资源描述
习题一（A）1.写出下列随机试验的样本空间：（1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。2. 记三事件为。试表示下列事件：（1）都发生或都不发生；（2）中不多于一个发生；（3）中只有一个发生；（4）中至少有一个发生； （5）中不多于两个发生；（6）中恰有两个发生；（7）中至少有两个发生。3.指出下列事件与之间的关系：（1）检查两件产品，事件A=“至少有一件合格品”，B=“两件都是合格品”；（2）设T表示某电子管的寿命，事件A=T2000h，B=T2500h。4.请叙述下列事件的互逆事件：（1）A=“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”；（2）B=“数学考试中全班至少有3名同学没通过”；（3）C=“射击三次，至少中一次”；（4）D=“加工四个零件，至少有两个合格品”。5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。9.设A,B为任意二事件,且知,求；。 10.已知，求。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签（不放回）,甲先、乙次,丙最后。求:(1)甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率。 15.设A，B为两事件，且，问（1）在什么条件下取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下取到最小值，最小值是多少？16.设事件与互不相容，且，试证明 。17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求（1）该时期内这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求:（1）全厂的次品率；（2）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？ 20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。 22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少？24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:（1）恰好命中4次的概率；（2）至少命中3次的概率。25.事件相互独立，证明也相互独立。26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。27.袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。（B） 1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85。求:（1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。 3.设，则。4.若，则。5.已知三事件都满足，证明：。 6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。 7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A=1号马跑在前三位，B=2号马跑在第二位，求，和。 8.设是两两独立且不能同时发生的随机事件，且，求的最大值。 9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实验，求其中有3只工蜂的概率。习题二（A）1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。(1)；(2)；(3) ；(4) 。 2.设离散型随机变量的分布函数求的分布列。3.设离散型随机变量的分布列为X-112p0.20.50.3求：（1）的分布函数；（2）；（3）。 4.设随机变量的概率函数为：，试确定常数。5. 设随机变量服从泊松分布，且，求及。6.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. 7.设随机变量的密度函数为（1）；（2），求的分布函数.8.设随机变量的密度函数，且，试求出 ，。 9.设随机变量的密度函数为，求:（1）c；（2）；（3）的分布函数。 10.设随机变量的概率密度为，求:（1）；（2）；（3）的分布函数。11.在长度为的时间间隔内到达某港口的轮船数服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？ 12.若随机变量在上服从均匀分布，试求方程有实根的概率。13.设随机变量，且，求概率。14.设，求。15.由某机器生产的螺柱的长度（cm）服从正态分布，规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。 16.某种型号器件的寿命（以小时计）具有密度函数现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 17.设连续型随机变量的分布函数为，求：（1）系数；（2）；（3）密度函数。18.设的联合分布为下表X Y0100.10.110.80（1）求的边缘分布；（2）判别是否独立。19.设二维随机变量只能取数组的值，且取这些组值的概率依次为，写出的联合分布列并求出的边缘分布。20.已知随机变量的分布列分别为X-101p1/41/21/4Y01p1/21/2且，求（1）的联合分布列；（2）是否独立？为什么？21.已知二维随机变量的联合联合分布列为X Y02311/61/91/1821/3问当为何值时，相互独立？ 