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第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系,中考数学(广西专用),考点一圆的有关概念与性质,五年中考,A组2014-2018年广西中考题组,五年中考,1.(2018柳州,8,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,A=60,B=24,则C的度数为()A.84B.60C.36D.24,答案D在O中,B=C=24(在同圆中,同弧所对的圆周角相等),故选D.,2.(2018贵港,9,3分)如图,点A,B,C均在O上,若A=66,则OCB的度数是()A.24B.28C.33D.48,答案A在O中,COB=2A=266=132,又OC=OB,OCB=OBC=24,故选A.,3.(2018贺州,11,3分)如图,AB是O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sinCDB=,BD=5,则AH的长为()A.B.C.D.,答案B如图所示,连接OD.AB是O的直径,且H为CD的中点,CDAB,在RtBDH中,sinCDB=,BH=5=3,DH=4,设O的半径为r,则OH=r-3,则在RtODH中,r2=(r-3)2+42,r=,AH=2-3=-3=,故选B.,4.(2017河池,8,3分)如图,O的直径AB垂直于弦CD,CAB=36,则BCD的大小是()A.18B.36C.54D.72,答案BAB是O的直径,ABCD,=,CAB=BAD=36,BCD=BAD,BCD=36.故选B.,5.(2017贵港,9,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,B是的中点,M是半径OD上任意一点,若BDC=40,则AMB的度数不可能是()A.45B.60C.75D.85,答案D连接OA,OB,B是的中点,AOB=2BDC=80,又M是OD上一点,40AMB80.故选项中不符合条件的只有85.故选D.,6.(2018梧州,16,3分)如图,已知在O中,半径OA=,弦AB=2,BAD=18,OD与AB交于点C,则ACO=度.,答案81,解析在O中,OA=OB=,AB=2,AB2=OA2+OB2,AOB为直角三角形,AOB=90,ABO=45,又DOB=2DAB=218=36,ACO=36+45=81.,7.(2018玉林,16,3分)小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别为“4”和“16”(单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半径是cm.,答案10,解析设圆盘的圆心为O,圆盘的半径为rcm(r0),如图所示.尺子一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”,AB=(16-4)=6cm.刻度尺宽为2cm,OA=(r-2)cm,在RtOAB中,OA2+AB2=OB2,即(r-2)2+62=r2,解得r=10.,8.(2016贵港,16,3分)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,弦AD平分BAC,交BC于点E.若AB=6,AD=5,则DE的长为.,答案,解析如图,连接BD.AB为半圆O的直径,ADB=90.又AB=6,AD=5,BD=.弦AD平分BAC,DAC=DAB.DBE=DAC=DAB.在ABD和BED中,ABDBED.,=,即BD2=EDAD.()2=ED5,解得DE=,故答案为.,思路分析利用直径所对圆周角为90构造RtABD,证明RtABDRtBED,再利用相似三角形对应边成比例求出DE长.,主要考点相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理的推论.,9.(2016来宾,18,3分)如图,在O中,点A,B,C在O上,且ACB=110,则=.,答案140,解析在优弧AB上取点D(异于点A,B),连接AD,BD.根据圆内接四边形的性质可知,ACB+ADB=180.又ACB=110,ADB=70.AOB=2ADB=140,即=140.,思路分析取优弧AB上一个点D(异于点A,B),从而构造圆内接四边形,再利用其对角互补及圆周角定理求.,主要考点圆周角定理,圆内接四边形的性质.,10.(2016来宾,20,3分)命题“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是.,答案90的圆周角所对的弦是圆的直径(或如果一个圆周角是直角,那么它所对的弦是圆的直径),解析两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是“90的圆周角所对的弦是圆的直径(或如果一个圆周角是直角,那么它所对的弦是圆的直径)”.,11.(2017桂林,25,10分)已知:如图,在ABC中,AB=BC=10,以AB为直径作O分别交AC,BC于点D,E,连接DE和DB,过点E作EFAB,垂足为F,交BD于点P.(1)求证:AD=DE;(2)若CE=2,求线段CD的长;(3)在(2)的条件下,求DPE的面积.,解析(1)证明:AB是O的直径,ADB=90,又AB=BC,D是AC的中点,ABD=CBD,AD=DE.(2)四边形ABED内接于O,CED=CAB,又C=C,CDECBA,=,又AB=BC=10,CE=2,D是AC的中点,CD=.