初二数学菱形、矩形复习题含答案.docx

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则CDE的周长为_2如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF等于_3如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDC：EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_4如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且ABG，DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_5 若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为_6 若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_7如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点下列结论：SADE=SEOD；四边形BFDE也是菱形；四边形ABCD的面积为EFBD；ADE=EDO；DEF是轴对称图形其中正确的结论有_8 如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60，则对角线长是 9RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 10如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为 11如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则PEF和PGH的面积和等于 12如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 13如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是 ；若将ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为 14如图，在菱形ABCD中，AD=8，ABC=120，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 15如图，在ABC中，ABC=90，BD为AC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF若AG=13，CF=6，则BG= 16下列命题：矩形的对角线互相平分且相等； 对角线相等的四边形是矩形；菱形的每一条对角线平分一组对角； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形其中正确的命题为 （注：把你认为正确的命题序号都填上）17如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EHEF交DC于点H，过F作FGEF交BC于G，当AD、AB满足 （关系）时，四边形EFGH为矩形18如图，ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BEDF交DF延长线于点E，若A=30，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 19如图，在ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DEAC，DFBC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 20如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线ABCD以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形21如图，在菱形ABCD中，BAD=60，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）OG=AB； 与EGD全等的三角形共有5个；S四边形CDGFSABF； 由点A、B、D、E构成的四边形是菱形22如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是 23如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且A=D（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，1=22，若CE=4，CF=5，求DF的长24已知：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由25如图，在平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明26如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PCCD与AE交于点P，QCBC与AF交于点Q求证：四边形APCQ是菱形27矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FHAE于H，FGCD于G，求证：FH+FG=AD28如图，在ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于点H（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由29如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EFAB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQAC，交AB于点Q，连接QE（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30在ABC中，BAC=90，ADBC于D，BG平分ABC交AD于E，交AC于G，GFBC于F，连接EF（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EMBC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段31阅读下面短文：如图，ABC是直角三角形，C=90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图把它画出来（3）如图，ABC是锐角三角形且三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使CHB=2ECB，求证：CH=AH+AB33如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由34将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积35如图，四边形ABCD中，ABDC，B=90，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC36如图1，平行四边形ABCD，DEAB垂足E在BA的延长线上，BFDC，垂足F在DC的延长线上（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形37如图1，在RtABC中，ACB=90，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作GDN=AEB交边BC于N（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则CDE的周长为_【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，ADBC，EDO=FBO，矩形ABCD的周长为20cm，BC+DC=10cm，EFAC，CE=CF，在ODE和OBF中，ODEOBF（ASA），DE=BF，CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm2如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF等于_【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3xEAP=EAP，AEP=ABC；AEPABC，故 =；同理可得BFPDAB，故=+得 =，PE+PF=方法二：（面积法）如图，作BMAC于M，则BM=，SAOB=SAOP+SPOB，AOBM=AOPE+OBPF，OA=OB，PE+PF=BM=3如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDC：EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADC=90，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，OC=OD，ODC=OCD，EDC：EDA=1：3，EDC+EDA=90，EDC=22.5，EDA=67.5，DEAC，DEC=90，DCE=90EDC=67.5，ODC=OCD=67.5，ODC+OCD+DOC=180，COD=45，OE=DE，OE2+DE2=OD2，2DE2=OD2=16，DE=24如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且ABG，DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_【解答】解：连接EF，SABF=SEBFSEFG=SABG=15；同理：SEFH=SDCH=20S阴影=SEFG+SDCH=15+20=355若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为_【解答】解：菱形的面积为：68=246若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_【解答】解：如图，两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180，ABC=60，BAD=120，周长为16，边长AB=4，菱形的对角线AC=4，BD=24sin60=4，面积=ACBD=44=87如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点下列结论：SADE=SEOD；四边形BFDE也是菱形；四边形ABCD的面积为EFBD；ADE=EDO；DEF是轴对称图形其中正确的结论有_【解答】解：正确E、F分别是OA、OC的中点AE=OESADE=AEOD=OEOD=SEODSADE=SEOD正确四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点EFOD，OE=OFOD=ODDE=DF同理：BE=BF四边形BFDE是菱形正确菱形ABCD的面积=ACBDE、F分别是OA、OC的中点EF=AC菱形ABCD的面积=EFBD不正确由已知可求得FDO=EDO，而无法求得ADE=EDO正确EFOD，OE=OF，OD=ODDEODFODEF是轴对称图形正确的结论有四个，分别是8如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60，则对角线长是10【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，AC、BD的夹角是60，ABO是等边三角形，AO=AB=5，对角线AC=2AO=25=10故答案为：109RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即APBC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC=5，SABC=ABAC=BCAP，AP=，AM=AP=10如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1【解答】解：连接HF，四边形ABCD为矩形，AD=BC，ADBC，D=90H、F分别为AD、BC边的中点，DH=CF，DHCF，D=90，四边形HFCD是矩形，HFG的面积是CDDH=S矩形HFCD，即SHFG=SDHG+SCFG，同理SHEF=SBEF+SAEH，图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，故答案为：1：111如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则PEF和PGH的面积和等于【解答】解：连接FH、EG；AF=CG=2，AE=CH=41=3，A=C=90，AEFCHG，SAEF=SCHG=3；同理可证：FHDGEB，SFHD=SGEB=1.5；FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形2SAEF2SFHD=11；过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；则SEFP+SGHP=EF（PM+PN）=EFMN=SEFHG=故答案为：12如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为【解答】解：四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，AG=DG，ADG=DAG，ADBC，ADG=CED，AGE=ADG+DAG=2CED，AED=2CED，AED=AGE，AE=AG=4，在RtABE中，AB=故答案为：13如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，在RtABO中，OM=1，在等边三角形ABP中，PM=，无论ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM=，OP=1+，将AOP的PA边长改为，另两边长度不变，22+22=，PBA=90，由勾股定理得：PM=，此时OP=OM+PM=1+故答案为：1+，1+14如图，在菱形ABCD中，AD=8，ABC=120，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为4【解答】解：连接BD，DE，四边形ABCD是菱形，B、D关于直线AC对称，DE的长即为PE+PB的最小值，ABC=120，BCD=60，BCD是等边三角形，E是BC的中点，DEBC，CE=BC=8=4，DE=4故答案为：415如图，在ABC中，ABC=90，BD为AC的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF若AG=13，CF=6，则BG=5【解答】解：AGBD，BD=FG，四边形BGFD是平行四边形，CFBD，CFAG，又点D是AC中点，BD=DF=AC，四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13x，AC=2x，在RtACF中，CFA=90，AF2+CF2=AC2，即（13x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5故答案是：516下列命题：矩形的对角线互相平分且相等；对角线相等的四边形是矩形；菱形的每一条对角线平分一组对角；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：矩形的对角线互相平分且相等；故正确；对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确故答案为：17如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EHEF交DC于点H，过F作FGEF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD（关系）时，四边形EFGH为矩形【解答】解：四边形ABCD是矩形，A=90AE=AF，AFE=AEF=45又EHEF，FGEFGFB=HED=45，DHE和BGF都是等腰直角三角形如