高中数学 第二章 推理与证明 学业分层测评7 反证法 新人教A版选修1-2

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 学业分层测评7 反证法 新人教A版选修1-2 (建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”,故选C.【答案】C2下列命题错误的是()A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a,b上的单调函数f(x)至多有一个零点D设a,bZ,若a,b中至少有一个为奇数,则ab是奇数【解析】ab为奇数a,b中有一个为奇数,另一个为偶数,故D错误【答案】D3“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为()【导学号:19220029】Aa,b,c都是奇数Ba,b,c都是偶数Ca,b,c中至少有两个偶数Da,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数所以否定正确的是a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D4设x,y,z都是正实数,ax,by,cz,则a,b,c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2【解析】若a,b,c都小于2,则abc180,这与三角形内角和为180相矛盾,AB90不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设三角形的三个内角A,B,C中有两个直角,不妨设AB90,正确顺序的序号为()ABCD【解析】根据反证法的步骤,应该是先提出假设,再推出矛盾,最后否定假设,从而肯定结论【答案】D二、填空题6(2016南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7(2016汕头高二检测)用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容应是_【解析】与的关系有三种情况:,和”的反设应为“或”【答案】或2;a2b22.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】若a,b,则ab1,但a1,b2,故不能推出对于,即ab2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a1且b1,则ab2与ab2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.【答案】三、解答题9已知xR,ax2,b2x,cx2x1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.【导学号:19220030】【证明】假设a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,则有abc3.而与abc2x22x32233矛盾,故假设不成立,即a,b,c至少有一个不小于1.10已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成等差数列【证明】假设, , 成等差数列,则2,两边同时平方得ac24b.把b2ac代入ac24b,可得ac2b,即a,b,c成等差数列,这与a,b,c不成等差数列矛盾所以, , 不成等差数列能力提升1有以下结论:已知p3q32,求证pq2,用反证法证明时,可假设pq2;已知a,bR,|a|b|2,故的假设是错误的,而的假设是正确的【答案】D2已知命题“在ABC中,AB.求证sin Asin B”若用反证法证明,得出的矛盾是()A与已知条件矛盾B与三角形内角和定理矛盾C与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下:假设sin Asin B,因为0A,0B,所以AB或AB.其中AB与AB矛盾;AB与三角形内角和定理矛盾,所以假设不成立所以sin Asin B.【答案】C3(2016九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是_【解析】因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说的对,同时甲、乙中只有一人说的对,假设乙说的对,这样丙就说的错,丁就说的对,也就是甲也说的对,与甲说的错矛盾,所以乙说的错,从而知甲、丙说的对,所以丙为获奖歌手【答案】丙4(2016温州高二检测)设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cnanbn,证明:数列cn不是等比数列【证明】假设数列cn是等比数列,则(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)因为an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以aan1an1,bbn1bn1.代入并整理,得2anbnan1bn1an1bn1anbn,即2.当p,q异号时,2,与相矛盾故数列cn不是等比数列
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