九年级数学上学期第一次月考试卷（含解析）

2016-2017学年江苏省扬州市江都实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1若关于x的方程ax24x1=0是一元二次方程，则a满足的条件是（）Aa0Ba0Ca0Da42若P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（）A在P内B在P上C在P外D无法确定3方程x22x+3=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根B只有一个实数根C没有实数根D有两个不相等的实数根4有下列四个命题：经过三个点一定可以作圆； 等弧所对的圆周角相等；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 直径是弦其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个5如图，在O中， =，BAC=50，则AEC的度数为（）A65B75C50D556如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）AAD=BDBOC=2CDCCAD=CBDDOCA=OCB7己知方程x27x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A12B6C5D8如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，E=，F=，则A=（）A+BC180D二、填空题（每题3分，共30分）（本大题共10小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）9方程x2=x的解是10用配方法解方程x26x=2时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式11已知：三角形的三边分别为20、16、12，则这个三角形的外接圆半径是12已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是a（a0），则ab的值为13网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：14已知关于x的方程2mx2x1=0有实数根，则m的取值范围为15在实属范围内定义新运算“”其法则为ab=a2b2，则（43）x=24的解为16如图，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC、BO，已知CAB=36，ABO=30，则D=17如图，AB是O的弦，AB=10，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是18如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是三、解答题（本大题共10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19解下列方程：（1）3x（x2）=2（x2）（2）3x21=6x （用配方法）20先化简，再求值：，其中x满足x22x4=021如图，在四边形ABCD中，A=C=90（1）用直尺和圆规作O，使它经过点A，B，D；（2）检验点C是否在O上，并说明理由22已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+=0的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？23如图，A、P、B、C是O上的四个点，APCCPB=60（1）ABC的形状是；（直接填空，不必说理）（2）延长BP到D点，使得BD=CP，连接AD，试判断ADP的形状，并说明理由24阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=025悦达汽车4S店“十一”黄金周销售某种型号汽车，该型号汽车的进价为30万元/辆，若黄金周期间销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆根据市场调查，黄金周期间销售量不会突破30台已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，悦达汽车4S店计划黄金周期间销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价进价）26如图，在ABC中，ACB=90，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC的边于G，F，E点（1）求证：F为BC边的中点；（2）判断四边形BDEF的形状，并说明你的理由；（3）若A=35，求弧的度数27已知m、n、p分别是RtABC的三边长，且mnp（1）求证：关于x的一元二次方程mx2+px+n=0必有实数根；（2）若x=1是一元二次方程mx2+px+n=0的一个根，且RtABC的周长为2+2，求RtABC的面积28如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方（1）若F为上异于C、D的点，线段AB经过点F求CFE的度数；求证：BEF与ACF相似，并用含b的代数式表示FAFB；（2）设b5，在线段AB上是否存在点P，使CPE=45？