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3柱坐标系和球坐标系1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)基础初探教材整理1柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系如图131，建立空间直角坐标系Oxyz.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z构成的有序数组(r，z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r，z的变化范围为0r，02，z.图131特别地，r常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；常数，表示的是过z轴的半平面；z常数，表示的是与xOy平面平行的平面.2.球坐标系设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，来确定，其中r为原点O到点M间的距离，为有向线段与z轴正方向所夹的角，为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图132).这样的三个数r，构成的有序数组(r，)叫作点M的球坐标，这里r，的变化范围为0r，0，02.图132特别地，r常数，表示的是以原点为球心的球面；常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，表示的是过z轴的半平面.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.()(2)在柱坐标系M(r，z)中，表示OM与y轴所成的角.()(3)球坐标中，r表示OM的长度.()【解析】(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.(2)表示OM与x轴所成的角.(3)球坐标中r表示OM的长度.【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)填空：(1)柱坐标的直角坐标是_.(2)球坐标的直角坐标是_.【解析】(1)x2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐标是(1，1).(2)x4sin cos ，y4sin sin ，z4cos 2.的直角坐标是(，2).【答案】(1)(1, ，1)(2)(， ，2)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型把点的柱坐标化为直角坐标根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标.(1)；(2).【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z).(1)(r，z)，(，1,3)为所求.(2)(r，z)，(1,1,5)为所求.点(r，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且r0,02，在竖直方向上，z为任意实数.化点的柱坐标(r，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算即得.再练一题1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1)；(2)(1，0).【解】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，z)，(，1,1)为所求.(2)(r，z)(1，0)，(1,0,0)为所求.把点的球坐标化为直角坐标把下列各点的球坐标化为直角坐标.(1)；(2).【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，)，(1，1，)为所求.(2)(r，)，为所求.首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0，02.化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.再练一题2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1)；(2)(3，).【解】设点的直角坐标为(x，y，z).(1)(r，)，为所求.(2)(r，)(3，)，(0,0，3)为所求.探究共研型化点的坐标为柱坐标或球坐标探究1空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？【提示】设空间中点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，它们都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.探究2在空间的柱坐标系中，方程rr0(r0为不等于0的常数)，0，zz0分别表示什么图形？ 【提示】在空间的柱坐标系中，方程rr0表示中心轴为z轴，底半径为r0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的.方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图133，建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图133【精彩点拨】先求C1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.【自主解答】点C1的直角坐标为(1,1,1).设点C1的柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及结合图形，得，由cos 得tan .所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为，其中tan ，0.化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(r，z)或球坐标(r，)，需要对公式以及进行逆向变换，得到以及提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.再练一题3.已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标.【解】M的直角坐标为M关于原点O的对称点的直角坐标为(1，1，1).(1，1，1)的柱坐标为：2(1)2(1)22，.tan 1，又x0，y0，y0，柱坐标为.【答案】5.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.【解】设点P的直角坐标为(x，y，z)，则xcos 1，ysin 1，z5.设点B的直角坐标为(x，y，z)，则xsin cos ，ysin sin ，zcos .所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) - 9 -
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