二重积分的应用之曲面面积.ppt

一 平面方程 三 曲面面积 机动目录上页下页返回结束 曲面面积的计算 二 曲面的切平面与法线 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称上式为平面 的点法式方程 则该平面 的方程为 法向量 量 机动目录上页下页返回结束 一 平面方程 过三点 的平面方程为 机动目录上页下页返回结束 二 平面的三点式方程 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 机动目录上页下页返回结束 三 平面的截距式方程 四 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 机动目录上页下页返回结束 外一点 求 补 设 是平面 到平面的距离d 点到平面的距离公式 机动目录上页下页返回结束 二 曲面的切平面与法线 设有光滑曲面 为其上定点 机动目录上页下页返回结束 上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面 此平面称为 在该点的切平面 曲面 在点M的法向量 法线方程 切平面方程 复习目录上页下页返回结束 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 显式情况 法线的方向余弦 法向量 机动目录上页下页返回结束 为法线与各坐标轴的夹角 二 曲面的面积 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为面积元素 则 机动目录上页下页返回结束 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 机动目录上页下页返回结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 机动目录上页下页返回结束 且 例 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解 曲面在xoy面上投影为 则 出的面积A 机动目录上页下页返回结束