22.设二维随机变量的联合密度函数为，试求常数，并判别是否独立。23.设的联合密度函数为，（1）试求联合分布函数；（2）求概率，其中区域由轴，轴以及直线所围成。24.设的联合密度函数为，求常数及边缘概率密度，并讨论随机变量与的相互独立性。25. 已知随机变量的分布列如下：X-1 0 1 2 3p0.2 0.3 0.2 0.2 0.1求，的分布。26.设的联合概率分布如下表所示，X Y-1 0 200.1 0.2 010.3 0.05 0.120.15 0 0.1求，的概率分布。 27.设随机变量的密度函数为，求的概率密度。28.设随机变量的密度函数为，求；的密度函数。29.设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长分别为和的矩形面积的分布函数与密度函数。30.设与分别服从参数为与的指数分布，并且二者相互独立，求的密度函数。31.设的联合密度函数为 求的分布函数与密度函数。（B） 1.设随机变量与相互独立，且，在已知的条件下，求的条件分布。 2.设二维连续型随机变量的联合密度函数为 ，求条件概率，并求。 3.某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量，且日平均需求量（件），销售在3050（件）之间的概率为0.5.若进货不足每件损失利润70元，进货过量每件损失100元，求日最优进货量。4. 设二维随机变量服从上的均匀分布。求（1）；（2）的密度函数。5.设随机变量与相互独立，试在以下情况下求的密度函数：（1），；（2），.6.设随机变量与独立同分布于标准正态分布，试求的分布。7.设随机变量与相互独立同分布，的密度函数为，并且，求的密度函数。 8.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各8杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（假设各次试验是相互独立的）.9.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了房间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的.（1）以表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求的分布律.（2）户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以表示这只聪明的鸟儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求的分布律.（3）求是非次数小于的概率和试飞次数小于的概率.10.设与独立同分布于标准正态分布，试证明服从柯西分布。习题三（A）1.设随机变量X的分布列为X-1 0 0.5 1 2P1/3 1/6 1/6 1/12 1/4求，。 2.设随机变量的分布为下表所示，X0 1 2p 1/6 1/2求（1）；（2）；（3）及。3.已知，求。 4.已知随机变量X服从参数的泊松分布，求。 5.设X的分布列为下表所示X-1 0 2 3p1/8 1/4 3/8 1/4求。6.已知随机变量的分布函数为 求。 7.设随机变量X的密度函数为，求。8.设随机变量X的密度函数为，求。9.设随机变量X的密度函数为，求A及。10.设随机变量与相互独立，且，则的方差是多少？ 11.设随机变量服从参数为2的指数分布，试求：（1）与；（2）与。 12. 设离散型随机变量的可能取值为-1,0,1，且，试求的概率分布。13. 设随机变量服从分布，其概率密度为 其中是常数，求和。14.若随机变量服从均值为2，方差为的正态分布，且，求。 15.现有10张奖券，其中贰元的8张，伍元的2张。今某人从中随机地无放回地抽取了3张，求此人得奖金额的数学期望。 16.设随机变量的密度函数为 其中是常数，求，。17.设随机变量的联合分布列为下表所示， YX0 1 200.06 0.12 0.0410.16 0.14 0.2020.08 0.10 0.10求。 18.设二维随机变量的联合分布列为右表所示，（1）求，；（2）设，求；（3）设，求。19.设随机变量的联合密度函数为，试求,。 20.设二维随机变量的联合密度函数为 求。 21.设二维随机变量的联合密度函数为 求，。 22.设随机变量与相互独立，且，求，并求出与的相关系数。 23.设A和B是试验E的两个事件，且，并定义随机变量与如下：，证明：若，则与必定相互独立。24.设随机变量与相互独立，证明：。（B）1.设汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分发车，若乘客不知发车的时间，在每一小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客等待的时间的数学期望（精确到秒）。2.一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，假设它们的状态相互独立，以表示同时需调整的部件数，求。3.设随机变量的联合分布列为下表所示，Y X0 1 200.1 0.2 0.210.3 0.1 0.1试求（1），；（2）与的协方差矩阵。4.个人在大楼的1楼进入电梯，大楼共有层，电梯在每一层都可以停，若每人在任何一层楼走出电梯的概率相同，且若某层没有人走出电梯时，电梯可以不停，试求直到电梯中的乘客都走空时，电梯需停次数的数学期望。5.设袋中有2只红球和3只白球，个人轮流摸球，每人摸出2球，然后将球放回袋中由下一人摸，求个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。6.某人有把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开，求试开次数的数学期望和方差。