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,欢迎进入数学课堂,函数的单调性和极值,一、函数单调性的判别方法二、函数极值的判别法三、函数的最大值、最小值的求法,一、函数单调性的判别方法,罗尔定理拉格郎日定理函数单调性的判别方法,定理1罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间a,b上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,注意:,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,定理2拉格朗日中值定理,(1)在区间a,b上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,推论1:,若函数,在区间I上满足,则,在I上必为常数.,推论2：如果函数在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意有则在(a,b)内，其中c为常数。,函数单调性的判定法,若,定理3.设函数,则在I内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明在I内单调递增.,在开区间I内可导,例2.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除导数为零的点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；3、确定在各个子区间的符号，从而判断出的单调性。,例4.证明方程,有且仅有一个小于1的,正实根.,证:1)存在性.,则,在0,1连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于1的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,例5.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令x=0,得,又,故所证等式在定义域上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在I上,例6.证明不等式,证法1:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,二、函数的极值,定义:,在其中当,时,(1),则称为的极大点,称为函数的极大值;,(2),则称为的极小点,称为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理5(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,例7.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理6(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,求函数极值的一般步骤：,确定定义域，并求出所给函数的全部驻点考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点求出极值点处的函数值，得到极值,求函数极值的一般步骤：,若函数定理6失效，应运用定理5，其步骤为：1、确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；3、求出极值点处函数值，得到极值。,例8.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,定理7(判别法的推广),则:,数,且,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,例如,例2中,极值的判别法(定理5定理7)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3的条件.,三、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,特别:,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),例11.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最小值0;,(k为某一常数),例13.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货,D点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,例14.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,用开始移动,例16.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,的大小最小?,令,解得,而,因而F取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,清楚(视角最大)?,观察者的眼睛1.8m,例17.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为xm,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,(L.P500题4),2.连续函数的最值,1.设,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,费马(16011665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(17361813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书7本,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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