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微专题11双变量双函数问题,微专题11双变量双函数问题题型一双函数“任意”+“存在”型,例1已知函数f(x)=lnx-ax+-1(aR),g(x)=x2-2bx+4.当a=时,若对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围.,解析因为a=,所以f(x)=lnx-x+-1,则f(x)=-,令f(x)=0,解得x=1或3.当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在(0,2)上的极小值即最小值为f(1)=-.由“对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”,又g(x)=(x-b)2+4-b2,x1,2,得,当b(-,1)时,g(x)min=g(1)=5-2b0-,与题意不符;当b1,2时,g(x)min=4-b20-,与题意不符;当b(2,+)时,g(x)min=g(2)=8-4b,解不等式8-4b-,可得b.综上,b的取值范围是.,【方法归纳】“对任意x1A,存在x2B,使f(x1)g(x2)”等价于“f(x)在A上的最小值不小于g(x)在B上的最小值.”,1-1已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(aR),g(x)=x2-2x,若对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)lnln=-1,则-2lnaln2-1.,题型二双函数“任意”+“任意”型,例2设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x20,2,使得g(x1)-g(x2)M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对任意的s,t,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.,解析(1)存在x1,x20,2,使得g(x1)-g(x2)M成立等价于在0,2上,g(x)max-g(x)minM.,由g(x)=3x2-2x=3x,可得g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)max=maxg(0),g(2)=1,g(x)min=g=-,因为1-=4,且ln(-a).所以当a0时,函数T(x)的单调递增区间为(-,+);当a1成立等价于h(x)在0,1上的最大值h(x)max和最小值h(x)min满足:h(x)max-h(x)min1.h(x)=|g(x)|f(x)=,当xb时,有h(x)=(x-b+1)ex0;当x0;当b-11,得(1-b)e+b1,解得b1,所以b0.当0h(1);若b1,得(1-b)e1,则0b.,()当b1不成立.综上,b的取值范围为.,【方法归纳】(1)x1A,x2B,使得f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max.(2)“对存在x1A,存在x2B,使f(x1)=g(x2)”等价于f(x)在A上的值域g(x)在B上的值域.,3-1已知函数f(x)=lnx-+-1,g(x)=x2-2bx+4.若存在x1(0,2),x21,2,使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围.,解析由已知得,f(x)=-=-,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,f(x)min=f(1)=-.依题意有f(x)ming(x)max,所以g(x)max-.又g(x)=(x-b)2-b2+4,从而或解得b,即实数b的取值范围是.,
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