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，ED=FB又AE=AF，AD=AB故答案是：AD=AB18如图，ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BEDF交DF延长线于点E，若A=30，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18【解答】解：AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，DF为三角形ABC的中位线，DEBC，DF=BC，又ADF=90，C=ADF=90，又BEDE，DEAC，CDE=E=90，四边形BCDE为矩形，BC=6，DF=BC=3，在RtADF中，A=30，DF=3，tan30=，即AD=3，CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CDBC=18故答案为：1819如图，在ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DEAC，DFBC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于2.4【解答】解：在ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10，连接CD，DEAC，DFBC，四边形EDFC是矩形，EF=CD，EDF=90，点Q是EF的中点，DQ=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CDAB时，则CD最小，DQ=EF=CD=2.4，故答案为：2.420如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线ABCD以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t=4时，四边形APQD也为矩形【解答】解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形此时，4t=20t，解得t=4（s）故答案是：421如图，在菱形ABCD中，BAD=60，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）OG=AB；与EGD全等的三角形共有5个；S四边形CDGFSABF；由点A、B、D、E构成的四边形是菱形【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA，ABCD，OA=OC，OB=OD，ACBD，BAG=EDG，ABOBCOCDOAOD，CD=DE，AB=DE，在ABG和DEG中，ABGDEG（AAS），AG=DG，OG是ACD的中位线，OG=CD=AB，正确；ABCE，AB=DE，四边形ABDE是平行四边形，BCD=BAD=60，ABD、BCD是等边三角形，AB=BD=AD，ODC=60，OD=AG，四边形ABDE是菱形，正确；ADBE，由菱形的性质得：ABGBDGDEG，在ABG和DCO中，ABGDCO（SAS），ABOBCOCDOAODABGBDGDEG，不正确；OB=OD，AG=DG，OG是ABD的中位线，OGAB，OG=AB，GODABD，ABFOGF，GOD的面积=ABD的面积，ABF的面积=OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，AFG的面积=OGF的面积的2倍，又GOD的面积=AOG的面积=BOG的面积，S四边形ODGF=SABF；不正确；正确的是故答案为：22如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，ABCE，ADBC，四边形ABCF是平行四边形，又AB=BC=CD=DE=EA，四边形ABCF是菱形，ACBF，OB2+OC2=BC2，AC=2OC，BF=2OB，AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又BC=CD，AC2+BF2=4CD2故答案为：AC2+BF2=4CD223如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且A=D（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，1=22，若CE=4，CF=5，求DF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，A+D=180，又A=D，A=D=90，平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，四边形ABCD是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E是AB边的中点，AE=BE，在AGE和BCE中，AGEBCE（AAS），AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2DF2=CG2DG2，即52x2=82（5+x）2，解得：x=，即DF=24已知：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由【解答】（1）证明：AFBC，AFE=DCE，又E为AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，AEFDEC（AAS），AF=DC；（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：由（1）得：AF=DC且AFDC，四边形AFDC是平行四边形，又AD=CF，四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）25如图，在平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形ABCD且AB=CD，ADBC且AD=BCE，F分别为AB，CD的中点，BE=AB，DF=CD，BE=DF，四边形DEBF是平行四边形在ABD中，E是AB的中点，AE=BE=AB=AD，而DAB=60AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE平行四边形DEBF是菱形（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：ADBC且AGDB四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，ADE=DEA=60，EDB=DBE=30故ADB=90平行四边形AGBD是矩形26如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PCCD与AE交于点P，QCBC与AF交于点Q求证：四边形APCQ是菱形【解答】证明：AC=AD，AF是CD边上的中线，AFC=90，ACF+CAF=90，ACF+PCA=90，PCA=CAF，PCAQ，同理：APQC，四边形APCQ是平行四边形AFCP，AECQ，EPC=PAF=FQC，AB=AC，AE平分BAC，CE=BE=CB（等腰三角三线合一），AF是CD边上的中线，CF=CD，CB=DC，CE=CF，PCCD，QCBC，ECP+PCQ=QCF+PCQ=90，PCE=QCF，PECQFC（AAS），PC=QC，四边形APCQ是菱形27矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FHAE于H，FGCD于G，求证：FH+FG=AD【解答】证明：连接EF，如图所示：FHAE于H，FGCD于G，ACE的面积=AEF的面积+CEF的面积=AEFH+CEFG，AE=CE，ACE的面积=CE（FH+FG），又四边形ABCD是矩形，ADCD，ACE的面积=CEAD，FH+FG=AD28如图，在ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于点H（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明AC=9 