《空间向量的数乘运算》.ppt

3 1 2空间向量的数乘运算 一 空间向量的数乘 2 空间向量的数乘的性质 1 定义 实数与空间向量的乘积仍然是一个向量 称为空间向量的数乘 2 空间向量的数乘的运算律 3 数乘结合律 1 数乘分配律1 2 数乘分配律2 1 定义 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 则这些向量叫做 共线向量 二 空间中的共线向量 或平行向量 2 空间中共线向量的性质 1 共线 2 非零共线向量的传递性 3 零向量与任一向量共线 4 空间共线向量定理 对空间任意两个向量 有且只有一个实数 使 思考1 为什么要强调 思考2 这个定理有什么作用 1 判定两个向量是否共线 2 判定三点是否共线 B 推论 如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线 那么对任一点O 点P在直线上的充要条件是存在实数t 满足等式其中向量叫做直线的方向向量 因为 所以 特别的 当x 时 则有 进一步 P点为A B的中点 B 即 A B P三点共线 判定三点共线的方法总结 3 1 2 空间向量的基本定理 共面向量定理 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面的了 1 如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量 那么 该平面内的任一向量a与e1 e2有什么关系 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量 那么 该平面内的任一向量a 存在惟一的一对实数a1 a2 使a a1e1 a2e2 2 平面向量基本定理 复习 1 必要性 如果向量c与向量a b共面 则通过平移一定可以使他们位于同一平面内 由平面向量基本定理可知 一定存在唯一的实数对x y 使c xa yb 3 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 则向量c与向量a b共面的充要条件是 存在唯一的一对实数x y 使c xa yb 证明 共面向量定理的剖析 如果两个向量a b不共线 性质 判定 得证 判定空间中三点A B C共线的常用方法 1 只需得到存在实数 使 2 对空间任意点O 存在实数t 使 特别地 当t 1 2时 此时 点C恰为线段AB的 中点 例1 已知A B C三点不共线 对平面ABC外的任一点O 确定在下列条件下 M是否与A B C三点共面 例2 课本例 如图 已知平行四边形ABCD 从平面AC外一点O引向量 求证 四点E F G H共面 平面EG 平面AC 例2 课本例 已知ABCD 从平面AC外一点O引向量 求证 四点E F G H共面 平面AC 平面EG 证明 代入 所以E F G H共面 1 对于空间任意一点O 下列命题正确的是 A 若 则P A B共线 B 若 则P是AB的中点 C 若 则P A B不共线 D 若 则P A B共线 2 已知点M在平面ABC内 并且对空间任意一点O 则x的值为 1 下列说明正确的是 A 在平面内共线的向量在空间不一定共线 B 在空间共线的向量在平面内不一定共线 C 在平面内共线的向量在空间一定不共线 D 在空间共线的向量在平面内一定共线 2 下列说法正确的是 A 平面内的任意两个向量都共线 B 空间的任意三个向量都不共面 C 空间的任意两个向量都共面 D 空间的任意三个向量都共面