7.设二维随机变量的联合密度函数为 求，。 8.设随机变量与独立同分布于正态分布，试求和的相关系数（其中是不为零的常数）。9.设二维随机变量的联合密度函数为 求，。 10.设二维随机变量的联合密度函数为 求：（1）与的数学期望及方差；（2）与的协方差及相关系数。11.设区域G为，二维随机变量服从G上的均匀分布，判断与的相关性、独立性。 习题四（A）1.设随机变量的数学期望，方差，利用切贝谢夫不等式，估计概率。 2.已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700.利用切贝谢夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率。3.在每次试验中，事件A发生的概率等于0.5，利用切贝谢夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在400至600次之间的概率。 4.设随机变量和的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，根据切贝谢夫不等式可估计。 5.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人死亡的概率等于0.005，现有这类投保者1万人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过70人的概率。 6.旅客买一份旅行保险交保险费20元，如果在旅行中遇事故身亡，保险公司向家属赔付20万元。设这一类伤亡事故的发生率为0.000081，假定这一年卖出100万份保险，若不计保险公司的运营成本，求（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司赚到500万元的概率。 7.若每次射击命中目标的概率为0.1，不断地进行射击，求在500次射击中，击中目标的次数在（49,55）内的概率。 8.某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%，为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？ 9.某产品的合格品率为99%，问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产品。 10.计算机在做加法运算时，对每个加数取整（取最接近它的整数），设所有取整数误差是相互独立的，且它们都在-0.5,0.5上服从均匀分布。将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率。 11.某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算（1）同时用电户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200瓦，问电站至少应具备多大的发电能力，才能以95%的概率保证供电。 12. 设随机变量相互独立同分布于泊松分布随机变量，求。 13.某车间有200台车床，在生产时间内由于工艺要求常常停车，设开工率为0.6，并将每台车床的工作当作是相互独立的，开工时耗电各为1千瓦，问至少要供给该车间多少电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足而影响生产？ 14.根据以往经验，某种电子元件的寿命服从参数为1/100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920的概率。15.一射手打靶，得5分的概率为0.4，得4分的概率为0.2，得3分的概率为0.2，得2分的概率为0.1，得0分的概率为0.1，该射手独立射击200次，求：（1）得的总分多于750分的概率；（2）总分介于650与750之间的概率。16.独立重复地对某物体的长度进行次测量，设各次测量结果。记为次测量结果的算术平均值，为保证有95%的把握使平均值与实际值的差异小于0.1，问至少需要测量多少次？ 17.由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90%。为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率。（B）1.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm，标准差为0.05mm，规定总长度为（）mm时产品合格，试求产品合格的概率。 2.根据中国政府于2000年进行的第五次全国人口普查，全国出生人口性别比为117，即在出生的婴儿中，男女比率达到117：100，某地区有7000名产妇，试估计她们的生育情况。 3.为确定某城市成年男子中吸烟者的比例，任意调查个成年男子，记其中的吸烟人数为，问至少为多大才能保证与的差异小于0.01的概率大于95%。 4.设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10min，且各产品的组装时间是相互独立的。（1）试求组装100件产品需要15h至20h的概率；（2）保证有95%的可能性，问16个h内最多可以组装多少件产品？ 5.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有2kw（千瓦）的空调机。若开房率为80%，需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机。6.某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1，问阅览室要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位 。