高中数学 2_3 双曲线第1课时同步精练 北师大版选修1-11

高中数学 2.3 双曲线第1课时同步精练 北师大版选修1-11已知M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的左支C一条射线 D双曲线的右支2在双曲线中，且双曲线与椭圆4x29y236有公共焦点，则双曲线的方程是()A.x21 B.y21Cx21 Dy213已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4C 6 D84已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.15已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.16若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C. D.7给出问题：F1，F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：由|PF1|PF2|2a8，即|9|PF2|8，得|PF2|1或|PF2|17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确答案填在下面横线上_8已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_9双曲线1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为_10求与双曲线1共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程11.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图所示)，|PA|=100 m，|PB|=150 m，APB=60，试说明怎样运土才能最省工12设有双曲线1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？若F1MF260，F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随F1MF2的变化，F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论参考答案1. 解析：本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义得出错误结果由于|PM|PN|4恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线答案：C2. 解析：椭圆的标准方程为1，故焦点坐标为(，0)，c.由，得a2，又双曲线中c2a2b2，则b21.答案：B3. 解析：在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即()222|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4.答案：B4. 解析：由题意，知圆C仅与x轴有交点，由得x26x80.x2或x4，即c4，a2.双曲线方程为1.答案：A5. 解析：kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.答案：B6. 解析：如图所示，由c2得a214，a23，双曲线方程为y21.设P点坐标为(x，y)(x)，则(x，y)(x2，y)x22xy2x22x1x22x1(x)令g(x)x22x1(x)，则g(x)在，)上是增加的，g(x)ming()32，的取值范围为32，)答案：B7. 解析：在双曲线的定义中，|PF1|PF2|2a，即|PF1|PF2|2a，正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上因右顶点到左焦点的距离为109，所以点P只能在双曲线的左支上，|PF2|17.答案：|PF2|178. 解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，知|PF|2a|PF1|4|PF1|，故|PF|PA|4|PF1|PA|，当|PF1|PA|最小时，|PF|PA|最小当点A，P，F1共线时，|PF1|PA|最小，最小值为|AF1|5，故所求最小值为9.答案：99. 解析：设|PF1|m，|PF2|n.当mn时，由1，知a3，b4，c5.由双曲线的定义，知mn2a6.PF1PF2，PF1F2为直角三角形，即m2n2(2c)2100.由mn6，得m2n22mn36，2mnm2n23664.mn32.设点P到x轴的距离为d，则SPF1F2d|F1F2|PF1|PF2|，即d2cmn.d，即点P到x轴的距离为.当mn时，同理可得点P到x轴的距离为.答案：10. 解：由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为1.由于点(，2)在所求的双曲线上，从而有1.整理，得k210k560，k4或k14.又16k0,4k0，4k16.从而得k4.故所求双曲线的方程为1.11. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系设M是分界线上的点，则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支在APB中，由余弦定理，得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500.从而a=25，c2=4 375，所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为=1(x25)于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工12. 解：设|MF1|r1，|MF2|r2(不妨设r1r2)，F1MF2，SF1MF2r1r2sin ，只要求r1r2即可，因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a2，b3，c，由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24SF1MF216，也即52164SF1MF2，求得SF1MF29.(2)若F1MF2120，在MF1F2中，由余弦定理得，|F1F2|2rr2r1r2cos 120(r1r2)23r1r252，r1r212，求得SF1MF2r1r2sin 1203.同理可求得若F1MF260，SF1MF29.(3)由以上结果可见，随着F1MF2的增大，F1MF2的面积将减小证明如下：SF1MF2r1r2sin .由双曲线定义及余弦定理，有得r1r2，SF1MF2b2cot .0，0，在内，cot 是减函数因此当增大时，SF1MF2b2cot 减小