《弹性力学》第十一章弹性波.ppt

1,第十一章弹性波,2,概述1-1弹性体的运动微分方程11-2无旋波与等容波11-3横波与纵波11-4球面波,第十一章弹性波,3,弹性波,概述,当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。,本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。,4,11-1弹性体的运动微分方程,弹性波,上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。,5,弹性波,对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:,其中为弹性体的密度。,6,弹性波,由平衡关系，并简化后得：,上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。,7,弹性波,注1：几何方程,8,弹性波,注2：物理方程,9,弹性波,由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：,得：,10,弹性波,这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密（Lame)方程。,要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。,为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：,11,弹性波,11-2无旋波与等容波,一、无旋波,所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。,假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：,其中是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。,12,弹性波,证：在弹性体的任一点处，该点对z轴的旋转量,即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。,将代入，可得：,同理,得证,13,弹性波,在无旋位移状态下,从而,同理,将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程,14,弹性波,其中,就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度,15,所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。,二、等容波,弹性波,假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：,这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性波就是等容波。,16,由于，故不计体力的运动微分方程，简化后得等容波的波动方程：,其中,就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。,弹性波,17,对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播。,弹性波,18,11-3纵波与横波,弹性波,19,将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：,弹性波,20,代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：,其中,为纵波在弹性体中的传播速度。,显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是一种无旋波。,弹性波,21,纵波波动方程的通解是：,该通解的物理意义：以其第一项为例，函数在某一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示（假设是这种形状），在时间之后，函数变为：,弹性波,22,同理，表示以同样速度向x轴负向传播的波。整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其传播速度为波动方程的系数。,弹性波,23,二、横波,定义弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。,弹性波,24,仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有,代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：,为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变,弹性波,25,横波的波动方程的通解为：,，故横波为等容波。,显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的位移沿着y方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于常量。,弹性波,26,11-4球面波,如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面波。,球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程：,弹性波,27,则上式简写成,即得：,令：,假定,则是位移的势函数。代入（a）式得,（a）,弹性波,28,所以（b）式可写成,由于,（b）,弹性波,29,它的通解是：,对r积分一次，得：,由于令F(t)=0，并不会影响位移，因此上式可简写成为：,弹性波,30,弹性波,练习11.1什么是弹性波？研究弹性波有何意义？,答：（略）,练习11.2已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3,混凝土的弹性模量E=30GPa，密度=2400kg/m3,问在此两种材料杆中纵波的传播速度。,解：由纵波在一维直杆中的传播速度公式,得,31,结束,弹性波,