7.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（20,100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，试求：（1）该餐厅每天的平均营业额； （2）该餐厅每天的营业额在平均营业额760元的概率。8.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独立的。试求，报童在向100位行人兜售之后，卖掉报纸15-30份的概率。 9.设随机变量独立同分布，证明对任意的，有。习题五（A）1.设样本来自正态总体，已知，而未知，则下列各式中哪些不是统计量。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。2.从一批零件中随机抽取8件，测得它们的重量（单位：kg）为230， 243， 185， 240 ，228， 196，246，200。试计算出样本均值和样本方差。 3. 设，要使，则为多少。4. 设为总体的一个样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于的概率。 5. 求总体的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。6. 设总体，为使样本均值大于70的概率不小于0.90，样本容量至少应取多大？ 7. 设为总体的样本,为样本均值，已知，则取何值。 8. 查表求标准正态分布的下列分位数：。 9. 查表求分布的下列分位数：，。 10.查表求分布的下列分位数：，。 11.证明F分布上侧分位数的关系式，并查表求F分布的下列上侧分位数： 12.设随机变量的分布函数为为其上侧分位数，证明：（1）；（2）。13. 试给出统计量与枢轴量的一些例子，并说明统计量与枢轴量的差别。14. 设为来自总体的样本，的样本均值为，样本标准差为，则统计量服从应服从什么分布。 15. 设为总体的样本，试计算。16. 设是来自正态总体的样本，则统计量服从什么分布。 17.设随机变量相互独立且都服从0-1分布，令，试求的方差。 18.设为标准正态总体的样本，则常数为何值时，使统计量服从分布，自由度为多少？ 19.设为总体的一个样本，当为何值时，统计量服从分布，并求其自由度。 20.设总体，为来自总体的一个样本，试求概率是多少？是多少？ 21.设总体，现在从中抽取25个样本，求。 22.设总体，现在从总体中抽取100个样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？ 23.从总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95，问至少应取多大？24.设总体，今从中抽取样本 ，问样本均值大于13的概率是多少？ 25.设是来自正态总体的样本，证明和相互独立。 （B）1. 设总体服从以为参数的泊松分布，为其一个样本，试求样本和的确切分布。2.已知，试证。3. 设是来自均值为，方差为的总体样本，为该样本的样本方差。试证。4.设总体服从两点分布，即，其中是未知参数，是来自的样本，求的联合概率分布。5.设分布，证明：。6.设是总体的一个样本，为此样本的阶原点矩。若总体的阶原点矩存在，利用大数定律证明。7. 已知，试证。8.设是总体的一个容量为的样本，为该样本的样本方差。另设总体的方差存在，试证。习题六（A）1.设总体具有分布列X1 2 3 其中为未知参数。已知取得了样本值，试求的矩估计值和极大似然估计值。 2.设总体分布如下，样本值为：230，243，185，240，228，196，246，200。试求未知参数的矩估计。（1）；（2），均为未知参数；（3）；（4）。3.设总体分布如下，是样本，试求未知参数的极大似然估计。（1）；（2）；（3）；（0）。4.设是来自总体的样本，则当取何值时，是未知参数的无偏估计。 5.设是来自总体的样本，证明下列各项为的无偏估计，并判断出哪一个为最有效的估计量。 （1）；（2） ；（3）。 6.设是来自均值为，方差为的总体的样本，为该样本的样本方差，证明：（1）；（2）。7.比较总体期望值的两个无偏估计， 的有效性。 8. 一个电子线路上电压表的读数服从上的均匀分布，其中是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设是此电压表上读数的一组样本，（1）证明样本均值不是的无偏估计；（2）求的矩估计，证明它是的无偏估计。 9.某公司职工年收入服从标准差为4（单位：万元）的正态分布，今从该公司随机抽取16名职工，测得平均年收入为3.6万元，试求该公司职工收入的置信度为95%的置信区间。 10.从服从正态分布的总体中抽取容量为9的样本，样本均值，样本标准差，试求总体均值的置信水平为95%的置信区间。 11.已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；（2）若已知，求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；（3）求的置信水平为95%的置信区间。12.某车间生产的零件长度服从正态分布，现从该车间生产的零件中随机抽取9个，测得其长度为（单位：m）：45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6试求总体标准差的置信水平为95%的置信区间。 13.设总体服从正态分布，其中未知，=4。设是其一个样本，当=16时，试求置信水平分别为0.9和0.95的的置信区间的长度。 14.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（=0.05）？ 15. 