AB=12 BC=15，AC2=81，AB2=144，BC2=225，AC2+AB2=BC2，A=90PGAC，PHAB，AGP=AHP=90，四边形AGPH是矩形；（2）存在理由如下：连结APGH=AP当APBC时AP最短912=15APAP=29如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EFAB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQAC，交AB于点Q，连接QE（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【解答】（1）证明：EFAB，PQAC，四边形AEPQ为平行四边形，BAD=EPA，AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，CAD=EPA，EA=EP，四边形AEPQ为菱形（2）解：P为EF中点，即AP=AD时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ四边形AEPQ为菱形，ADEQ，AB=AC，AD平分BAC，ADBC，EQBC，又EFAB，四边形EFBQ为平行四边形作ENAB于N，如图所示：则S菱形AEPQ=EPEN=EFEN=S四边形EFBQ30在ABC中，BAC=90，ADBC于D，BG平分ABC交AD于E，交AC于G，GFBC于F，连接EF（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EMBC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段【解答】（1）证明：ADBC，GFBC，ADF=GFC=90，AEGF，在ABG和FBG中，ABGFBG，AG=FG，FBG+BED=90，BED=AEG，FBG+AEG=90，ABG+AGE=90，ABG=FBG，AEG=AGE，AE=AG，AE=FG，四边形AEFG是平行四边形，AE=AG四边形AEFG是菱形（2）解：四边形AEFG是菱形，AE=AG，BE=EG，BAG=90，AE=BE=EG，AEG是等边三角形，AGE=60，在RTABG中，ABG=30，AB=AG，C=30，BC=2AB，BE=GE，EFAC，EMBC，BF=FC，CM=GM，在RTAEM中，AME=C=30，GEM+GME=60，GEM=GME=30，EG=AG=GM=CM，EMFC，EFCM，四边形EFCM是平行四边形，AB=BF=CF=EM=CM，是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM31阅读下面短文：如图，ABC是直角三角形，C=90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图把它画出来（3）如图，ABC是锐角三角形且三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c易得三个矩形的面积相等，设为S，L1=+2a；L2=+2b；L3=+2cL1L2=2（ab）而ab0，abs0，ab0L1L20，L1L2，同理可得L2L3以AB为边长的矩形周长最小32如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使CHB=2ECB，求证：CH=AH+AB【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，点E、F分别为AB、AD的中点，BE=AB，DF=AD，BE=DF，在BCE和DCF中，BCEDCF（SAS），CE=CF；（2）证明：延长BA与CF，交于点G，四边形ABCD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，AFBC，ABCD，G=FCD，点F分别为AD的中点，且AGCD，AG=AB，BCEDCF，ECB=DCF，CHB=2ECB，CHB=2G，CHB=G+HCG，G=HCG，GH=CH，CH=AH+AG=AH+AB33如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由【解答】（1）证明：在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，在ABF和ADF中，ABFADF（SAS），AFD=AFB，AFB=CFE，AFD=CFE；（2）证明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四边形ABCD是菱形；（3）当EBCD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，EFD=BCD，理由：四边形ABCD为菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF和DCF中，BCFDCF（SAS），CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBE=CDF+EFD，EFD=BCD34将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积【解答】解：（1）四边形DHBG是菱形理由如下：四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，A=E=90，AD=ED，AB=EB在DAB和DEB中，DABDEB（SAS），ABD=EBDABCD，DFBE，四边形DHBG是平行四边形，HDB=EBD，HDB=HBD，DH=BH，DHBG是菱形（2）由（1），设DH=BH=x，则AH=8x，在RtADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8x）2=x2，解得：x=5，即BH=5，菱形DHBG的面积为HBAD=54=2035如图，四边形ABCD中，ABDC，B=90，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC【解答】证明：（1）ABCD，且FC=AB，四边形ABCF为平行四边形，B=90，四边形ABCF是矩形；（2）EA=EG，EAG=EGA=FGC，四边形ABCF为矩形，AFC=AFD=90，D+DAF=FGC+ECD=90，D=ECD，ED=EC36如图1，平行四边形ABCD，DEAB垂足E在BA的延长线上，BFDC，垂足F在DC的延长线上（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形【解答】证明：（1）平行四边形ABCD，ABCD，ABF+F=180，FDE+E=180，DEABBFDC，E=90，F=90，ABF=90，FDE=90，四边形BEDF是矩形；（2）平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，NBF+BCF=90，EDM+ADC=90，ADBC，AD=BC，BF=DE，ADC=BCF，NBF=MDE，M、N分别为AD、BC的中点，BN=DM，在BNF与DME中BNFDME（SAS），EM=FN，同理可得：EN=MF，四边形EMFN是平行四边形37如图1，在RtABC中，ACB=90，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作GDN=AEB交边BC于N（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN【解答】证明：（1）如图2中，AM=MEAD=DB，DMBE，GDN+DNE=180，GDN=AEB，AEB+DNE=180，AEDN，四边形DMEN是平行四边形，DM=BE，EM=AE，AE=BE，DM=EM，四边形DMEN是菱形（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF由（1）可知四边形EMDF是菱形，AEB=MDF，DM=DF，GDN=AEB，MDF=GDN，MDG=FDN，DFN=AEB=MCE+CME，GMD=EMD+CME，、在RtACE中，AM=ME，CM=ME，MCE=CEM=EMD，DMG=DFN，DMGDFN，DG=DN