(3)延长EF交O于M,在RtABD中,AD=,AB=10,BD=3,又ABEM,AB是直径,=,BEP=EDB,BPEBED,=,BP=,DP=BD-BP=,SDPESBPE=DPBP=1332,SDPESBDE=1345,SBCD=3=15,SBDESBCD=BEBC=45,SBDE=12,SDPE=.,思路分析(1)根据直径所对的圆周角为90可得ADB=90,结合AB=BC,由等腰三角形三线合一的性质得出ABD=CBD,即可得AD=DE;(2)先证CDECBA,即可得=,即可求出CD的长;(3)根据勾股定理求出BD的长,延长EF交圆O于M,可证BPEBED,即可求得BP,DP的长,故可得SDPESBDE=1345,又SBCD=15,SBDESBCD=BEBC=45,故SBDE=12,从而求出SDPE=.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2017百色,11,3分)以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与O相交,则b的取值范围是()A.0b2B.-2b2C.-2b2D.-2b2,答案D当直线y=-x+b与O相切,且经过第一、二、四象限时,如图.在y=-x+b中,当x=0时,y=b,则与y轴的交点是B(0,b),当y=0时,x=b,则与x轴的交点是A(b,0),则OA=OB,即OAB是等腰直角三角形.连接圆心O和切点C,则OC=2,则OB=OC=2,即b=2.同理,当直线y=-x+b与圆相切,且经过第二、三、四象限时,b=-2.综上,b的取值范围是-2b2.故选D.,2.(2016河池,12,3分)如图,在平面直角坐标系中,P与x轴相切,与y轴相交于A(0,2),B(0,8).则圆心P的坐标是()A.(5,3)B.(5,4)C.(3,5)D.(4,5),答案D如图,设P与x轴相切于点C,连接PA,PC,作PDy轴于点D.P与y轴相交于点A(0,2),B(0,8),PDAB,AD=3,OD=5.ODP=PCO=COD=90.四边形OCPD是矩形.PC=OD=5.在RtPAD中,PD=4,圆心P的坐标是(4,5).故选D.,3.(2015百色,16,3分)如图,PA是O的切线,切点为A,PO的延长线交O于点B.若ABP=33,则P=.,答案24,解析连接OA,如图,PA是O的切线,切点为A,OAAP,OAP=90,ABP=33,OA=OB,AOP=66,P=90-66=24.,4.(2018贵港,24,8分)如图,已知O是ABC的外接圆,且AB=BC=CD,ABCD,连接BD.(1)求证:BD是O的切线;(2)若AB=10,cosBAC=,求BD的长及O的半径.,解析(1)证明:连接OA,OC,OB.在AOB和COB中,AOBCOB(SSS),ABO=CBO.BC=BA,OBAC(三线合一).OBC+ACB=90,ABCD,AB=CD,四边形ABDC是平行四边形,ACBD,ACB=CBD,CBD+OBC=90.,OBD=90.又OB为半径,BD是O的切线.(2)延长BO,交AC于E.OBAC于E.在RtAEB中,AEB=90,cosBAC=.又AB=10,AE=6,BE=8,AC=2AE=12.四边形ABDC是平行四边形,AC=BD=12.设半径为r,在RtOAE中,OE2+AE2=OA2.(8-r)2+62=r2,解得r=.O的半径为.,5.(2017南宁,25,10分)如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为H,连接AC,过上一点E作EGAC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证:ECFGCE;(2)求证:EG是O的切线;(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=,AH=3,求EM的值.,解析(1)证明:AB是O的直径,且CDAB,=,AEC=ACD.(1分)EGAC,ACD=G.CEF=G.(2分)又ECF=GCE,ECFGCE.(3分)(2)证明:连接OE,(4分),OA=OE,OAE=OEA,EG=FG,GEF=GFE.(5分)又AFH=GFE,GEF=AFH.ABCD,OAE+AFH=90,OEA+GEF=90.(6分)OEGE,EG是O的切线.(7分)(3)EGAC,G=ACH,tanACH=tanG=,在RtAHC中,AH=3,tanACH=,CH=4.tanCAH=.(8分)连接OC,设OC=x,则在RtCOH中,OH=OA-AH=x-3,x2=(x-3)2+(4)2,x=.(9分),OE=OC=.ACGM,M=CAH,tanM=tanCAH=,在RtOEM中,=tanM=,EM=OE=.(10分),6.(2016钦州,25,10分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE平分ABC交AD于点E,点O在AB上,以OB为半径的O经过点E,交AB于点F.(1)求证:AD是O的切线;(2)若AC=4,C=30,求的长.,解析(1)证明:连接OE.BE平分ABD,ABE=EBD.OB=OE,OBE=OEB.EBD=OEB.OEBC,OEA=BDA.在ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BDA=90.OEA=90.AD是O的切线.(2)AB=AC,C=30,ABC=C=30.OEBC,AOE=ABC=30.