从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本，算得样本均值小时，样本标准差小时，以的水平验证这批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时? 16.某种导线的电阻服从正态分布，今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得。对于，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005？17.机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为500，标准差不能超过10.某天开工后，未检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重（单位：）为497 507 510 475 484 488 524 491 515。 问这天包装机工作是否正常（）？ 18.已知某一试验，其温度服从正态分布，现在测量了温度的5个值为 1250 1265 1245 1275问是否可以认为？ 19.某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间，依平常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得，问这天保险丝熔化时间分散度与平常有无显著差异（取，假定熔化时间服从正态分布）？20.从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%）如下：甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7假定各煤矿含灰率都服从正态分布，问甲乙两煤矿的含灰率有无显著差异（）?21.某种羊毛在处理前后，各抽取样本，测得含脂率（%）如下：处理前：19 18 21 30 66 42 8 12 30 27处理后：15 13 7 24 19 4 8 20羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率的标准差有无显著变化（）？ 22.两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布）。从中分别抽取8个和9个产品:甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（？ 23.甲乙两个铸造厂生产同一种铸件，假设两厂铸件的重量都服从正态分布，测得重量如下（单位：甲厂：93.3 92.1 90.1 95.6 90.0 94.7乙厂：95.6 94.9 96.2 95.1 95.8 96.3问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小（？ 24.某场使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为0.57（kg）。取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg），样本标准差为0.48（kg）。设产品质量服从正态分布，两个样本独立。问能否认为使用原料B生产的产品质量较使用原料A显著大（？ （B）1. 设是来自总体的样本，并且是参数的无偏估计，求常数。 2. 证明在样本的一切线性组合中，是总体期望值的无偏估计中有效的估计量。 3.在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间。 习题七（A）1.在一个单因素试验中，因素A有三个水平，每个水平各做4次重复试验，具体数据如下： 水平 数据 一水平 8，5 ， 7， 4 二水平 6，10 ，12，9 三水平 0，1， 5， 2试计算误差平方和、因素A的平方和、总平方和，并指出它们各自的自由度。2.在单因素方差分析中，证明。3.在单因素方差分析中，因素A有三个水平，每个水平各做4次重复试验，请完成下列方差分析表，并在显著性水平下对因素A是否显著作出检验。方差来源平方和自由度均方和F值因素4.2误差2.5总和6.74.某医院应用克矽平治疗矽肺，治疗前、中、后期患者血液中黏蛋白含量（mg%）观察结果如下：患者编号治疗前治疗中治疗后16.54.53.527.34.43.637.35.93.743.03.62.657.35.54.365.64.53.777.35.25.0试问用克矽平治疗矽肺对降低血液中黏蛋白含量是否有作用（）？5.某灯泡厂试验四种不同材料的灯丝对灯泡寿命的影响，结果如下：材料灯泡寿命（单位/h）A11600，1650，1680，1800，1720A21580，1640，1740，1700A31640，1730，1550 A41510，1570，1680，1600（1）试问灯泡寿命是否因为灯丝材料不同而有显著差异（）？（2）给出不同材料的效应的最大似然估计。6.将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。下表列出5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。试在下检验这些百分比的均值有无显著差异。青霉素四环素链霉素红霉素氯霉素29.627.35.821.629.224.332.66.217.432.828.530.811.018.325.032.034.88.319.024.27.一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试。