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第20练平面向量中的线性问题题型分析高考展望平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.(2)如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)(，为实数)，若A、B、C三点共线，则1.变式训练1(1)(2015杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若k，则k等于()A.1 B.2C.2 D.2(2)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.题型二平面向量的坐标运算例2(1)(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.(2)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：求满足ambnc的实数m，n；若(akc)(2ba)，求实数k；若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.高考题型精练1.(2015四川)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x等于()A.2 B.3C.4 D.62.(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab)3.(2015长春调研)已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A.1 B.C. D.4.(2014课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B.C. D.5.(2015潍坊模拟)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，则“a(4,2)”是“ab”成立的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n (m，n0)，则的最小值为()A.2 B.4C.D.97.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.8.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.9.(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.10.(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.11.(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.12.(2015常州模拟)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值.答案精析第20练平面向量中的线性问题常考题型精析例1A 3，3()，即43，.(2)解由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，k2k2()k2(ba)k2ak2b(k2为实数)，又a(k1ak1b)(1k1)ak1b，由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，所以所以ab.所以a(ab).变式训练1(1)A(2)解析根据向量的基本定理可得()()().所以，k1.所以k1.故选A.(2)依题意得，；又，于是有；又与不共线，因此有由此解得，2，所以.例2(1)3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.(2)解由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得解得或d(3，1)或d(5,3).变式训练2(1)1(2)m解析(1)设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.高考题型精练1.B a(2,4)，b(x,6)，ab，4x260，x3.2.D 在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.3.D 过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.C 如图，()2.5.C 若a(4,2)，则|a|2，且ab都成立；ab，设ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2).因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要条件.6.C .同理，又M，O，N三点共线，故，即0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).(当且仅当n2m时，等号成立)7.4解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系(图略)，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.8.1解析由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，tan 150，即，1.9.解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.10.解析因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .11.解析()，x，y.12.(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时，由(1)知(4t2,4t22).(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不论t2为何实数，A、B、M三点共线.(3)解当t1a2时，(4t2,4t22a2).又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2).又|4，点M到直线AB：xy20的距离d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值为2.
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