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,欢迎进入数学课堂,【课标要求】1会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差2理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法3会应用相关知识解决简单的统计实际问题【核心扫描】1求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差(重点)2准确求出样本的数字特征，并理解其意义(难点),2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征,众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现_最多的数称为这组数据的众数一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有众数反映了该组数据的_在频率分布直方图中，最高矩形的_就是数据的众数(2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于_位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均数)一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_.,自学导引,1,次数,集中趋势,中间,相等,中点,聘众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系是怎样的？提示(1)众数是最高矩形中点的横坐标；(2)中位数左右两边的直方图的面积应该相等；(3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和,平均水平,标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用公式s=_.,2,对众数、中位数、平均数的理解(1)众数通常用来表示样本数据的中心值，容易计算但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，通常用于描述样本数据的中心位置(2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值(3)平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大与众数和中位数相比，平均数代表了数据更多的信息当样本数据质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差,名师点睛,1,(4)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,对标准差和方差的理解(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散(2)若样本数据都相等，则s0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量,2,(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准差样本方差的算术平方根来描述(5)标准差的大小不会越过极差(6)方差、标准差、极差的取值范围：0，)当标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性(7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差,题型一众数、中位数、平均数的简单应用,高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？思路探索根据各种数据的定义及意义解决,【例1】,(2)男同学的中位数是75，至少有14人得分不超过75分又女同学的中位数是80，至少有11人得分不超过80分全班至少有25人得分低于80分(含80分)(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大,规律方法1.中位数的求法(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数2深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用,某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩,【变式1】,解甲班平均分79.6分，乙班平均分80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适,甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定,题型二标准差、方差的应用,【例2】,从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？,【变式2】,已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：,题型三用频率分布表或直方图求数字特征,【例3】,(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数,审题指导先由频数分别求出各组的频率，列出频率分布表，画出频率分布直方图，再由频率分布直方图中数字特征的意义作答规范解答(1),（4分）,(2),（8分）,(3)在124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.又前两个小矩形的频率和为0.25.设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x0.20.25，得x1.25.中位数为124.51.25125.75.,【题后反思】利用频率分布直方图求数字特征；众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两侧直方图的面积相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数,某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.,【变式3】,求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数(2)高一参赛学生的平均成绩解(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x0.040.2，得x5，中位数为60565.(2)依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67.,在解决问题时，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，这就需要对条件进行分类讨论，这就是分类讨论思想,方法技巧分类讨论思想的应用,某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数思路分析从中位数的定义入手进行讨论，根据不同情况分类求解,【示例】,方法点评当在数据中有未知数x求其中位数时，因x的取值不同，所以数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不同，故中位数也不同，这就是本题分类讨论的原因,单击此处进入活页规范训练,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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