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微专题9解析几何中的探索性问题,微专题9解析几何中的探索性问题题型一定值问题的探索,例1(2018南京高三第三次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)经过点P,离心率为.已知过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)试问x轴上是否存在定点N,使得为定值?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)离心率e=,所以c=a,b=a.所以椭圆C的方程为+=1.因为椭圆C经过点P,所以+=1.所以b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设N(n,0).当直线l的斜率存在时,设l:y=k.,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(4k2+1)x2-k2x+k2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=.所以=(x1-n)(x2-n)+y1y2=(x1-n)(x2-n)+k2=(k2+1)x1x2-(x1+x2)+n2+k2=(k2+1)-+n2+k2,=+n2=+n2.若为常数,则为常数.设=,为常数,则k2-4=4k2+对任意的实数k恒成立,所以所以此时=12.当直线l的斜率不存在时,设A,B,则y2=1-=.所以=-y2=-=12.所以在x轴上存在定点N(4,0),使得为定值.,【方法归纳】定值问题的探索一般有两种思路,一是利用特殊值法求出定值,再证明对一般情况也成立;二是直接探索求解,即根据条件联立直线方程与椭圆方程,结合斜率公式、根与系数的关系等计算.,1-1(2018泰州中学高三检测)已知椭圆C:+=1(ab0)过点(0,),右焦点F到右准线的距离为,若直线l与椭圆C交于两个不同点A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M为椭圆C的右顶点,直线l过点N(2,2).若直线l的斜率为,试求MAB的外接圆方程;若直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是不是定值?并说明理由.,解析(1)由椭圆过点(0,),得b=.又-c=,则c=.故a2=b2+c2=8,a=2.椭圆C的方程为+=1.(2)直线l的斜率为,l过点N(2,2),直线l的方程为y-2=(x-2),即y=x+.由得x2+2x=0.A(0,),B(-2,0).,又M(2,0),AM的中点为,kAM=-.线段AM的中垂线方程为y-=2(x-),即y=2x-.又线段BM的中垂线方程为x=0,MAB的外接圆圆心为,且半径为.MAB的外接圆方程为x2+=.由题意知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2.与椭圆方程+=1联立,得,(1+4k2)x2+16(k-k2)x+32k2-64k+24=0.0,x1+x2=,x1x2=.k1+k2=+=+=2k+=2k+=2k+,=2k+=-,k1+k2=-.,题型二定点问题的探索,例2(2018南京师大附中高三模拟)如图,已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C经过点(0,),离心率为,直线l过点F2,与椭圆C交于A,B两点.,(1)求椭圆C的方程;(2)若点N为F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点),求F1NF2与F1AF2面积的比值;(3)设点A,F2,B在直线x=4上的射影依次为点D,G,E.连接AE,BD,试问当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于定点T?若是,请求出定点T的坐标;,若不是,请说明理由.,解析(1)由题意,b=.又因为=,所以=.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)因为点N为F1AF2的内心,所以点N为F1AF2的内切圆的圆心.设该圆的半径为r,则=.(3)若直线l的斜率不存在时,四边形ABED是矩形,此时AE与BD交于F2G的中点.,证明如下:当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点T.设直线l的方程为y=k(x-1).由化简,得,(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.因为直线l经过椭圆C内的点(1,0),所以0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由题意,D(4,y1),E(4,y2),直线AE的方程为y-y2=(x-4).令x=,得y=y2+=,=0.,所以点T在直线AE上.同理可证,点T在直线BD上.所以当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点T.,【方法归纳】定点问题的探索思路一般也有两种:一是利用图形的对称性分析出定点所在的位置,或者利用特殊位置求出可能的定点,再验证对一般情况也成立;二是直接设出定点坐标,由条件建立恒等式,弄清定点与哪个量无关,整理为关于这个量的恒等式,利用对应项系数相等建立方程组求解,常用方法一.,2-1(2017常州教育学会学业水平检测)已知圆C:(x-t)2+y2=20(tb0)的一个公共点为B(0,-2),F(c,0)为椭圆E的右焦点,直线BF与圆C相切于点B.(1)求t的值以及椭圆E的方程;(2)过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l,与椭圆交于M,N两点,在x轴上是否存在一定点P,使PF恰为MPN的角平分线?,解析(1)由题意易知b=2,C(t,0),B(0,-2),|BC|=.t=4.tb0)的离心率为,且过点.F为椭圆的右焦点,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,连接AF,BF,分别交椭圆于C,D两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若|AF|=|FC|,求的值;(3)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2=mk1?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,解析(1)设椭圆的方程为+=1(ab0).由题意得解得所以椭圆的方程为+=1.(2)若|AF|=|FC|,由椭圆对称性,知A,所以B,此时直线BF的方程为3x-4y-3=0.,由得7x2-6x-13=0.解得x=(x=-1舍去).故=.(3)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),直线AF的方程为y=(x-1).代入椭圆的方程+=1,得(15-6x0)x2-8-15+24x0=0.因为x=x0是该方程的一个解,所以点C的横坐标xC=.又C(xC,yC)在直线y=(x-1)上,所以yC=(xC-1)=.同理,点D的坐标为,所以k2=k1,即存在,使得k2=k1.,【方法归纳】椭圆中探索性问题的关键是计算,包括计算方法的选择、计算结果的正确性,对运算求解能力有较高要求,而运算能力的提高功在平时,所以平时认真计算,不偷懒是关键.,3-1(2017江苏连云港高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).(1)若|QF|=2|FP|,求直线l的方程;(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数,使得k1=k2?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.,解析(1)因为a2=4,b2=3,所以c=1.所以点F的坐标为(1,0).设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,将直线l的方程代入椭圆方程,得(4+3m2)y2+6my-9=0.解得y1=,y2=.若|QF|=2|PF|,则+2=0.所以m=.故直线l的方程为x-2y-=0.(2)由(1)知,y1+y2=,y1y2=,所以my1y2=(y1+y2).所以=.故存在常数=,使得k1=k2.,
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