在RtAEO中,AEO=90,AOE=30,AO=2AE.设AE=x,则AO=2x,OE=OB=AB-AO=AC-AO=4-2x.根据勾股定理得x2+(4-2x)2=(2x)2,解得x1=8-4,x2=8+4(不合题意,舍去).OE=4-2x=4-2(8-4)=8-12.的长为=-2.,B组20142018年全国中考题组,考点一圆的有关概念与性质,1.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连接BD,则DBC的大小为()A.15B.25C.35D.45,答案AAB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50,根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧上,将弧折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是()A.2B.3C.D.,答案B连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC,D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD=AB=2,OB=,OD=1,BD=2OD=2,即BD=BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90,DOC=90,CD=OC=,CBD=45,BD=2,BE=ED=,根据勾股定理得CE=2,所以BC=BE+CE=3,故选B.,方法指导在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解.,3.(2016河北,9,3分)下图为44的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是()A.ACD的外心B.ABC的外心C.ACD的内心D.ABC的内心,答案B设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC=,所以点O到ABC三个顶点的距离都相等,所以点O在三角形三边垂直平分线的交点上,故点O是ABC的外心.,评析本题考查了勾股定理和三角形外心的定义,用勾股定理分别求出点O与三角形ABC各顶点的距离,再根据定义作出判断.,4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则AC=.,答案2,解析连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30,因为=cos30,所以AB=4.在RtABC中,AC=ABcos60=4=2.,5.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点,=.若CAB=40,则CAD=.,答案25,解析连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50.=,ABD=CBD=ABC=25,CAD=CBD=25.,6.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析(1)尺规作图如图所示.(4分)(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为BAE=CAE,所以=,易得OEBC,所以EM=3.RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为.(10分),思路分析对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后利用勾股定理求出CE.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等于()A.40B.50C.60D.80,答案D由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180及ACB=50可得BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=ODA+OAD=80.,2.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为()A.5B.6C.7D.8,答案D因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故选D.,3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=.,答案60,解析AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,解题关键由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,4.(2018内蒙古呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与O的交点,点D是MB与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.