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第二节方差,方差的定义方差的性质切比雪夫不等式,例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的:,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,一、方差的定义(variance),1.定义:设X是一个随机变量,若E(X-E(X)2存在,称EX-E(X)2为X的方差.,记为D(X)或Var(X),即:,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度。,X为离散型，分布律PX=xk=pk,1)由定义知,方差是随机变量X的函数:g(X)=X-E(X)2的数学期望.,2.方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),2)计算方差的一个简化公式:,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望性质,例1:,设随机变量X具有(0,1)分布，其分布律为,求D(X).,解:,由公式:,因此,0-1分布:,例2:,解:,X的分布律为:,上节已算得,因此,泊松分布:,例3:,解:,因此,均匀分布:,例4:,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解:,由此可知,指数分布:,二、方差的性质,1.设C是常数,则D(C)=0;,2.若a,b是常数,则D(aX+b)=a2D(X);,3.设X与Y是两个随机变量，则:,D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),证明性质3:,*证明:,若X,Y相互独立,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,4.D(X)=0当且仅当P(X=C)=1,其中C=E(X).,例6:设Xb(n,p),求E(X)和D(X).,则是n次试验中“成功”的次数,解:,Xb(n,p),则X表示n重努里试验中的“成功”次数.,i=1,2，n,由于X1,X2,Xn相互独立,于是:,E(Xi)=p,D(Xi)=,p(1-p),=np(1-p),例7:,解:,于是:,例如,例8:,解:,由于:,故有:,D(X)=E(X2)-E(X)2,三、切比雪夫不等式(ChebyshevsInequality),或,由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,*证:,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时,切比雪夫不等式给出了随机变量X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.,可见,对任给的分布,只要期望和方差2存在,则X取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.,例9:已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解:设每毫升白细胞数为X,则:E(X)=7300,D(X)=7002,所求为:P(5200X9400),P(5200X9400),=P(-2100X-E(X)2100),=P|X-E(X)|2100,由切比雪夫不等式:,P|X-E(X)|2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9.,例10:在每次试验中,事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:n需要多么大时,才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解:设X为n次试验中,事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n.,则Xb(n,0.75),所求为满足,D(X)=0.750.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n0.01n),=P|X-E(X)|0.01n,=P|X-E(X)|0.01n,依题意,取:,解得:,即:n取18750时,可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90.,作业,习题4-22;3;8;9;10;11(2);14,
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