资源描述
突破点9随机变量及其分布提炼1离散型随机变量的分布列离散型随机变量X的分布列如下：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn则(1)pi0.(2)p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn为X的均值或数学期望(简称期望)D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做随机变量X的方差(4)均值与方差的性质E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)(a，b为实数)(5) 两点分布与二项分布的均值、方差若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).提炼2几种常见概率的计算(1)条件概率在A发生的条件下B发生的概率为P(B|A).(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)(3)独立重复试验的概率如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.提炼3正态分布(1)若XN(，2)，则P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.9974.(2)若XN(，2)，则正态曲线关于直线x对称且P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)回访1条件概率1(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312A3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.2(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45A已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P0.8.回访2正态分布3(2012全国卷)图91某一部件由三个电子元件按如图91所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C)，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(ABAB)C，该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P.回访3随机变量的分布列、期望、方差4(2016全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图92以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.1分从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.3分所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.044分(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，7分故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；9分当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.11分可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.12分热点题型1相互独立事件的概率与条件概率题型分析：高考对条件概率的考查，主要体现在对条件概率的了解层次，难度较小，对事件相互独立性的考查相对较频繁，难度中等.(1)(2016山西考前模拟)某同学用计算器产生了两个0,1之间的均匀随机数，分别记作x，y.当y的概率是() 【导学号：85952034】A.B.C. D.(2)如图93，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.图93求p；求电流能在M与N之间通过的概率(1)D记“y”为事件B，所以(x，y)构成的区域如图所示，所以S10x2dxx30，S2x2dxS1x3，则所求概率为，故选D.(2)记Ai表示事件：电流能通过Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过123，1，2，3相互独立，2分P()P(123)P(1)P(2)P(3)(1p)3.3分又P()1P(A)10.9990.001，4分故(1p)30.001，p0.9.6分BA44A1A341A2A3，8分P(B)P(A44A1A341A2A3)P(A4)P(4A1A3)P(41A2A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1.12分1解决条件概率的关键是明确“既定条件”2求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解变式训练1(2016全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.2分(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.4分又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.6分(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.059分E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.11分因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.12分热点题型2离散型随机变量的分布列、期望和方差题型分析：离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等.(名师押题)第31届夏季奥林匹克运动会已于2016年8月5日21日在巴西里约热内卢举行完毕下表是近六届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位：枚).第31届巴西第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国263851322816俄罗斯192423273226(1)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值，给出结论即可)；(2)甲、乙、丙三人竞猜下届中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等)，规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)解(1)两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散.6分(2)X的可能取值为0,1,2,3，设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P(X0)P()P()P()2，7分P(X1)P(A)P(B)P(C)C2，8分P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)2C，9分P(X3)P(A)P(B)P(C)2.10分故X的分布列为X0123P11分E(X)0123.12分解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键变式训练2(2016益阳模拟)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：得分60,70)70,80)80,90)90,100甲种产品的件数5103411乙种产品的件数812319(1)试分别估计甲、乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元在(1)的前提下：记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率解(1)甲种产品为合格品的概率约为，乙种产品为合格品的概率约为.2分(2)随机变量X的所有取值为190,85,70，35，且P(X190)，P(X85)，P(X70)，P(X35).所以随机变量X的分布列为X190857035P6分所以E(X)125.8分设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5n)件，依题意得，90n15(5n)300，解得n，取n4或n5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)C45.12分热点题型3正态分布问题题型分析：由于正态分布与频率分布直方图有极大的相似性，故在复习备考中应适度关注这一知识间的联系，同时对正态分布的图象特征给予高度关注.(2014全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图94(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，3分s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.6分(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.9分由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.12分解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率变式训练3(1)设XN(1，2) ，其正态分布密度曲线如图95所示，且P(X3)0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()图95(附：随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)68.26%，P(2X3)0.023，则P(33)_.(1)B(2)0.954(1)由题意得，P(X1)P(X3)0.022 8，P(1X3)0.50.0230.477，P(33)2P(03)20.4770.954.
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