(1)求证:PD是O的切线;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)证明:连接OD、OP,=,A=A,ADMAPO,ADM=APO,MDPO,1=4,2=3,OD=OM,3=4,1=2,又OP=OP,OD=OC,ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90,ODP=90,ODAP,又OD为半径,PD是O的切线.(2)由(1)知PC=PD,连接CD,AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径).在RtAOD中,OD2+AD2=OA2,R2+122=9R2,R=3.OD=3,MC=6,=,AP=18,DP=6.又MDPO,O是MC的中点,=,点P是BC的中点,BP=CP=DP=6,又MC是O的直径,BDC=CDM=90,在RtBCM中,BC=2DP=12,MC=6,BM=6.易知BCMCDM,=,即=.MD=2,=.,思路分析第(1)问需要通过线段的比相等来寻找合适的相似三角形,进而得到角相等;第(2)问需要先求出半径,进而借助相似三角形的性质和判定解决.,解题关键解决本题的关键是要寻找合适的相似三角形,并综合运用相关几何知识解决问题.,5.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交O于点G.填空:当D的度数为时,四边形ECFG为菱形;当D的度数为时,四边形ECOG为正方形.,解析(1)证明:连接OC.CE是O的切线,OCCE.FCO+ECF=90.DOAB,B+BFO=90.CFE=BFO,B+CFE=90.(3分)OC=OB,FCO=B.ECF=CFE.CE=EF.(5分)(2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分)22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分),6.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.,解析(1)如图,连接OD.AD为BAC的平分线,BAD=CAD,OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC.又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为O的切线.FDC=DAF,CDA=CFD,AFD=ADB,又BAD=DAF,ABDADF,=,AD2=ABAF,AD2=xy,AD=.,(3)连接EF.在RtBOD中,sinB=,设圆的半径为r,=,r=5,AE=10,AB=18.AE是直径,AFE=90,又C=90,EFBC,AEF=B,sinAEF=,AF=AEsinAEF=10=,AFOD,=,DG=AD,AD=,DG=.,思路分析(1)连接OD,由OD=OA,AD平分BAC,易得ODAC,所以ODBC,证得BC为圆O的切线;(2)连接DF,判定ABDADF,得AD2=ABAF=xy,即AD=;(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,解直角ABC,直角AEF,根据ODAF,表示出DG=AD,又AD=,进而可以求出DG的长.,易错警示本题属于圆的综合题,考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质及锐角三角函数.题中涉及直角三角形的条件间的转化较多,易造成代换或计算错误,加强对三角函数概念的理解,提高计算能力,是减少错误的关键.,C组教师专用题组,考点一圆的有关概念与性质,1.(2016南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度数为()A.140B.70C.60D.40,答案BDCE=40,CDOA,CEOB,DOE=360-90-90-40=140.P=AOB=70.故选B.,思路分析先利用四边形内角和求DOE的度数,再利用圆周角定理求P.,主要考点圆周角定理.,2.(2016玉林,6,3分)如图,CD是O的直径,已知1=30,则2=()A.30B.45C.60D.70,答案C连接AD,CD是O的直径,DAC=90,1=30,BAD=60,2=BAD=60.,3.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补,则弦BC的长为()A.3B.4C.5D.6,答案BBOC+CAB=180,BOC=2CAB,BOC=120,作ODBC交BC于点D,BC=2BD.OB=OC,OBD=OCD=30,BD=OBcos30=2,BC=2BD=4,故选B.,4.(2015南宁,11,3分)如图,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,MAB=20,N是的中点,P是直径AB上一动点.若MN=1,则PMN周长的最小值为()A.4B.5C.6D.7,答案BPMN的周长为PM、PN、MN的和,其中MN=1,所以只要PM、PN的和最小即可.如图,取N关于AB的对称点C,连接MC交AB于P,此时PM、PN的和最小,PM、PN的和就是MC的长度.连接OM、ON、OC.MAB=20,MOB=40.N为的中点,NOB=20.直径ABCN,COB=20.MOC=60.OM=OC,MOC为等边三角形.AB=8,MC=OM=4.PMN的周长的最小值为1+4=5.故选B.,5.(2015玉林,8,3分)如图,在O中,直径CD弦AB,则下列结论中正确的是()A.AC=ABB.C=BODC.C=BD.A=BOD,答案B直径CD弦AB,=,又C为所对的圆周角,BOD为所对的圆心角,C=BOD.,6.