现从各个班级随机抽取了一些学生，记录其成绩如下：1班：73，89，82，43，80，73，66，60，45，93，36，772班：88，78，48，91，51，85，74，56，77，31，78，62，76，96，803班：68，79，56，91，71，71，87，41，59，68，53，79，15若各班学生成绩服从正态分布，且方差相等，试在显著性水平 下检验各班级的平均分数有无显著差异？ 8.在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时间后观察他们在一个月内的推销额，数据如下：组别推销额/千元第一组20.0 16.8 17.9 21.2 23.9 26.8 22.4第二组24.9 21.3 22.6 30.2 29.9 22.5 20.7第三组16.0 20.1 17.3 20.9 22.0 26.8 20.8第四组17.5 18.2 20.2 17.7 19.1 18.4 16.5第五组25.2 26.2 26.9 29.3 30.4 29.7 28.2 （1）假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在下，这五种方法在平均月推销额上有无显著差异？ （2）哪种推销方法的效果最好？9.为了考察温度对某种化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度：A1=60C，A2=65C，A3=70C，A4=75C，A5=80C在每种温度下各做三次试验，测得其得率（%）如下：温度A1A2A3A4A5得 率868690848486888883868387928882检验温度对该化工厂的得率是否有显著影响。10.对生产的高速铣刀进行淬火工艺试验，选择三种不同的等温温度A： A1=280C，A2=300C，A3=320C及三种不同的淬火温度B： B1=1210C，B2=1235C，B3=1250C测得铣刀硬度如下：A BB1B2B3A1646668A2666867A3656768检验等温温度及淬火温度对铣刀的硬度是否有显著影响。11.某粮食加工厂试验5种贮藏方法，检验它们对粮食含水率是否有显著影响。在贮藏前这些粮食的含水率几乎没有差别，贮藏后含水率如下：含水率（%）试验批号A17.3,8.3,7.6,8.4,8.3A25.4,7.4,7.1A38.1,6.4A47.9,9.4,10.0A57.1,7.7,7.4（1）检验不同的贮藏方法对含水率的影响是否有显著差异（）；（2）给出不同的贮藏方法下平均含水率的最大似然估计。12.设四名工人操作机器各一天，其日产量如下表所示，问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响（）？机器 工人B1B2B3B4A150474753A253545758A35242414813.为了考察收缩率（A）与总拉伸倍数（B）以及它们的交互作用对合成纤维的弹性的影响，收缩率选取三个水平，总拉伸倍数选取四个水平，并在各个水平的配合下重复试验二次，得到试验数据如下：A BB1B2B3B4A171 73（72）72 73（72.5）73 75（74）75 77（76）A273 75（74）74 76（75）75 77（76）74 74（74）A373 76（74.5）77 78（77.5）76 77（76.5）73 74（73.5）上表中，括弧内的数字是二次试验所得数据的平均值。检验收缩率、总拉伸倍数以及它们的交互作用对合成纤维的弹性是否有显著影响（）。14.在某橡胶的配方中，试验三种不同的促进剂（A），四种不同分量的氧化锌（B）对300%的定伸强力的影响，结果如下：A BB1B2B3B4A131,3334,3635,3639,38A233,3436,3737,3938,41A335,3737,3839,4042,44检验促进剂、氧化锌以及它们的交互作用对定伸强力是否有显著影响（）。15.某实验室测试三种不同品牌的油漆（A）涂于四种不同表面（B）时油漆的抗剥落性，得到抗剥落性的测量值如下：A BB1B2B3B4A122,2024,1816,1726,25A214,1510,1218,2110,14A310,1218,1814,1620,18检验不同品牌不同表面以及它们的交互作用是否有显著影响（）。16.某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此设备上操作，记录下他们的日产量如下表。试根据方差分析说明这三台设备和五名工人之间对日产量的影响是否显著（）。A B工人一工人二工人三工人四工人五设备A16472638178设备A27566617380设备A37867806971（B）1.抽样调查四所大学（A）的三个不同专业（B）MBA学生毕业第一年的收入（单位：万元）情况，结果如下：A BB1B2B3A19.48.810.3A26.87.15.2A37.59.87.4A44.53.86.3 （1）试问大学与专业的不同是否造成学生收入的显著差异（）； （2）给出各大学与专业的效应，并确定大学与专业的最佳选择。2.在单因素方差分析模型下，证明（1），并求；（2）；（3）若成立，有。 3. 证明在双因素方差分析中，的展开式中三个交叉项为零。习题八（A）1.测量12棵某种树的高度和离地面1.5m处的直径，其数据如下表所示：直径0.91.22.93.13.33.94.36.29.612.616.125.8高度1826323644.535.640.557.567.3846787.5求高度关于直径的线性回归方程。2.某企业广告费支出与销售额资料如下表所示（单位：百万元）：广告费64825销售额5040703060（1）销售额（）与广告费（）之间是否存在线性相关关系（）？（2）若存在线性相关关系，求关于的线性回归方程。3.为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得其甲醇浓度及相应的“缩醇化度”数据如下：1820222426283026.