资源描述
3平面及其方程,(一)平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.,注:1对平面,法向量n不唯一;,2平面的法向量n与上任一向量垂直.,一、平面方程,2.平面的点法式方程,设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).,得:,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例1:求过点(2,3,0)且以n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x2)2(y+3)+3(z0)=0,即:x2y+3z8=0,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9jk,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x2)+9(y+1)(z4)=0,即:14x+9yz15=0,即,(二)平面的三点式方程,设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,(三)平面的截距式方程,则,有,(四)平面的一般方程,证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为,它表示过定点,且法向量为n=(A,B,C)的平面.,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(4),称为平面的一般方程.,例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(23,4),2(x+1)3(y2)+4(z3)=0,即:2x3y+4z4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,Ax+By+Cz=0,Ax+By+Cz+D=0,(2)平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以,ni=A1+B0+C0=A=0,于是:,平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;,平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;,平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;,平行于xOz面的平面方程是By+D=0;,平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.,例4:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x轴,所以A=D=0.,设所求平面的方程是By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3BC=0,C=3B,所求平面方程为By3Bz=0,即:y3z=0,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,法向量n1=(A1,B1,C1),2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量n2=(A2,B2,C2),二、两平面的夹角,所以,平面1与2相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量n=(A,B,C),已知平面x+y+z=0的法向量n1=(1,1,1),于是:,A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0,设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.,在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),过P0点作一法向量n=(A,B,C),于是:,三、点到平面的距离,又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1),=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D),=Ax0+By0+Cz0+D,所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:,(5),例6:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z10=0的距离,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=(2,1,1),所以,所求平面方程是,2(x1)+1(y1)+1(z1)=0,即:2xyz=0,M1(1,1,1),M2(0,1,1),(一)空间直线的一般方程,已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,那末,交线L上的任何点的坐标满足:,A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,不在交线L上的点不满足方程组(1),(1),称方程组(1)空间直线的一般方程.,4空间直线及其方程,一.空间直线的方程,(二)空间直线的对称式方程,而s的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.,s,L,2.直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0,y0,z0)点,方向向量s=(m,n,p),所以得比例式,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,得:,x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt,称为空间直线的参数方程.,(3),(三)空间直线的参数式方程,例1:写出直线,x+y+z+1=02xy+3z+4=0,的对称式方程.,解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0),令z0=0,代入方程组,得,x+y+1=02xy+4=0,解得:,所以,点在直线上.,(2)再找直线的方向向量s.,由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量n1=(1,1,1),平面2:2xy+3z+4=0的法线向量n2=(2,1,3),所以,可取,=4ij3k,于是,得直线的对称式方程:,例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,3)的直线方程.,所以,直线的对称式方程为,已知直线L1,L2的方程,s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),二.两直线的夹角,1.L1与L2的夹角的余弦为:,解:直线L1,L2的方向向量s1=(1,4,1)s2=(2,2,1),有:,所以:,例3:,当直线与平面垂直时,规定夹角,已知:直线的方向向量s=(m,n,p),平面的法向量n=(A,B,C),那末,三.直线与平面的夹角,(1)L与的夹角的正弦为:,sin,即:Am+Bn+Cp=0,例4.判定下列各组直线与平面的关系.,解:L的方向向量s=(2,7,3),的法向量n=(4,2,2),sn=(2)4+(7)(2)+3(2)=0,又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与平行,但不重合.,解:L的方向向量s=(3,2,7),的法向量n=(6,4,14),L与垂直.,解:L的方向向量s=(3,1,4),的法向量n=(1,1,1),sn=31+11+(4)1=0,又L上的点M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L与重合.,1.点到直线的距离,关键：求出p1的坐标,方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段p0p1与l垂直。p1即为垂足。,四.点到直线的距离及平面束方程,s,l,p1,:2(x1)+(y2)+(z1)=0,即:2x+y+z5=0,(2)求l与的交点,将直线l方程写出参数方程形式：,即6t+6=0,t=1,交点p1(0,2,3),p0(1,2,1),2.平面束方程,建立三元一次方程:,:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3),考查直线l与平面的关系：,(1)直线l上的任何点p(x,y,z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。,故：方程(3)表示通过直线l的平面，且对于不同的值，方程(3)表示通过直线l的不同平面。