当 a ， b 时 ， 等 号 成 立 . 1 1 .如 图 ， 动 物 园 要 围 成 相 同 的 长 方 形 虎 笼 四 间 ， 一 面 可 利 用 原 有 的 墙 ， 其 他 各 面 用 钢 筋 网 围 成 . (1 )现 有 可 围 3 6 m长 网 的 材 料 ， 每 间 虎 笼 的 长 、 宽 各 设 计 为 多 少 时 ， 可 使 每 间 虎 笼 面 积 最 大 ？ (2 )若 使 每 间 虎 笼 面 积 为 2 4 m2 ， 则 每 间 虎 笼 的 长 、 宽 各 设 计 为 多 少 时 ， 可 使 围 成 四 间 虎 笼 的 钢 筋 总 长 度 最 小 ？ 解 ： (1 )设 每 间 虎 笼 长 为 x m， 宽 为 y m， 则 由 条 件 ， 知 4 x 6 y 3 6 ， 即 2 x 3 y 1 8 . 设 每 间 虎 笼 的 面 积 为 S ， 则 S xy. 解 法 一 ： 由 于 2 x 3 y2 2 ， 2 1 8 ， 得 xy， 即 S . 当 且 仅 当 2 x 3 y时 等 号 成 立 . 由 解 得 故 每 间 虎 笼 长 为 4 .5 m， 宽 为 3 m时 ， 可 使 每 间 虎 笼 面 积 最 大 . 解 法 二 ： 由 2 x 3 y 1 8 ， 得 x 9 y. x 0 ， 0 y 6 . S xy y (6 y)y. 0 y 6 ， 6 y 0 . S . 当 且 仅 当 6 y y， 即 y 3 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时 x 4 .5 . 故 每 间 虎 笼 长 4 .5 m， 宽 3 m时 ， 可 使 每 间 虎 笼 面 积 最 大 . (2 )由 条 件 知 S xy 2 4 . 设 钢 筋 网 总 长 为 l， 则 l 4 x 6 y. 解 法 一 ： 2 x 3 y2 2 2 4 ， l 4 x 6 y 2 (2 x 3 y)4 8 ， 当 且 仅 当 2 x 3 y时 ， 等 号 成 立 . 由 解 得 故 每 间 虎 笼 长 6 m， 宽 4 m时 ， 可 使 钢 筋 网 总 长 度 最 小 . 解 法 二 ： 由 xy 2 4 ， 得 x . l 4 x 6 y 6 y 6 6 2 4 8 ， 当 且 仅 当 y， 即 y 4 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时 x 6 . 故 每 间 虎 笼 长 6 m， 宽 4 m时 ， 可 使 钢 筋 网 总 长 度 最 小 .