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由2016-2017学年江苏省扬州市江都实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1若关于x的方程ax24x1=0是一元二次方程，则a满足的条件是（）Aa0Ba0Ca0Da4【考点】一元二次方程的定义【分析】根据只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断【解答】解：关于x的方程ax24x1=0是一元二次方程，a满足的条件是：a0故选：B2若P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（）A在P内B在P上C在P外D无法确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断它们的关系【解答】解：圆心P的坐标为（5，12 ），OP=13，OP=r，原点O在P上故选B3方程x22x+3=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根B只有一个实数根C没有实数根D有两个不相等的实数根【考点】根的判别式【分析】把a=1，b=2，c=3代入=b24ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a=1，b=2，c=3，=b24ac=（2）2413=80，所以方程没有实数根故选C4有下列四个命题：经过三个点一定可以作圆； 等弧所对的圆周角相等；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 直径是弦其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【考点】命题与定理【分析】根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可【解答】解：经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误；等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确；三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确；直径是圆中最长的弦，所以直径是弦，故本小题正确故选B5如图，在O中， =，BAC=50，则AEC的度数为（）A65B75C50D55【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】由在O中， =，根据弧与弦的关系，可得AB=AC，然后由等腰三角形的性质，求得B的度数，又由圆周角定理，即可求得答案【解答】解：在O中， =，AB=AC，BAC=50，B=ACB=65，AEC=B=65故选A6如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）AAD=BDBOC=2CDCCAD=CBDDOCA=OCB【考点】垂径定理；菱形的判定【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可【解答】解：OC=2CD理由如下：在O中，AB是弦，半径OCAB，AD=DB，OC=2CD，AD=BD，DO=CD，ABCO，四边形OACB为菱形故选B7己知方程x27x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A12B6C5D【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法【分析】先求出方程的两根，再由勾股定理求出斜边长，然后运用直角三角形的面积求出这个直角三角形斜边上的高即可【解答】解：x27x+12=0，方程左边因式分解得：（x3）（x4）=0，解得：x=3或x=4，方程x27x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，斜边长=5，设这个直角三角形的斜边上的高为h，根据题意得：5h=34，解得：h=故选：D8如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，E=，F=，则A=（）A+BC180D【考点】圆内接四边形的性质【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得ECD=A，再根据三角形外角性质得ECD=1+2，则A=1+2，然后根据三角形内角和定理有A+1+2+E+F=180，即2A+=180，再解方程即可【解答】连结EF，如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，ECD=A，ECD=1+2，A=1+2，A+1+2+E+F=180，2A+=180，A=故选D二、填空题（每题3分，共30分）（本大题共10小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）9方程x2=x的解是x1=0，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：x2=x，移项得：x2x=0，分解因式得：x（x1）=0，可得x=0或x1=0，解得：x1=0，x2=1故答案为：x1=0，x2=110用配方法解方程x26x=2时，方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式【考点】解一元二次方程-配方法【分析】利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解【解答】解：x26x+32=2+32，（x3）2=11故答案为911已知：三角形的三边分别为20、16、12，则这个三角形的外接圆半径是10【考点】三角形的外接圆与外心【分析】先根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的斜边是直角三角形外接圆的直径求解即可【解答】解：162+122=202，此三角形为直角三角形，这个三角形的外接圆的直径为20，这个三角形的外接圆的半径是20=10故答案为：1012已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是a（a0），则ab的值为1【考点】一元二次方程的解【分析】把x=a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a，即可得出答案【解答】解：把x=a代入方程得：（a）2ab+a=0，a2ab+a=0，a0，两边都除以a得：ab+1=0，即ab=1，故答案为：113网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：x（x1）=90【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