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13.1.2线段的垂直平分线的性质,A,B,学习目标：1理解线段垂直平分线的性质和判定2能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题3会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理学习重点：线段垂直平分线的性质,课件说明,知识回顾,线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？,你能用不同的方法验证这一结论吗？,知识点一：线段垂直平分线的性质,探究：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l上的点，请猜想点P1，P2，P3，到点A与点B的距离之间的数量关系,相等,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P在l上求证：PA=PB,命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,用符号语言表示为：CA=CB，lAB，直线l是线段AB的垂直平分线PA=PB,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P在l上求证：PA=PB,线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,用符号语言表示为：CA=CB，lAB，直线l是线段AB的垂直平分线PA=PB,小结：线段垂直平分线的性质：,2、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,1、垂直线段，平分线段。,8,课堂练习,练习1如图，在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_,2、如图，在ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD10，则AD=。2)若A50，则ABD。,3)若AC14，BCD的周长为24，则BC=。,10,50,10,已知：如图，PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上,证明：,如图作PCAB于点C,则PCA=PCB=90,在RtPCA和RtPCB中，,RtPCARtPCB（HL）,AC=BC,又PCAB，,点P在线段AB的垂直平分线上,反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？,点P在线段AB的垂直平分线上,知识点二：线段垂直平分线的判定,用几何语言表示为：,线段垂直平分线的判定,PA=PB，,点P在AB的垂直平分线上,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？,在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合,小结：线段垂直平分线的判定方法：,1、定义法2、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,解：ADBC，BD=DC，AD是BC的垂直平分线，AB=AC点C在AE的垂直平分线上，AC=CE,课堂练习,练习3如图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？,AB=AC=CEAB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE即AB+BD=DE,解：AB=AC，点A在BC的垂直平分线MB=MC，点M在BC的垂直平分线上直线AM是线段BC的垂直平分线,练习4如图，AB=AC，MB=MC直线AM是线段BC的垂直平分线吗？,练习5、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。,（1）任意取一点K，使点K与点C在直线AB两旁.,尺规作图,经过已知直线外一点作这条直线的垂线。,（2）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和点E.,（4）作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。,F,已知：直线AB和AB外一点C求作：AB的垂线，使它经过点C.,做法：,（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F.,如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴,如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对轴？,这种作法的依据是什么？,知识点三：作线段的垂直平分线,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；,（2）作直线CD,CD就是所求作的直线,这种作图方法还有哪些作用？,确定线段的中点作已知线段的垂线。,线段垂直平分线的判定,如图，已知线段AB，用直尺和圆规作AB的垂直平分线.,分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；作直线CD.CD即为所求的直线.,C,D,再一次巩固尺规作图,结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.,1.下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴,A,B,作法：（1）找出五角星的一对对应点A和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线n则n就是这个五角星的一条对称轴,n,用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴,【跟踪训练】,课堂练习,练习1作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？,课堂练习,练习2如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,课堂练习,练习3如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴,性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。,判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。,线段垂直平分线的集合定义：,线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。,课堂小结,线段垂直平分线的性质与判定定理的区别,二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分线上线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）,知识反馈,1、，ABAC（_）2、_，A在线段BC的中垂线上（_）,AD为BC的中垂线,ABAC,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,3、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：。ABMN,AD=DB，MNAB，MD=DN，AB是MN的垂直平分线,在ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，并相交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上。,知识应用,P,D,E,A,B,C,点P在BC的垂直平分线上。（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）,证明：连结PB。,PD是AB的垂直平分线（已知）,PA=PB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）,PA=PC（已知）,PB=PC（等量代换）,已知：ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.,结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。,高速公路,A,B,在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?,生活中的数学,L,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,思考：生活中的数学,如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由.码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,应用新知，解决问题,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站.,有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.,A,B,C,【提示】学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.,1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于【解析】运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即.答案：,2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BCD的周长.,D,C,B,E,A,点此播放教学视频,随堂练习,1、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果ECD=600,那么EDC=0.,7,60,2、如图所示，在ABC中，AB=AC32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求BCN的周长。,在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.康托尔,
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