,(2)通过直线l的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。,这是因为：对于直线l外任意一点p0(x0,y0,z0),令：,p0(x0,y0,z0),过直线l与点p0的平面为:,故：对于直线l,方程(3)包含了(除2外的)过直线l的全体平面。,:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3),定义：对于直线l,通过l的平面的全体称为平面束。,解：过直线l的平面束方程为,(x+yz)+(xy+z1)=0,点p0(1,1,1)在平面上，代入方程，得,32=0,所求平面为：,(x+yz)+(xy+z1)=0,即：5xy+z3=0,解：设投影直线为l，则由l与l决定的平面与平面垂直。,过l的平面束方程为,即,与平面:2x+y+2z=0垂直的平面满足：,代入平面束方程，得,：,故:投影直线l:,xz2=0,2x+y+2z=0,即,:2x+y+2z=0,5空间曲面.空间曲线及其方程,一、空间曲面及其方程,1.定义1:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:,(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;,(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,2.几种常见曲面的方程.,(1)球面,考虑球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面.,即:(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(1),称方程(1)为球面的标准方程.,M,R,特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2=R2,对于球面上任一点M(x,y,z),都有|MM0|2=R2.,解:原方程可改写为,(x1)2+(y+2)2+z2=5,故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为的球面.,例1:方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎样的曲面?,(2)柱面:,例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.,在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.,xoy面上的圆x2+y2=R2叫做柱面的准线.,平行于z轴的直线L叫做柱面的母线.,曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.,定曲线C叫做柱面的准线.,动直线L叫做柱面的母线.,定义2,平行于定直线并沿定曲线C移动直线L形成的轨迹叫做柱面.,(1)母线平行于z轴的柱面,(2)它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.,例2:方程y2=2x表示:,例3:方程xy=0表示.,(1)母线平行于z轴的柱面,(2)它的准线是xoy面上的直线xy=0它是过z轴的平面,母线平行于坐标轴的柱面方程.,1方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴的柱面,2方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴的柱面,3方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴的柱面,(3)旋转曲面,例如:已知yoz面上一条曲线C,方程为f(y,z)=0,曲线C绕z轴旋转一周就得一个旋转曲面.,设M0(0,y0,z0)是C上任意一点,则有f(y0,z0)=0,当C绕z轴旋转而M0随之转到M(x,y,z)时,有,将z0=z,代入方程f(y0,z0)=0,得,旋转曲面的方程:,例4:求直线z=ay绕z轴旋转所得的旋转曲面方程.,解:将y用代入直线方程,得,平方得:,z2=a2(x2+y2),该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.,设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:,S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0,S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.,(2),二、空间曲线及其方程,1.空间曲线的一般方程,例5:柱面x2+y2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是,2.空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.,x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t),当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例6:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.,解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).,(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而,x=|OM|cosAOM=acost,y=|OM|sinAOM=asint,(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而,z=MM=vt,得螺旋线的参数方程,x=acosty=asintz=vt,注:还可以用其它变量作参数.,例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:,x=acosy=asinz=b,当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.,特别,当=2时,M点上升高度h=2b,在工程上称h=2b为螺距.,3.空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,方程(5)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在柱面上.,注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解:联立两个方程消去z,得,这是母线平行于z轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为,设一个立体由上半球面和锥面,所围成,求它在xoy面上的投影.,解:半球面与锥面的交线为,由方程消去z,得x2+y2=1,这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为,x2+y2=1z=0,这是xoy面上的一个圆.,所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21,例8:,研究方法是采用平面截痕法.,6二次曲面的标准方程,2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆,当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;,当|k|=c时,椭圆退缩成点.,2.几种常见二次曲面.,(1)椭球面,1用平面z=0去截割,得椭圆,3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.,(2)椭圆抛物面:,1平面z=k,(k0)截割,截线是平面z=k上的椭圆.,k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.,2用平面y=k去截割,截线是抛物线,3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.,3.双曲抛物面,4.单叶双曲面,(a,b,c均大于0),以平行于xy面的平面z=z0截曲面，所得截线方程为,椭圆,以平行于xz面的平面y=y0截曲面，所得截线方程为,双曲线,以平行于yz面的平面x=x0截曲面，所得截线方程为：,双曲线,5.双叶双曲面,(a,b,c均大于0),以平行于xy面的平面z=z0截曲面，所得截线方程为,双曲线,以平行于xz面的平面y=y0截曲面，所得截线方程为,双曲线,以平行于yz面的平面x=x0截曲面，所得截线方程为：,椭圆,
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