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第4练用好基本不等式题型分析高考展望基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误.常考题型精析题型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)xxaa (xa).(2)若1，则mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均为正数).例1(1)(2015山东)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_.(2)函数y的最大值为_.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.变式训练1(2015重庆)设a，b0，ab5，则的最大值为_.题型二基本不等式的综合应用例2(1)(2015深圳模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件(2)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.求曲线C的方程及t的值；记d，求d的最大值.点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.变式训练2(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrp B.qrpC.prq D.prq高考题型精练1.(2014重庆)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.742.(2015济南模拟)已知x1，y1，且ln x，ln y成等比数列，则xy()A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A.av B.vC.v2)在xa处取最小值，则a等于()A.1 B.1C.3 D.45.(2015兰州模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A. B. C. D.6.(2015北京海淀区模拟)已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A.4 B.16C.9 D.37.已知ma(a2)，nx2(x)，则m与n之间的大小关系为_.8.已知x，y(0，)，2x3y，若 (m0)的最小值为3，则m的值为_.9.(2015天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.10.(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F .(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.11.(1)已知0x1)的最小值.12.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.答案精析第4练用好基本不等式常考题型精析例1 (1)(2)解析(1)由题意，得xy(2y)x，当且仅当xy时取等号.(2)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).变式训练13 a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，当且仅当a，b时，等号成立，则3，即最大值为3.例2(1) B 平均每件产品的费用为y220，当且仅当，即x80时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.(2)解y22px(p0)的准线x，1()，p，抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.由知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20.d的最大值为1.变式训练2C 0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.选C.高考题型精练1.D 由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，当且仅当时取等号.故选D.2.C x1，y1，且ln x，ln y成等比数列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.3.A 设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为，从而v.0ab，a，即，av2，x20.f(x)x222 24，当且仅当x2，即x3时，“”成立.又f(x)在xa处取最小值.a3.5.D 由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.7.mn ma(a2)24(a2)，当且仅当a3时，等号成立.由x得x2，nx24即n(0,4，mn.)8.4解析由2x3y得xy3，则(xy)(1m2)，(1m2)3，即(1)29，解得m4.9.4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.10.(1)1 900(2)100解析(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时.比(1)中的最大车流量增加100 辆/时.11.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0x，05x0，5x(25x)()21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(2)设x1t，则xt1 (t0)，yt5259.当且仅当t，即t2，且此时x1时，取等号，ymin9.12.解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.
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