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开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,上方,下方,顺时针,方向线,学点一平面距离问题,【分析】此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.,【解析】如图1-3-3所示,在ACD中,CAD=180-(120+30)=30.,要测量河对岸两地A,B之间的距离，在岸边选取相距100米的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内），求A,B两地的距离.,图1-3-3,【评析】求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是BCD和ABC.(2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中CD可视为基线.（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如题的CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图1-3-4).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.,解：方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1,1;B点到M，N点的俯角2,2;A,B的距离d(如图所示).,图1-3-4,第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN，由正弦定理方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1,1;B点到M，N点的俯角2,2;A，B的距离d(如图所示).,第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BM.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理,学点二高度问题,【分析】本题关键是画出图形，把已知量、未知量归到三角形中来求解.,如图1-3-5所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,图1-3-5,【评析】在解决与解三角形有关的问题时，首先要明确题意，正确地画出空间图形，然后根据条件和图形特点，寻找是否存在可解的三角形，如果有，则可先解之，进而为解决其他三角形创造可解条件，使问题逐一得到解决.,【解析】,如图1-3-6,为了测量建造中的某城市电视塔已达的高度，小明在学校操场上的某一直线上选A，B，C三点，且AB=BC=60m，分别在A，B，C三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，小明身高为1.5m，试求建造中的电视塔现在已达的高度（结果保留一位小数）.,解：设塔高为h，DE=x，则h=x+EF=x+1.5.,图1-3-6,学点三角度问题,我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？,【分析】先根据方位角画出图，根据题意及所画出的方位图可知，本题实际上可归纳为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及角的问题，即在ABC中，已知AB=12，AC=102=20,CAB=180-(10+50)=120，求BC及ABC.由BC长，进而可求出我舰航行速度，由ABC的大小进而可求出我舰航行方向.,图1-3-7,【解析】如图1-3-7所示，在ABC中，AB=12,AC=20,CAB=120,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ABACcosBAC=202+122-22012cos120=400+144+240=784.BC=28（海里）.我舰的追击速度是，即14海里/时.,【评析】方位角的确立是解题的关键.注意A，B两处方位图之间的相互联系.,在ABC中，由正弦定理，得即ABC38.2,50-38.2=11.8.故我舰航行的方向约为北偏东11.8.,在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A(-1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?,解：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,学点四三角形的计算问题,已知ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.A=2B,cosB=.（1）求sinC的值；（2）若角A的内角平分线AD的长为2，求b的值.,【分析】将平面几何的有关知识与解三角形联系在一起，发现边角间的关系是解题的关键.,【解析】,【评析】解决本题的关键是找出ADC中的ADC与A的相等关系，因此，在较复杂的几何图形中，尽量把已知条件转化到同一个三角形中，根据条件特征运用正、余弦定理解决.,图1-3-8,如图1-3-9，已知MON=60,Q是MON内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求点O到Q的距离.,图1-3-9,解：设QA，QB分别是Q点到两边OM，ON的距离.则QA=2，QB=11，并且A和B都在以OQ为直径的圆上.AOB=60,AQB=120.连结AB，在AQB中，由余弦定理，得AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB=22+112-2211()=147,AB=.,学点五实际应用中的优化问题,某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为60、半径为a的扇形边角料,现要利用废物,从中剪裁下矩型毛坯,要求矩形面积尽可能大,请问如何裁剪?,【分析】此题是一道关于怎样合理利用材料的问题，注意建立相关函数，求极值并结合图形解答.,【解析】方法一:如图1-3-10,矩形有两个顶点在半径OA上,设AOP=,则PM=asin,扇形中心角为60,PQO=120.,图1-3-10,图1-3-11,【评析】本题是难度较大的一道三角题目，考查正弦定理，三角形面积公式，三角函数性质等基础知识，分类讨论，函数与方程等数学思想方法.,图1-3-12,如图1-3-12所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸线一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶.汽车开动时,在距O点500千米,且与海岸线距离400千米的海面上M点处有一艘快艇与汽车同时出发,要把一件重要物品送给这辆汽车司机.该快艇至少以多大的速度行驶,才能将物品送到汽车司机手中?并求出此时快艇行驶的方向.(参考数据:cos6025=,cos5308=,cos3652=),解：如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后在N点与汽车相遇，MQ为M点到ON的距离，则MQ=400，设MON=，由题意知sin=,则cos=.由余弦定理，得MN2=OM2+ON2-2OMONcos,当=60,即t=时=6400,即快艇必须至少以80千米/小时的速度行驶时,.,设NMQ=,则故快艇的行驶方向为北偏东5308.另解提示：在OMN中，当OMN=90时，vmin=80.,1.在初中我们学习过哪些测量距离的方法？为什么又进一步学习测量的方法？在初中，我们已经学习过一些测量方法，如：应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形.但这些方法在实际的测量中都有一定的局限性，如解直角三角形法，在实际测量中，可能会受到地区（如建筑物等）的限制，而无法构造直角三角形，因此，有必要进一步地研究更为一般情况下的测量方法，以解决日常生产、生活中的一些实例.,2.解三角形应用题的步骤和思路是怎样的？（1）一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的三角形是否符合实际意义，从而得出满足实际问题的解.（2）基本思路：,1.应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所要求的量，从而得到实际问题的解.2.解题时应认真读题，未给出图形的，要画出示意图，结合图形去选择正弦定理、余弦定理，使解题过程简捷.另外，对于实际问题的解，要注意题目中给出的精确度，合理地取近似值.3.运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理，运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边的关系，往往考虑用余弦定理求角.,4.在解决斜三角形问题时，要注意仰角、俯角、方位角等名词，准确地指出这些角.5.在解三角形时，要注意把平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，能够发现题目中的隐含条件，才能顺利地解决问题.,一样的软件不一样的感觉一样的教室不一样的心情一样的知识不一样的收获,
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