(2014贵港,9,3分)如图,AB是O的直径,=,COD=34,则AEO的度数是()A.51B.56C.68D.78,答案A=,COD=34,BOC=EOD=COD=34,AOE=180-EOD-COD-BOC=78.又OA=OE,AEO=EAO,AEO=(180-78)=51.故选A.,思路分析由=,可求得BOC=EOD=COD=34,继而可求得AOE的度数,然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求AEO的度数.,评析此题考查了弧与圆心角的关系.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.,7.(2014南宁,6,3分)在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油,截面示意图如图所示.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为()A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm,答案A如图,连接OA,过点O作OEAB,交于点E,交AB于点M,直径为200cm,AB=160cm,OA=OE=100cm,AM=80cm.OM=60(cm),ME=OE-OM=100-60=40(cm),即油的最大深度为40cm.,8.(2014钦州,9,3分)如图,等圆O1和O2相交于A、B两点,O1经过O2的圆心O2,连接AO1并延长交O1于点C,则ACO2的度数为()A.60B.45C.30D.20,答案C连接O1O2,AO2,AO1=O1O2=AO2,AO1O2是等边三角形,AO1O2=60,ACO2的度数为30.故选C.,思路分析利用等圆的性质得出AO1O2是等边三角形,再利用圆周角定理得出ACO2的度数.,评析此题主要考查了两圆相交的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识,得出AO1O2为等边三角形是解题的关键.,9.(2016河池,16,3分)如图,AB是O的直径,点C,D都在O上,ABC=50,则BDC的大小是.,答案40,解析AB是O的直径,ACB=90.又ABC=50,BAC=180-90-50=40.BDC=BAC=40.,10.(2016百色,15,3分)如图,O的直径AB过弦CD的中点E,若C=25,则D=.,答案65,解析C=25,A=C=25.O的直径AB过弦CD的中点E,ABCD.AED=90.D=90-25=65.,11.(2017内蒙古包头,17,3分)如图,点A、B、C为O上的三个点,BOC=2AOB,BAC=40,则ACB=度.,答案20,解析BAC=40,BOC=80.BOC=2AOB,AOB=BOC=40,ACB=AOB=20.,12.(2016宁夏,15,3分)已知正ABC的边长为6,那么能够完全覆盖这个正ABC的最小圆面的半径是.,答案2,解析根据题意知,这个最小圆是正ABC的外接圆,设其半径为r,则r=6sin60=2.,13.(2016重庆,15,4分)如图,OA,OB是O的半径,点C在O上,连接AC,BC.若AOB=120,则ACB=度.,解析根据圆周角定理,知ACB=AOB=120=60.,答案60,14.(2015崇左,17,3分)如图,线段AB是O的直径,点C在圆上,AOC=80,点P是线段AB延长线上的一动点,连接PC,则APC的度数是度(写出一个即可).,答案30(答案不唯一),解析线段AB是O的直径,点C在圆上,AOC=80,ABC=40,点P是线段AB延长线上的一动点,APC的度数一定小于40,故APC的度数可以为30(答案不唯一).,备考指导(1)在同圆或等圆中,圆周角的度数等于同弧或等弧所对圆心角的一半.(2)三角形的外角大于与它不相邻的任一内角.,15.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.,解析(1)证明:ED=EC,CDE=C,又四边形ABED是O的内接四边形,CDE=B,B=C,AB=AC.(4分)(2)连接AE,则AEBC,BE=EC=BC,在ABC与EDC中,C=C,CDE=B,ABCEDC,(6分)=,得DC=,由AB=4,BC=2,得DC=.(8分),评析本题考查圆的内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质.属中档题.,16.(2016桂林,25,10分)如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,B=90,以AD为直径作O,过点D作DEAB,交O于点E.(1)求证:点C在O上;(2)求tanCDE的值;(3)求圆心O到弦ED的距离.,解析(1)证明:在RtABC中,B=90,AB=6,BC=8,AC=10.在ACD中,AC=10,CD=24,AD=26,AC2+CD2=102+242=676=262=AD2.ACD是直角三角形,且ACD=90.连接OC,OA=OD,OC=AD=OA.点C在O上.(2)连接AE交CD于点G.AD是O的直径,E=90,即AEDE.ABDE,BAAE.,B=90,即CBBA,BCAE.BCA=CAE.又CAE=CDE.CDE=BCA.tanCDE=tanBCA=.(3)过点O作OFDE于点F.在RtACG中,tanCAG=,AC=10,CG=.