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36 （1）作散点图；（2）求样本相关系数；（3）建立一元线性回归方程；（4）对建立的回归方程作显著性检验（）。 4.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下的数据：碳含量x（%）0.100.300.400.550.700.800.95电阻y（20C时,微欧）1518192122.623.826设对于给定的x,y为正态变量，且方差与x无关。（1）画出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）对建立的回归方程作显著性检验（）；（4）若回归效果显著，求的置信度为95%的置信区间；（5）求x=0.50处的置信度为95%的预测区间。5.测得一组弹簧形变（单位：cm）和相应的外力（单位：N）数据如下：11.21.41.61.82.02.22.42.83.03.083.764.315.025.516.256.747.408.549.24若假定，试估计，并在处给出相应的外力的0.95的预测区间。 6.现收集了16组合金钢中的碳含量及强度的数据，求得。 （1）建立关于的回归方程；（2）求的相关系数；（3）给出的0.95置信区间；（4）在时求对应的的0.95的预测区间。 7.在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间下腐蚀深度的数据，求得回归方程为 且误差方差的无偏估计为，总偏差平方和为0.1246。 （1）对回归方程做显著性检验（）；（2）求样本相关系数；（3）若腐蚀时间，试给出的0.95近似预测区间。 8.从20的样本中得到的有关结果是：U=60，Q=40。要检验与之间的线性关系是否显著，即检验假设。则 （1）线性关系检验的统计量F值是多少; （2）给定显著性水平，是多少；（3）是拒绝原假设还是接受原假设；（4）假定与之间是负相关，计算相关系数；（5）检验与之间的线性关系是否显著。9.设曲线函数形式为，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式。10.设曲线函数形式为，问能不能找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给出；若不能，说明理由。 11.调查某市出租车使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如下：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0（1）求线性回归方程；（2）由（1）中结论预测10年所支出的维修费用。 12.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋面积x的数据：房屋面积（m2）11511080135105销售价格（万元）24.821.618.429.222（1）求线性回归方程；（2）估计当房屋面积为150 m2时的销售价格。13.根据两个自变量得到的多元回归方程为，并且已知，,。要求：（1）在的显著性水平下，与的线性关系是否显著；（2）在的显著性水平下，是否显著；（3）在的显著性水平下，是否显著。 14.大豆播种至出苗的长短取决于土壤温度和水分，现有试验数据如下表，x10.08400.07350.05840.05290.04630.04460.04780.04500.03830.0367x25.26313.96824.13326.06065.88234.71693.61014.08165.29103.4843y26181012988755（1）试建立大豆出苗时间、土壤温度和水分的二元线性回归方程；（2）检验线性回归关系是否显著；（3）检验回归系数是否显著。（B）1.证明分别是的无偏估计。2.证明。3.在成立时，证明。习题参考答案习题一（A）1. （1），0表反面，1表正面； （2）；（3）；（4）.2.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.3.（1）；（2） .4.（1） =“抛掷一枚骰子两次，点数之和小于8”；（2）=“数学考试中全班至多有2名同学没通过”；（3）=“射击三次，三次都未中”；（4）=“加工四个零件，至多有一个合格品”.5. 0.94. 6.（1）；（2）；（3）.7. . 8.（1）；（2）. 9.0.688；0.28.10. . 11. . 12. 0.18. 13. .14.（1）；（2）；（3） ；（4）.15.（1），0.6；（2），0.3 .17. 0.27；0.15. 18. 0.455. 19. （1）3.45%；（2）乙车间.20. 0.863；甲厂生产的可能性大. 21. 0.3223. 22. 0.9524.23. 0.94. 24.（1）0.204；(2)0.999. 26.（1）0.2286；（2）0.496. 27. .（B）1. . 2.（1）0.388；（2）0.059；（3）0.384. 6. 0.62.7. ，. 8. 0.5 . 9. 0.36.习题二（A）1.（4）. 2.，.3.（1）；（2）0.8；（3）1. 4. 1. 5. ，. 6.（1）0.163；（2）0.353.7.（1）；（2）.8.9.（1）；（2）；（3）.10.（1）1；（2）；（3）.11. . 12. 0.8. 13. 0.2. 14. 0.5762.15. 0.9545. 16. . 17. （1）1；（2）0.4；（3）.18. （1） X01p0.20.8Y01p0.90.1（2）不独立.X Y01/31-101/121/301/60025/1200X-102p5/121/65/1219.Y
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