八年级数学下册 1_1 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定与反证法导学案 （新版）北师大版

第3课时 等腰三角形的判定与反证法1.探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单的证明2.了解反证法的基本证明思路，并能简单的应用阅读教材P8，掌握等腰三角形的判定方法，会画等腰三角形，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，学生独立完成下列问题：知识准备定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形.(1)阅读下面的证明过程，完成问题：已知：如图所示，在ABC中，B=C，求证：AB=AC.解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.解二：作ABC的角平分线AD.数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正.请你简要说明解一辅助线作法错在哪里；根据解二的辅助线作法，完成证明过程.(2)如果一个三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).自学反馈(1)在ABC中，A=80，B=50，那么ABC的形状是等腰三角形.(2)课本P9页随堂练习T1、习题1.3T1、T2.学习教材P9“例3”，回答下面的问题：1写出该命题的条件和结论答：条件：如果一个图形是三角形；结论：那么该三角形不能有两个角是直角2假设该命题的结论不成立，即：假设这个三角形中有两个直角仿例：用反证法证明：在ABC中，A，B，C中至少有一个角大于或等于60.证明：假设ABC中每个内角都小于60，则ABC180.这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误所以在ABC中，A，B，C中至少有一个角大于或等于60.活动1 学生独立完成例1 如图，DB=DC，ABD=ACD，求证：AB=AC.证明：连结BC.DB=DC，DBC=DCB.ABD=ACD，ABD+DBC=ACD+DCB.ABC=ACB.AB=AC.本题主要是通过连接BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等.例2 已知：如图，O为ABC，ACB的角平分线的交点，DE过点O且DEBC交AB，AC分别于D，E.探索：DE，BD， CE的关系.结论：DE=BD+CE.证明：DEBC，DOB=OBC，EOC=OCB.OB，OC分别为ABC，ACB的角平分线，DBO=OBC，ACO=OCB.DBO=DOB，ACO=EOC.DB=DO，EC=EO.DE=DO+EO，DE=BD+CE.此题先探讨其数量关系，然后利用等角对等边证明DO=DB，EO=EC.例3 如图，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BDCE，求证：ABAC.证明：设AB=AC，则ABC=ACB，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的中点，BE=CD.在BCD和CBE中，BCDCBE.BD=CE，与BDCE相矛盾.则ABAC.此题先假设AB=AC，然后推导出与条件不符的结论，说明假设不成立.活动2 跟踪训练1用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 45”时，首先应该假设这个三角形中（ D ） A有一个内角小于 45 B每一个内角都小于 45 C有一个内角大于等于 45 D每一个内角都大于等于 452.如图，已知OC平分AOB，CDOB，若OD=3cm，则CD=3cm.3用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设四边形中没有一个角是钝角或直角.4.如图，AB=AC，FDBC于D，DEAB于E，若AFD=145，则EDF=55.5.如图，A=B，CEDA，CE交AB于点E.求证：CEB是等腰三角形.证明：CEAD，CEB=A.A=B，CEB=B.CEB是等腰三角形.6.如图，ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F且交BC于E.求证：DBE是等腰三角形.证明：BA=BC，A=C.DFAC，DFA=EFC=90，A+D=90，C+FEC=90.D=FEC.BED=FEC，D=BED.BE=BD，即DBE是等腰三角形.此题用等角的余角相等证角等比较简便.活动3 课堂小结1.对于判断三角形是否是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明.2.运用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果.