x1条消息，则发消息共有x（x1）条【解答】解：设有x个好友，依题意，x（x1）=90，故答案为：x（x1）=9014已知关于x的方程2mx2x1=0有实数根，则m的取值范围为m【考点】根的判别式【分析】根据方程有实数根则0，可得关于m的不等式，解之可得【解答】解：根据题意，得：（1）242m（1）0，即1+8m0，解得：m，故答案为：m15在实属范围内定义新运算“”其法则为ab=a2b2，则（43）x=24的解为x1=5，x2=5【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据题意将原式转化为一元二次方程进而利用直接开平方法求出即可【解答】解：ab=a2b2，（43）x=24可化为：（4232）x=24，则72x2=24，故x2=25，解得：x1=5，x2=5故答案为：x1=5，x2=516如图，四边形ABCD为O的内接四边形，连接AC、BO，已知CAB=36，ABO=30，则D=96【考点】圆内接四边形的性质【分析】连结OC，如图，根据圆周角定理得到BOC=2CAB=72，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出OBC=54，则ABC=OBA+OBC=84，然后根据圆内接四边形的性质求D的度数【解答】解：连结OC，如图，BOC=2CAB=236=72，OB=OC，OBC=OCB，OBC=54，ABC=OBA+OBC=30+54=84，D+ABC=180，D=18084=96故答案为9617如图，AB是O的弦，AB=10，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是5【考点】三角形中位线定理；圆周角定理【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值【解答】解：点M，N分别是AB，BC的中点，MN=AC，当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图所示，ACB=D=45，AB=10，ABD=90，AD=AB=10，MN=AD=5，故答案为：518如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是4【考点】轴对称-最短路线问题【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD以及对称圆A，连接AD交BC于P，则DE就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得AD的长，即可求得PE+PD最小值【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD以及对称圆A，连接AD交BC于P，则DE就是PE+PD最小值；矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，AD=BC=3，DD=2DC=4，AE=1，AD=5，DE=51=4PE+PD=PE+PD=DE=4，故答案为4三、解答题（本大题共10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19解下列方程：（1）3x（x2）=2（x2）（2）3x21=6x （用配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）移项，得3x（x2）2（x2）=0，分解因式，得（x2）（3x2）=0，解得x1=2，x2=；（2）3x21=6x，移项，得3x26x=1，两边除以3，得x22x=，x22x+1=，（x1）2=，解得x1=1+，x2=120先化简，再求值：，其中x满足x22x4=0【考点】分式的化简求值【分析】先把除法化为乘法，再利用分配律将原式进行化简，再把x22x4=0代入求解即可【解答】解：原式=（x+1）=x22x5，x满足x22x4=0，x22x=4，原式=45=121如图，在四边形ABCD中，A=C=90（1）用直尺和圆规作O，使它经过点A，B，D；（2）检验点C是否在O上，并说明理由【考点】作图复杂作图；点与圆的位置关系【分析】（1）连结BD，根据圆周角定理可判断BD为ABD外接圆的直径，所以作BD的垂直平分线得到BD的中点O，再以O为圆心，OB为半径作O即可；（2）连结OC，如图，由BAD=90得到BD为O的直径，再由OC为斜边BD上的中线得到OC=OB=OD，于是可判断点C在O上【解答】解：（1）如图，O为所作；（2）点C在O上理由如下：连结OC，如图，O为BDA的外接圆，而BAD=90，BD为O的直径，点O为BD的中点，BCD=90，OC为斜边BD上的中线，OC=OB=OD，点C在O上22已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+=0的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，=0，即m24（）=0，整理得：（m1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x22.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，CABCD=2（2+0.5）=523如图，A、P、B、C是O上的四个点，APCCPB=60（1）ABC的形状是等边三角形；（直接填空，不必说理）（2）延长BP到D点，使得BD=CP，连接AD，试判断ADP的形状，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理【分析】（1）利用圆周角定理可得BAC=CPB，ABC=APC，而APC=CPB=60，所以BAC=ABC=60，从而可判断ABC的形状；（2）由（1）结论知AB=AC，推出PCADBA，根据全等三角形的性质得到D=APC=60，由于DPA=180APCCPB=60，求得DAP=60，即可得到结论【解答】解：ABC是等边三角形证明如下：在O中，BAC与CPB是所对的圆周角，ABC与APC是所对的圆周角，BAC=CPB，ABC=APC，又APC=CPB=60，ABC=BAC=60，ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