在RtGED中,tanGDE=,GD=CD-CG=,DE=.O是AD的中点,OF是AED的中位线.DF=DE=.OF=,即圆心O到弦ED的距离为.,一题多解(2)分别延长BC,DE相交于点M.ABDE,B=90,M=90.DCM+MDC=90.ACD=90,DCM+BCA=90.BCA=MDC.tanCDE=tanBCA=.(3)由(2)知RtABCRtCMD.=.,AB=6,AC=10,CD=24,CM=.BM=CM+BC=.连接AE,过点O作OFDE于点F,则DF=EF.O是AD的中点,OF是AED的中位线.B=M=AEM=90,四边形ABME为矩形,AE=BM=.FO=AE=,即圆心O到弦ED的距离为.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2016梧州,6,3分)已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定,答案C由题意知d=3,r=5,d1,所以原点O在P外.(3分)图1(2)如图2,当P过点B,点P在y轴右侧时,P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120,所以该劣弧长为=.,图2,同理,当P过点B,点P在y轴左侧时,劣弧长同样为.所以当P过点B时,P被y轴所截得的劣弧长为.(6分)(3)如图3,当P与x轴相切,且位于x轴下方时,设切点为D,图3,在直角DAP中,AD=DPtanDPA=1tan30=.此时D点坐标为.(8分)当P与x轴相切,且位于x轴上方时,根据对称性可以求出切点坐标为.(10分),26.(2015内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,O是ABC的外接圆,P是O外的一点,AM是O的直径,PAC=ABC.(1)求证:PA是O的切线;(2)连接PB与AC交于点D,与O交于点E,F为BD上的一点,若M为的中点,且DCF=P,求证:=.,证明(1)连接CM,PAC=ABC,M=ABC,PAC=M.AM为直径,ACM=90,M+MAC=90,PAC+MAC=90,即MAP=90,MAAP,PA是O的切线.(3分)(2)连接AE.M为的中点,AM为O的直径,AMBC.AMAP,APBC,ADPCDB,=.(5分),APBC,P=CBD.CBD=CAE,P=CAE.P=DCF,DCF=CAE.ADE=CDF,ADECDF,=.(7分)=.(9分),27.(2015湖南衡阳,26,8分)如图,AB是O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CEAD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为O的切线;(2)判断四边形AOCD是不是菱形,并说明理由.,解析(1)证明:连接OD,点C、D为半圆O的三等分点,BOC=BOD.又BAD=BOD,BOC=BAD,AEOC.ADEC,OCEC,CE为O的切线.,(2)四边形AOCD是菱形.理由如下:点C、D为半圆O的三等分点,AOD=COD=60,OA=OD=OC,AOD和COD都是等边三角形,OA=AD=DC=OC=OD,四边形AOCD是菱形.,28.(2015山东聊城,24,10分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD切O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)若PA=2,cosB=,求O半径的长.,解析(1)证明:连接OD,PC与O相切于点D,ODPC.(1分)又BEPC,ODBE,ADO=E.(2分)OA=OD,OAD=ADO.(3分)OAD=E,AB=BE.(5分),(2)由(1)知,ODBE,POD=B,cosPOD=cosB=.(6分)在RtPOD中,cosPOD=.(7分)OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,=,(8分)解得OA=3.即O半径的长是3.(10分),29.(2014贺州,25,10分)如图,AB,BC,CD分别与O相切于E,F,G,且ABCD.BO=6cm,CO=8cm.(1)求证:BOCO;(2)求BE和CG的长.,解析(1)证明:ABCD,ABC+BCD=180,AB,BC,CD分别与O相切于E,F,G,BO平分ABC,CO平分DCB,OBC=ABC,OCB=DCB,OBC+OCB=(ABC+DCB)=180=90,BOC=90,BOCO.(2)连接OF,则OFBC,RtBOFRtBCO,=,在RtBOC中,BO=6cm,CO=8cm,BC=10cm,=,BF=3.6cm,AB,BC,CD分别与O相切,BE=BF=3.6cm,CG=CF,CF=BC-BF=10-3.6=6.4cm.CG=CF=6.4cm.,30.(2014内蒙古呼和浩特,24,8分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C作O的切线CM.(1)求证:ACM=ABC;(2)延长BC到D,使BC=CD,连接AD,与CM交于点E,若O的半径为3,ED=2,求ACE的外接圆的半径.,解析(1)证明:连接OC,(1分)AB为O的直径,ACB=90,ABC+BAC=90,又CM是O的切线,OCCM,ACM+ACO=90.(2分)CO=AO,BAC=ACO,ACM=ABC.