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,欢迎进入数学课堂,两角和与差的三角函数一、素质教育目标(一)知识教学点1两角和与差的正弦2两角和与差的余弦3两角和与差的正切(二)能力训练点1掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导2通过这些公式的推导，使学生了解它们的内在联系，从而培养学生的逻辑推理能力3能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力(三)德育渗透点1公式的推导过程，是利用它们内在联系的过程教学过程要注意培养学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题2通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系,二、教学重点、难点、疑点及解决办法1教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导2教学难点：应用公式进行化简、计算和证明3教学疑点：在应用公式时要首先保证公式中各个量都要有意义三、课时安排建议3课时四、教与学的过程设计第一课时两角和与差的余弦(一)引入师：上一章我们介绍的是同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系本节开始讨论两个角的三角函数，如cos(+)，sin(+)，tg(+)等等的各种关系和计算公式现在请大家考虑，如果已知cos，cos，怎样求cos(+)？有人认为cos(+)=cos+cos，对不对？,师：很好把cos(+)写成cos+cos是想应用乘法对加法的分配解可是cos是角的余弦值，并不是“cos”乘以，不能应用分配律一个反例已经足够否定上述等式当然我们还可以举出更多的例子现在我说如果、都是锐角，那么总有cos(+)cos+cos这是为什么？所以cos(+)cos，cos(+)cos当然有cos(+)cos+cos；如果+是钝角，那么式子左边是负数，右边是正数，当然也不相等师：分析的很有条理，完全正确现在退一步提个问题：如果cos，cos已给定，cos(+)是否能确定？,师：(板书)考虑两组数据师：从这组数字中，你能得到什么结论？生：我们不能从cos和cos直接求出cos(+)师：如果我们再算出sin和sin，试试看能否找到什么关系,由(1)可以得到cos(+)coscos-sinsin，并且这个关系式对(2)也适合师：刚才我们用具体的例子得到一个关系式：cos(+)=coscos-sinsin但是我们还是不能认可它，只有通过严格的证明才行下面请同学们看图3-1，其中，O是单位圆(二)推导两角和的余弦公式问题1，请同学们把坐标系中P1、P2、P3、P4各点的坐标用三角函数表示出来,生：P1(1，0)，P2(cos,sin)，P3(cos(+)，sin(+)P4(cos(-)，sin(-)问题2，线段|P1P3|与|P2P4|有什么关系？为什么？生：因为P3OP1P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|师：请学生用两点间的距离公式把|P1P3|=|P2P4|表示出来并加以整理生：(板书)cos2(+)-2cos(+)+1+sin2(+)=cos2-2sincos+cos2+sin2-2sinsin+sin22-2cos(+)=2-2(coscos-sinsin)cos(+)=coscos-sinsin(记为C+)师：刚才的整个过程，我们已经证明了公式：cos(+)=coscos-sinsin，它对任意的，均成立如果我们把公式中的都换成-又会得到什么？,即：cos(-)=coscos+sinsin师：通过刚才的讨论我们又得到两角差的余弦公式：cos(-)=coscos+sinsin(记为C-)(三)应用举例例1不查表求cos105及cos15的值师：因为题目要求不能查表，所以要想办法用特殊角计算为此把105变为45+60，把15变为45-30请同学们利用公式进行计算求cos(-)的值思考题：根据公式C-分析，要算cos(-)应先求什么？生：cos及sin师：请同学们自行计算例3证明：公式,证明：利用公式C-，可得：=0cos+1sin=sin,师：利用例3的结论我们很快又得到若将换成-(由于是任意角，可以这样换)，我们又得到以下四个公式：(四)练习(五)总结这节课我们从cos(+)等什么出发通过猜测，特例分析得到cos(+)=coscos-sinsin然后在直角坐标系中，利用两点间,觉中角的变换在今天这节课中唱了主角，在今天的作业中大家要灵活地应用这种方法五、作业六、板书设计两角和与差的余弦1两角和余弦公式及推导P1(1，0)P2(cos，sin)P3(cos(+)，sin(+)，P4(cos(-)，sin(-)P3OP1P2OP4|P1P3|=|P2P4|,根据两点间距离公式得：,二边平方，展开并整理得cos(+)coscos-sinsin视为C+2两角差的余弦公式在C+中把换成-得：cos(-)=coscos+sinsin3应用举例例1例2例3及证明,第二课时两角和与差的正弦一、教与学过程设计(一)复习引入师：上一节课我们学习了两角和与差的余弦，推导了公式C+、C-，请同学们回忆这两个公式(请一位同学来回答)生：cos(+)=coscos-sinsin，cos(-)coscos+sinsin师：今天我们要继续学习两角和与差的正弦公式(二)两角和与差的正弦公式师：请同学们想一想我们能不能把sin(+)改成用余弦函数来表示？,师：请同学们注意上式的右边能否用sincos，sincos来表示？生：(板书)sincos+cossin师：这样我们就得到公式sin(+)sincos+cossin，记为S+再请同学们考虑sin(-)？生：把公式S+中的换成-，可得：(学生口述，教师板书)sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin,师：这样我们又得到公式sin(-)sincos-cossin，记为S-下面我们一起分析两个公式的结构特点1公式是用单角的正余弦来表示两角和、差的正弦；2右边积中两个函数的名称不同(C+和C-中积是同名函数之积)；3两积之间的运算符号和前面括号中角的运算符号一致(而C+、C-中则相反)(三)应用举例例4不查表，求sin75的值生：(板书)解：sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30,(待学生完成后，布置以下思考题)种情况，所以此时答案有二个(学生回答有困难时由教师给出解答),分析：我们从角入手来分析，易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角，所以思路很明确，就是要把复角变单角原式成立师：本题还可以从函数名称来分析，左边是正、余弦函数，右边是正、余切函数故可考虑把正、余切化为正、余弦生：(板书),原式成立师：恒等式证明的方法很多，但是也很有规律，我们可以考虑角的表示形式，也可以考虑函数的名称大家要注意这些方法的掌握师：本题我们可以从角的形式来分析：左边是单角，右边是复角，如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用公式)；如果从左边证右边则,证明一,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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