高中数学 第三章 推理与证明 第2节 数学证明学案 北师大版选修1-21

2数学证明1理解演绎推理的概念2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理3了解合情推理与演绎推理的联系与区别1合情推理的结论有时是不正确的，对于数学命题，需要通过_严格证明2_是最常见的一种演绎推理形式第一段讲的是一般性道理，称为_；第二段讲的是研究对象的特殊情况，称为_；第三段是由大前提和小前提作出的判断，称为_先表述大前提、小前提，由此给出结论，即为_推理的形式大前提、小前提都正确，得到的结论才正确，二者中有一个错误，结论不正确在应用三段论证明的过程中，因为作为一般性道理的大前提都熟知，所以书写时往往省略这类大前提【做一做11】 因为指数函数都是增函数，函数yx是指数函数，所以函数yx是增函数上述推理错误的原因是()A大前提不正确B小前提不正确C推理形式不正确D大、小前提都不正确【做一做12】 三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，所以这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”中的小前提是_3在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用_的法则将命题推导出来4_是认识世界、发现问题的基础；_是证明命题、建立理论体系的基础答案：1演绎推理2三段论大前提小前提结论三段论【做一做11】 A对指数函数yax(a0且a1)来说，当a1时是增函数，当0a1时是减函数，所以大前提不正确【做一做12】 3演绎推理4合情推理演绎推理1三段论推理的依据剖析：三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”简言之：“全体概括个体”要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中一个有错误，结论就不正确，如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错了再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除错误的原因是小前提错了2合情推理与演绎推理的区别与内在联系剖析：(1)合情推理是根据特殊的事物、事例，凭个人的经验和直觉等推测一般性结论的推理过程，归纳推理与类比推理是合情推理的两种方法，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是科学发现和创造的基础(2)演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑推理得到新结论的推理过程，演绎推理有利于提高严密的逻辑思维能力(3)从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，而演绎推理则是由一般到特殊的推理(4)从推理所得的结论来看，合情推理所得的结论不一定正确，有待于进一步证明；而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确(5)合情推理与演绎推理是相辅相成的合情推理是认识世界，发现问题、数学结论和证明问题的方法与思路的重要途径，演绎推理是证明数学命题、建立数学体系的重要思维过程，它们各有利弊，各有千秋，是两种重要的推理形式，我们不仅要学会证明、解答问题，更重要的是学会发现、探索问题，所以两种推理都要学会、掌握题型一 利用三段论证明问题【例题1】 梯形的两腰和一底如果相等，则它的对角线必平分另一底上的两个角已知：在如图所示的梯形ABCD中，ADBC，ADDCAB，AC和BD是它的对角线求证：AC平分BCD，BD平分CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证反思：命题的推理证明为多个三段论，称为复合三段论事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写题型二 用三段论的简写形式证明【例题2】 如图所示，A，B，C，D四点不共面，M，N分别是ABD和BCD的重心求证：MN平面ACD.分析：证明线面平行，关键是在面内找到一条直线与已知直线平行，本题是三段论证明的应用反思：本题为一个三段论推理的问题，可以简写，遵循的原则是：如果ab，bc，则ac.题型三 通过计算推理证明【例题3】 已知正数数列an的前n项和Sn，bnan(nN)(1)求证：数列an是等差数列；(2)定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f(x)存在，则当x1x2(x1，x2D)时，总有f(x1)已知函数yxn1(nN)是(0，)上的凹函数，请根据上述定理证明bnbn1.分析：本题综合了数列、函数、导函数、不等式等问题，在定理的基础上进行论证推理，需要通过计算f(x)及不等式转化完成反思：本题是用省略大前提的三段论及有关数学运算进行推理证明的答案：【例题1】 证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，DA，DC为两腰，(小前提)12.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，(小前提)13.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)2和3都等于1，(小前提)23，(结论)即AC平分BCD.(4)同理BD平分CBA.【例题2】 证明：连接BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.M，N分别是ABD和BCD的重心，P，Q分别为AD，DC的中点又，MNPQ.又MN平面ADC，PQ平面ADC，MN平面ACD.【例题3】 证明：(1)Sn，当n1时，a1.a10，a11.当n2时，anSnSn1.(anan1)(anan11)0.an0，anan11.an为等差数列，ann.(2)由(1)知bnn.由函数yxn1，得y(n1)xn.yxn1在(0，)上是凹函数，当x1x20时，有(n1)x，即x(n1)x2nx1x.令x11，x21，得(n1)x2nx11.xx，即nn1.bnbn1.1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高三共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列an中，a11，an (n2)，由此归纳出an的通项公式答案：A演绎推理的一般形式是三段论选项A符合三段论形式，选项B，C，D都是猜测，不符合三段论，故选A.2由“正方形的对边相等；平行四边形的对边相等；正方形是平行四边形”根据三段论推理得出一个结论，则这个结论是()A BC D其他答案：A3推理：“矩形是平行四边形；正方形是矩形；所以正方形是平行四边形”中的小前提是()A B C D和答案：B4“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”此推理的大前提为()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案：B5如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA.求证：EDAF.答案：分析：要证EDAF，根据DEBA，可通过证明四边形AEDF为平行四边形来证明证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提)DFEA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA，且DFEA，(小前提)四边形AEDF为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)EDAF.(结论)