实二次型及其标准形.ppt

作业讲评,一.2.,若是A的特征值,则,是A*的特征值.,二.1.,六.设A23A+2E=0,证明A的特征值只能取1或2,证明:若是A的特征值,则2-3+2是A2-3A+2E的特征值,即2-3+2是零矩阵O的特征值,从而2-3+2=0,故只能取1或者2.,七.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求,解:,实二次型及其标准形,一.实二次型及其矩阵表示,实二次型,定义1.设x1,x2,xn是n个变量，称关于x1,x2,xn的二次多项式:,为这n个变量的一个实二次型。,其中ai,j皆是实数,并约定当ij时ai,j=aj,i,2.实二次型的矩阵表示,例1.把下列二次型表示成矩阵的形式,解：,二.矩阵的合同变换与二次型,1.线性变换与二次型,设f(x1,x2,xn)=XTAX是一个实二次型,其中A是一个n阶实对称方阵,XT=(x1,x2,xn),设P是一个n阶实可逆方阵，在线性变换X=PY之下，,核心问题:如何选择可逆方阵P,使得:,即,如何选择可逆方阵P,使得:,2.矩阵的合同变换,定义2.设A和B是两个n阶实对称方阵，若存在一个n阶的实可逆方阵P，使得B=PTAP则称矩阵B与A合同，或称B与A相和。,合同关系:,自反性;,对称性;,传递性.,等价关系,三.实二次型在正交变换下的标准形,定理：若A是一个n阶实对称方阵，则存在n阶正交矩阵P，使得PTAP成为一个对角矩阵=diag(1,2,n),其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形;而把关于变量Y的二次型1y12+2y22+nyn2称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，其中X=PY。,证明：（归纳法）,显然，当n=1时定理成立。,设n=k时定理成立;下面证明n=k+1定理依然成立。,设1是实对称方阵A的一个特征值，p1是A的与之对应的一个单位特征向量。,选取另外k个k+1维向量q1,q2,qk，使得p1,q1,q2,qk构成Rk+1空间的一组标准正交基。,记P1=(p1,q1,q2,qk),显然P1是一个k+1阶的正交方阵。,注意：,AP1=(1p1,Aq1,Aq2,Aqk),记：,由于P1TAP1=,仍是一个实对称方阵,所以*必然一个k维0行向量，A1是一个k阶实对称方阵。,依据归纳假设，存在k阶正交方阵Q,使得QTA1Q=diag(2,2,k+1),构造k+1阶正交方阵,显然有：,=diag(1,2,k+1),记P=P1P2，,显然P依然是一个k+1阶正交方阵,满足PTAP=diag(1,2,k+1),证毕,推论:设A为n阶实对称方阵,是A的特征方程的k重根,则与对应的、线性无关的特征向量恰有k个。也就是说方阵A-E的秩恰好等于nk.,例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型.,解：,首先把二次型写成矩阵的形式,然后求该对称矩阵的特征值,该方阵的特征值为3，3，6，6;在正交变换X=PY之下该方阵的标准形为diag(3,3,6,6);该二次型的标准形为:3y12+3y22+6y32+6y42.,为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵A的特征向量.,解方程组：,得方阵A关于特征值3的特征向量:,解方程组：,得方阵A关于特征值6的特征向量:,最后利用Schmidt正交化过程，把所得到的特征向量正交化:,取,取,令:,例3.由方程-7x2y2z2+8xy+8xz+16yz=1确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正交变换之下把它转化为标准形.,解：,首先把方程写成矩阵的形式：,然后计算该方阵的特征值.,该方阵的特征值为：9-9-9,计算方阵与特征值9对应的特征向量,计算方阵与特征值-9对应的特征向量,最后把所得到的特征向量正交化:,选取:,令:,即:,令,则原方程在正交变换之下转化为:,即,也就是：,由于正交变换不改变几何图形的形状和大小,故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。,