(3分)(2)BC=CD,OCAD,又OCCE,ADCE,AEC是直角三角形,AEC的外接圆的直径为AC,(4分)又ABC+BAC=90,ACM+ECD=90,而ABC=ACM,BAC=ECD,又CED=ACB=90,ABCCDE,=,而O的半径为3,AB=6,=,BC2=12,BC=2,(6分)在RtABC中,AC=2,(7分)ACE的外接圆的半径为.(8分),评析本题考查圆的切线性质、勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质,属中等难度题.,考点一圆的有关概念与性质,三年模拟,A组20162018年模拟基础题组,1.(2018贵港平南二模,8)如图,O中,弦AB,CD相交于点P,A=42,APD=77,则B的大小是()A.34B.35C.43D.44,答案B在O中,C=B,又C=APD-A=77-42=35,B=35,故选B.,2.(2018柳州一模,10)如图,已知CD为O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若D的度数是50,则A的度数是()A.25B.40C.30D.50,答案AAODE,D=50,AOD=D=50.又OA=OC,A=C=AOD=25.故选A.,3.(2018玉林四县市第一次联考,10)如图,已知点A(0,1),B(0,-1),以点A为圆心,AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C,则BAC等于()A.30B.45C.60D.75,答案CA(0,1),B(0,-1),AB=AC=2,OA=1,又AOC=90,ACB=30,BAC=90-30=60.故选C.,4.(2018南宁三美学校模拟,9)如图,AB是O的直径,点C,D都在O上,连接CA,CB,DC,DB.已知D=30,BC=3,则AB的长是()A.5B.3C.2D.6,答案D在O中,A=D=30,AB为直径,ACB=90,而BC=3,AB=2BC=6,故选D.,5.(2017四市同城模拟,9)如图,CD为O的直径,弦AB交CD于点M,M是AB的中点,点P在上,PC与AB交于点N,PNA=60,则PDC等于()A.40B.50C.60D.70,答案C依题意得CNM=PNA=60,连接OA,OB,则OA=OB,又MA=MB,ABCD,PCD=30,CD是O的直径,CPD=90,PDC=90-PCD=60,选C.,6.(2016贵港一模,9)如图,已知点A,B,C在O上,且BAC=25,则OCB的度数是()A.70B.65C.55D.50,答案B连接OB.BAC=25,BOC=2BAC=225=50,又OB=OC,OCB=OBC=(180-50)=65.故选B.,7.(2016河池一模,10)如图,BC是O的直径,ADBC,若BAD=54,则D的度数是()A.72B.54C.45D.36,答案DADBC,BAD=54,B=90-54=36.D与B都是所对的圆周角,D=B=36.故选D.,8.(2018玉林四县市第一次联考,16)如图,A、D是O上的两个点,BC是直径.若D=40,则OAC=度.,答案50,解析在O中,B=D=40,OB=OA,OAB=B=40,又BC为直径,BAC=90,OAC=90-40=50.,9.(2018百色一模,16)如图,弦AB,CD相交于点P,A=31,APC=87,则B=.,答案62,解析在O中,A=D=31,又APC=BPD=87,B=180-D-BPD=180-31-87=62.,考点二与圆有关的位置关系,1.(2018贵港覃塘一模,9)如图,已知AB是O的直径,O的切线CD与AB的延长线交于点D,点C为切点,连接AC,若A=26,则D的度数是()A.26B.38C.42D.64,答案B连接OC,OA=OC,A=26,COD=262=52,C为切点,OCD=90,D=90-52=38,故选B.,评析本题主要考查的是切线的性质,属于基础题型.解决这个问题的关键是添加辅助线,将D放入直角三角形OCD中.,2.(2018柳州城中模拟,10)如图,AB与O相切于点B,AO的延长线交O于点C,连接BC.若A=36,则C=()A.54B.36C.27D.20,答案C连接OB,AB与O相切,ABO=90,AOB=90-A=90-36=54,又OB=OC,C=AOB=54=27.故选C.,3.(2017桂林一模,8)如图,AB是O的弦,AC是O的切线,A为切点,BC经过圆心.若B=20,则C的大小等于()A.20B.25C.40D.50,答案D如图,连接OA,AC是O的切线,OAC=90.B=20,AOC=40,C=50.故选D.,4.(2018柳州城中模拟,25)已知P是O外一点,PO交O于点C,OC=CP=2,弦ABOC,AOC为60,连接PB,BC.(1)求BC的长;(2)求证:PB是O的切线.,解析(1)连接OB,ABOC,AOC=60,BOC=60,BOC为等边三角形,BC=OC=2.(2)证明:由OCB=CBP+P,又OC=CP=BC,得CBP=30,OBP=OBC+CBP=60+30=90,PB是O的切线.,5.(2018玉林四县市第一次联考,23)如图,已知等边ABC,AB=4,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DEAC,垂足为E,过点E作EFAB,垂足为F,连接FD.(1)求证:DE是O的切线;(2)求EF的长.,解析(1)证明:如图,连接OD,ABC为等边三角形,C=CAB=CBA=60.(1分)OD=OB,ODB是等边三角形,ODB=60.(2分)ODB=C,ODAC,(3分)DEAC,ODDE,DE是O的切线.(4分)(2)ODAC,点O为AB的中点,OD为ABC的中位线,BD=CD=2.