）足等边三角形，理由：由（1）结论知AB=AC，BD=CP，PCA=DBA，在PCA与DBA中，PCADBA，D=APC=60，DPA=180APCCPB=60，DAP=60，ADP是等边三角形24阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0【考点】换元法解一元二次方程【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程【解答】解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为x1=3，x2=225悦达汽车4S店“十一”黄金周销售某种型号汽车，该型号汽车的进价为30万元/辆，若黄金周期间销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆根据市场调查，黄金周期间销售量不会突破30台已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，悦达汽车4S店计划黄金周期间销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价进价）【考点】一元二次方程的应用【分析】分别利用当0x5时，当5x30时，得出等式求出即可【解答】解：设黄金周期间该型号汽车的销售量为x辆，当0x5时，（3230）5=1025，不符合题意，当5x30时，32（0.1x+30.5）x=25，解得：x1=25（舍去），x2=10答：该月需售出10辆汽车26如图，在ABC中，ACB=90，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC的边于G，F，E点（1）求证：F为BC边的中点；（2）判断四边形BDEF的形状，并说明你的理由；（3）若A=35，求弧的度数【考点】圆的综合题【分析】（1）连接DF，如图1，根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD，再利用圆周角定理得到DFC=90，然后根据等腰三角形的性质可得BF=FC；（2）与（1）一样可得E为AC中点，则利用三角形中位线性质得DE=BC，DEBC，所以DE=CF，DECF，于是可判断四边形BDEF是平行四边形；（2）连接OG，如图2，先利用等腰三角形的性质由CD=AD得到DCAA=35，则利用三角形外角性质得ODG=70，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得DOG=40，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到的度数【解答】（1）证明：连接DF，如图1，ACB=90，D是AB的中点，BD=AD=CD，CD是O的直径，DFC=90，BF=FC，即F是BC的中点；（2）解：四边形BDEF为平行四边形理由如下：与（1）一样可得E为AC中点，DE是ABC的中位线，DE=BC，DEBC，而BF=CF，DE=CF，DECF，四边形BDEF是平行四边形；（2）解：连接OG，如图2，CD=AD，DCAA=35，ODG=A+DCA=70，OD=OG，OGD=ODG=70，DOG=180270=40，即的度数为4027已知m、n、p分别是RtABC的三边长，且mnp（1）求证：关于x的一元二次方程mx2+px+n=0必有实数根；（2）若x=1是一元二次方程mx2+px+n=0的一个根，且RtABC的周长为2+2，求RtABC的面积【考点】根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理【分析】（1）计算根的判别式和勾股定理两者结合得出答案即可；（2）由若x=1是一元二次方程mx2+px+n=0的一个根，且RtABC的周长为2+2，结合mnp推出mn的乘积即可得出结论【解答】（1）证明：m、n、p分别是RtABC的三边长，且mnp，p2=m2+n2，b24ac=2p24mn=2（m2+n2）4mn=2（mn）20，关于x的一元二次方程mx2+px+n=0必有实数根；（2）解：x=1是一元二次方程mx2+px+n=0的一个根，mp+n=0，RtABC的周长为2+2，m+n+p=2+2，由、得：m+n=2，p=2，（m+n）2=8，m2+2mn+n2=8，又m2+n2=p2=4，2mn=4，mn=1，RtABC的面积是128如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b（b为常数）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方（1）若F为上异于C、D的点，线段AB经过点F求CFE的度数；求证：BEF与ACF相似，并用含b的代数式表示FAFB；（2）设b5，在线段AB上是否存在点P，使CPE=45？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由【考点】圆的综合题【分析】【分析】（1）连接CD，则有CFE=CDE，可得出CFE的度数；（2）由条件易证BEFAFC，结合BE=5+b，AC=b5，可得出结论；方法同可得出BP、AP之间的关系，不妨设BP=x，求出AB，得到关于x的一元二次方程，讨论该方程的解的情况即可【解答】解：（1）如图1，连接CD，则CFE=CDE，又ODOC，OC=OD，CFE=CDE=45；由知EFC=45，且OB=OA=b，OBA=OAB=45，EFC+CFA=CFA+OAF，EFA=FCO，EFB=FCA，BEFAFC，又BE=OE+OB=b+5，AC=OAOC=b5，FAFB=（b+5）（b5）=b225；（2）如图2，由（1）可得：BPAP=b225，设BP=x，由y=x+b可得OA=OB=b，在RtOAB中可求得AB=b，则AP=bx，代入BPAP=b225，整理可得：x2bx+b225=0，该方程的判断式为：=2b24（b225）=1002b2，当b5时，0，可知此时方程无实数解，即此时在线段AB上不存在使CPE=45的点P，当b=5时，=0，此时方程为x210x+25=0，此时方程的解为x1=x2=5，此时BP=5，AB=10，则AP=5，即P为AB的中点，所以OP=5，由勾股定理可求得点P的坐标为（，）