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3柱坐标系和球坐标系1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)基础初探教材整理1柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系如图131,建立空间直角坐标系Oxyz.设M(x,y,z)为空间一点,并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r,),则这样的三个数r,z构成的有序数组(r,z)就叫作点M的柱坐标,这里规定r,z的变化范围为0r,02,z.图131特别地,r常数,表示的是以z轴为轴的圆柱面;常数,表示的是过z轴的半平面;z常数,表示的是与xOy平面平行的平面.2.球坐标系设M(x,y,z)为空间一点,点M可用这样三个有次序的数r,来确定,其中r为原点O到点M间的距离,为有向线段与z轴正方向所夹的角,为从z轴正半轴看,x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角,这里P为点M在xOy平面上的投影(如图132).这样的三个数r,构成的有序数组(r,)叫作点M的球坐标,这里r,的变化范围为0r,0,02.图132特别地,r常数,表示的是以原点为球心的球面;常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面;常数,表示的是过z轴的半平面.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组,但意义不同.()(2)在柱坐标系M(r,z)中,表示OM与y轴所成的角.()(3)球坐标中,r表示OM的长度.()【解析】(1)柱坐标和球坐标都是有序数组,但意义不同.(2)表示OM与x轴所成的角.(3)球坐标中r表示OM的长度.【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,z),球坐标为(r,),则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x,y,z)填空:(1)柱坐标的直角坐标是_.(2)球坐标的直角坐标是_.【解析】(1)x2cos 1,y2sin ,z1.所以的直角坐标是(1,1).(2)x4sin cos ,y4sin sin ,z4cos 2.的直角坐标是(,2).【答案】(1)(1, ,1)(2)(, ,2)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 小组合作型把点的柱坐标化为直角坐标根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标.(1);(2).【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为(x,y,z).(1)(r,z),(,1,3)为所求.(2)(r,z),(1,1,5)为所求.点(r,z)是三维空间坐标系中的点的坐标,在平面xOy内实际为极坐标系,且r0,02,在竖直方向上,z为任意实数.化点的柱坐标(r,z)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式转化为三角函数的求值与运算即得.再练一题1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1);(2)(1,0).【解】设点的直角坐标为(x,y,z),(1)(r,z),(,1,1)为所求.(2)(r,z)(1,0),(1,0,0)为所求.把点的球坐标化为直角坐标把下列各点的球坐标化为直角坐标.(1);(2).【精彩点拨】【自主解答】设点的直角坐标为(x,y,z),(1)(r,),(1,1,)为所求.(2)(r,),为所求.首先要明确点的球坐标(r,)中角,的边与数轴Oz,Ox的关系,注意各自的限定范围,即0,02.化点的球坐标(r,)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.再练一题2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1);(2)(3,).【解】设点的直角坐标为(x,y,z).(1)(r,),为所求.(2)(r,)(3,),(0,0,3)为所求.探究共研型化点的坐标为柱坐标或球坐标探究1空间中点的坐标有三种形式:直角坐标、柱坐标和球坐标,它们各有何特点?【提示】设空间中点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,z),球坐标为(r,),它们都是有序数组,但意义不同.直角坐标为三个实数;柱坐标分别表示距离、角、实数;球坐标分别表示距离、角、角.探究2在空间的柱坐标系中,方程rr0(r0为不等于0的常数),0,zz0分别表示什么图形? 【提示】在空间的柱坐标系中,方程rr0表示中心轴为z轴,底半径为r0的圆柱面,它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的.方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面.方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面,如图所示.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,如图133,建立空间直角坐标系Axyz,以Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图133【精彩点拨】先求C1的直角坐标,再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系,求得其柱坐标、球坐标.【自主解答】点C1的直角坐标为(1,1,1).设点C1的柱坐标为(r,z),球坐标为(r,),其中r0,r0,0,02.由公式及得及得及结合图形,得,由cos 得tan .所以点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为,球坐标为,其中tan ,0.化点M的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(r,z)或球坐标(r,),需要对公式以及进行逆向变换,得到以及提醒:在由三角函数值求角时,要结合图形确定角的范围再求值.再练一题3.已知点M的柱坐标为,求M关于原点O对称的点的柱坐标.【解】M的直角坐标为M关于原点O的对称点的直角坐标为(1,1,1).(1,1,1)的柱坐标为:2(1)2(1)22,.tan 1,又x0,y0,y0,柱坐标为.【答案】5.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,求这两个点的直角坐标.【解】设点P的直角坐标为(x,y,z),则xcos 1,ysin 1,z5.设点B的直角坐标为(x,y,z),则xsin cos ,ysin sin ,zcos .所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2) - 9 -
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