(5分)在RtCDE中,C=60,CDE=30,CE=CD=1,AE=AC-CE=4-1=3.(6分),在RtAEF中,EAF=60,EF=AEsinA=3sin60=3=.(8分),6.(2018贵港港南二模,24)如图,已知在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的O与AC交于点D,点E是BC的中点,连接BD,DE.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AB=3AD,求sinC.,解析(1)证明:连接OD,AB是O的直径,ADB=90,BDC=90,(1分)E为BC的中点,DE=BE=CE,EDB=EBD,(2分)OD=OB,ODB=OBD,(3分)ABC=90,EDO=EDB+ODB=EBD+OBD=ABC=90,ODDE,DE是O的切线.(4分)(2)AB为直径,ADB=90,ABD+BAD=90,(5分)ABC=90,C+BAC=90,C=ABD,(6分)AB=3AD,sinABD=,(7分)sinC=.(8分),7.(2018北部湾经济区导航模拟,25)如图,O是ABC的外接圆,AD是O的直径,BC的延长线与过点A的直线相交于点E,且B=EAC.(1)求证:AE是O的切线;(2)过点C作CGAD,垂足为F,与AB交于点G,若AGAB=36,tanB=,求DF的值.,解析(1)证明:连接CD,在O中,B=D,(1分)AD是O的直径,ACD=90,(2分)D+1=90,B+1=90.(3分)B=2,2+1=90,即EAD=90,OAAE,(4分)又OA是O的半径,AE是O的切线.(5分)(2)CGAD,OAAE,CGAE,(6分)2=3.2=B,3=B,ABCACG,=,AC2=AGAB=36,AC=6.(7分)tanD=tanB=,在RtACD中,tanD=,CD=6.(8分)AD=6,(9分)ACDCFD,=,DF=4.(10分),8.(2017贵港一模,24)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,经过点A作AEOC,垂足为点D,AE与BC交于点F,与过点B的直线交于点E,且EB=EF.(1)求证:BE是O的切线;(2)若CD=1,cosAEB=,求BE的长.,解析(1)证明:B,C在O上,OB=OC,OBC=OCB,EB=EF,EBC=EFB,又AFC=EFB,AFC=EBC.AEOC,AFC+OCB=90,EBC+OBC=90,即BEOB,又OB是O的半径,EB是O的切线.(2)设O的半径为r,则OA=OC=r,又CD=1,OD=r-1,AOD+EAB=90,AEB+EAB=90,AOD=AEB,cosAOD=cosAEB=,在RtAOD中,cosAOD=,即=,解得r=.AB是O的直径,AB=5,在RtAEB中,cosAEB=,AE=BE,又AE2=BE2+AB2,即=BE2+52,解得BE=.,B组20162018年模拟提升题组(时间:50分钟分值:71分)一、选择题(每小题3分,共18分),1.(2018贵港港南二模,9)如图,四边形ABCD中,B=D,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若D=72,则BAE=()A.28B.36C.40D.48,答案B四边形AECD为O的内接四边形,D+AEC=180.又AEB+AEC=180,且D=B=72,D=AEB=B=72,BAE=180-272=36.故选B.,2.(2018贵港平南一模,7)如图,O的半径为5,弦AB的长为8,点M在线段AB(不包括端点)上移动,则OM的取值范围是()A.3OM5B.3OM5C.4OM5D.4OM5,答案A过O作OCAB于C,连接OB.由垂径定理得CB=AB=4,OC=3.3OM5.故选A.,3.(2018贵港港南一模,12)如图,AB是O的直径,C,D是O上的点,且OCBD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:ADBD;CB平分ABD;AOC=AEC;AF=DF;BD=2OF中,其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个,答案CAB是O的直径,ADB=90,ADBD,故正确;OCBD,OCB=DBC,OC=OB,OCB=OBC,OBC=DBC,BC平分ABD,故正确;AOC不一定与AEC相等,故不正确;AB是O的直径,ADB=90,ADBD,OCBD,AFO=90,点O为圆心,AF=DF,故正确;AF=DF,点O为AB中点,OF是ABD的中位线,BD=2OF,故正确.综上可知,其中一定成立的结论有4个,故选C.,评析本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质,掌握圆中有关线段、角的相等关系是解题的关键,特别注意垂径定理的应用.,4.(2018玉林模拟,12)如图,O是以原点为圆心,为半径的圆,点P是直线y=-x+6上的一点,过点P作O的一条切线PQ,Q为切点,则切线PQ长的最小值为()A.3B.4C.6-D.3-1,答案BP在直线y=-x+6上,设P的坐标为(m,6-m),连接OQ,OP,由PQ为圆O的切线,得PQOQ,在RtOPQ中,根据勾股定理得OP2=PQ2+OQ2,PQ2=m2+(6-m)2-2=2m2-12m
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