资源描述
线段的垂直平分线,1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线,并能证明它的正确性。2、经历探索,证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。3、能够利用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论,理解三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等。,学习目标,什么叫线段的垂直平分线?线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?,复习回顾,问题,怎样做出一条线段的垂直平分线?,定义法;折纸;尺规作图法,线段的垂直平分线的定义?,线段是轴对称图形么?,作法:1、分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径画弧交于点E、F。2、过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线(图16-11),尺规作法,为什么以“大于AB长”为半径?,思考,、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢?设所作直线EF交AB于点O,请你根据三角形全等的判定定理给出证明,思考,证明:连接AE、AF、BE、BFAEBEAFBF(等圆或同圆的半径相等)在AEF与BEF中AEBE(已证)AFBF(已证)EFEF(公共边)AEFBEF(SSS)AEOBEO(全等三角形对应角相等)在AEO与BEO中AEBE(已证)AEOBEO(已证)EOEO(公共边)AEOBEO(SAS)AOBO(全等三角形对应边相等)AOEBOE(全等三角形对应角相等)AOE+BOE180(邻补角的定义)AOEBOE90(等式性质)EFAB(垂直定义)EF是线段AB的垂直平分线(线段的垂直平分线定义)性质定理:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等,已知:如图16-12,直线MN经过线段AB的中点O,且MNAB,P是MN上任意一点。求证:PAPB证明:MNAB(已知)AOPBOP90(垂直定义)在AOP与BOP中AOBO(已知)AOPBOP(已证)POPO(公共边)AOPBOP(SAS)PAPB(全等三角形对应边相等),如何证明线段的垂直平分线性质定理的正确性?提示:要证明一个图形上每一点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表,、什么是互逆命题?你能写出上面定理的逆命题吗?它是真命题吗?请给出证明。,已知:线段AB两端点A、B分别与P点所连的线段为AP、BP,且APBP求证:点P在AB的垂直平分线上。证明:过点P作POAB,垂足为点OPOAB(已知)AOPBOP90(垂直的定义)AOP、BOP均为直角三角形在tAOP与tBOP中APBP(已知)POPO(公共边)tAOPtBOP(HL)AOBO(全等三角形对应边相等)即PO是线段AB的垂直平分线(线段垂直平分线定义)点P在AB的垂直平分线上。,逆定理:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,2.过点M、N作直线。,尺规作图,作法:,同理探究,测量,证明,测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离,已知,如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MNAB,P是MN上任意一点。求证:,证明:MNAB(已知)AOP=BOP=90(垂直的定义)在AOP和BOP中AO=BO(已知)AOP=BOP(已证)PO=PO(公共边)AOPBOP(SAS)PA=PB(全等三角形对应边相等),定理,线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。,你能写出上述定理的逆命题吗?它是真命题吗?,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,逆命题,证明,已知,如图,AP=BP求证:点P在线段AB的垂直平分线直线MN上,证明:过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O在RtAOP与RtBOP中O是AB的中点PA=PB(已知)PO=PO(公共边)RtAOPRtBOP(HL)OA=OB(全等三角形的对应边相等),定理,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,昨天,我们班赵影与杨小雪同时从家出发到学校,二人约定走路的速度一样,结果巧合的是二人同时到达锦华饭店,然后她们一起高兴的进了教室,但在教室内发生了如此的对话:赵影:如果不考虑我们两家到学校间的建筑物,我们还是同时同速的话,我就比你先到学校;杨小雪:不对,应该我先到。为此,二人争的不可开交,就在这时,吴金萍插了一句:“别吵了,你们同时到。”对于她们仨的说法,谁正确呢?,范例学习,已知:如图16-13,ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P求证:点P在BC的垂直平分线上,证明:连接PA、PB、PC点P在AB、AC的垂直平分线上(已知)PAPB,PAPC(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)PBPC(等式性质)点P在BC的垂直平分线上(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)发现新论:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等。,已知:如图,ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O。求证:点P在BC的垂直平分线上,证明:连接OA、OB、OC,点O在AB、AC的垂直平分线上(已知)OA=OB、OA=OC(线段垂直平分线上的点于线段两端点的距离相等)OB=OC(等量代换)点O在BC的垂直平分线上(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上),已知如图,DE是ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交AC于点E,且AC8,BC5,则BEC的周长为_。,针对性训练,13,整理小结,一个方法,证明线段相等的新方法:利用线段垂直平分线的性质。,两条定理,线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,三种作图,折纸;过中点做垂线;尺规作图法,作业,1、必做作业:(1)课本:P124习题16.2第3、4题2、选做作业:青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施,使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等。若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示,请在图中确定这处公共服务设施P的位置;,谢谢大家,欢迎指导,
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