定积分教案

数学分析之九第九章 定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1 理解Riemann定积分的定义及其几何意义2 了解上和与下和及其有关性质3 理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5 了解积分第一中值定理6 掌握变上限积分及其性质7 熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。 第 页时间-月-日星期-课题 1 定积分概念 （2学时）教学目的知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点深刻理解并掌握定积分的思想教学难点理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限课 型 理论讲授教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点复习极限的定义，极限的唯一性定理；导数的引入例子及其物理意义；不定积分概念，及其与导数运算的性质；定积分是特殊和式的极限一、问题背景：1. 曲边梯形的面积: 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 设函数在闭区间上连续，且。则由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。在区间内任取个分点，依次为它们将区间分割成个小区间，。记为，即，。并用表示区间的长度，记，再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间，上任取一点，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页 。 从而。2. 变力所作的功: 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限变力所作的功W 设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设F处处平行于轴（如下图），同上述，有，而 根据上述两个例子建立数学模型对于函数，按照上述方法，讨论“极限”方法：分割；近似；求和；取极限二、定积分的定义: 3.有关概念：分割；分割T的模积分和（黎曼和）；可积， 黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限函数，方法：分割；近似；求和；取极限定义 设是定义在上的一个函数，对于的一个分割，任取点，并作和式。称此和式为在关于分割T的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割T有关，也与点的取法有关）。 又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在，使得对的任意分割T，以及 ，只要，就有 第 页。则称函数在上可积或黎曼可积。数称为函数在上的定积分或黎曼积分，记作：其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，称为被积式，分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3）三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间 作为分法 取.= .由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有 .上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。作业： 课后1. 2.（1）（2）此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页时间-月-日星期-课题 2 Newton Leibniz 公式（2学时）教学目的深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）；定积分的几何意义；注：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关。二、定积分的计算（1），按定义计算（2）应用下列定理Th9.1 （ N L公式 ）若函数在【a，b】上连续，且存在原函数，即，则 在【a，b】上可积，且这个公式称作（ N L公式 ）( 证明思路 函数函数在【a，b】上连续，则一致连续)（根据定积分定义与极限定义证明）证明：（略）例1求; ;例2利用（ N L公式 ） 求下列定积分1）， 第 页2） 3）4）5）例3 求.小结：1.利用N-L公式求定积分的步骤。 2.利用定积分定义计算形如 的极限时，找被积函数的方法；利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。练习 p.207 第二题作业p206,1.2此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 时间-月-日星期-课题3可积条件（2学时）（一）教学目的理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法.教学重点掌握可积的充要条件教学难点函数可积性问题的证明；课 型理论课教学媒体教法选择讲授教 学 过 程教法运用及板书要点一、必要条件: 定理 9.2 若函数 f(x) a,b， f(x)在区间a,b上有界.证明方法：反证法回顾f(x)在区间a,b上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插入点任意，介点选取任意）给出证明：例1 讨论Dirichlet函数D(x)在区间0,1上的可积性 .强调 可积与函数有界之间的关系二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 .复习极限的双逼原理方案: 定义上和S(T)和下和s(T). 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 . . 第 页设T=为对,b的任一分割。由 f(x) 在,b上有界知，它在每个上存在上、下确界：,.作和，分别称为 f(x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，显然有.说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点的取法无关。2. Darboux和: 以下总设函数f(x)在区间a,b上有界. 并设 ,其中 和 分别是函数f(x)在区间a,b上的下确界和上确界Darboux和定义： 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 唯一确定.分别用S(T)、s(T)和 记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 s(T) S(T)因此有 . 和 的几何意义 .*3. Darboux和的性质:分点增加，上和不增，下和不减.定理9.3（可积准则）函数在上可积的充要条件是：对任意的，总存在相应的分割T，使得（本定理的证明，参见6）定理9.3的几何意义此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页设,并称为在上的振幅，有必要时记为。则有。定理9. 函数在上可积对，使得。不等式或的几何意义：若函数f(x)在 a,b上可积，则p.209图9-7中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三、小结：可积的必要条件与可积准则可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法）当函数f(x)在区间a,b上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时, 可试用f(x)在区间 a,b上的振幅 作 的估计 , 有 . 此时, 倘能用总长小于,否则f(x)为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 a,b的其余部分作分割，使在每个小区间上有 ,对如此构造的分法 , 有 0.证明不等式.证明分析 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式 , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例4 .小结：积分的性质定理 和 积分中值定理课后习题处理：P219 1. 5.作业：p。219 2. 3。注记:1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好.2、P217注意2中的这里 取是因为P207题3要求连续.此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页时间-月-日星期-课题5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）（一）教学目的掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.教学重点变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分教学难点变上限的定积分和它的分析性质的应用.课 型理论+实践教学媒体教法选择讲授+练习教 学 过 程教法运用及板书要点一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 . 1.变限积分:设在上可积，则对，在上也可积，于是，由， 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分：，和统称为变限积分。说明：由于 ，因此，只要讨论变上限积分即可。定理9.9 ( 面积函数的连续性 ) 若 f(x)在 a,b上可积，则在上连续。思路：表达面积函数 .利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得2.微积分学基本定理： 定理 9.10 微积分学基本定理 （原函数存在定理）若函数 f(x)在上连续，则 第 页在上处处可导，且，。即当 连续 时, 面积函数 可导且在点 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是 的一个原函数 .证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。注 连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理 定理9.11 （积分第二中值定理）设函数在上可积，（i）若函数在上减，且 ，则存在上的点，使得（ii）若函数在上增，且 ，则存在 ，使得 推论 函数在上可积，若为单调函数，则存在 ，使得 注：若函数在上单调递减，令，则对应用定理9-11即得；若函数在上单调递增，则对应用定理9-11即得。此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页二换元积分法与分部积分法： 1.定积分换元积分法 定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数在上连续，在上连续可微，且满足，则有定积分的换元积分公式：。注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。例1 计算 。注： 令或即可。例2 计算。注： 令，逆向应用换元积分公式即可。例3 计算。注： 先令，再令即可。小结：1. 变上限的定积分和它的分析性质 2. 积分第二中值定理及其推论3. 换元积分法练习：此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页时间-月-日星期-课题5 微积分基本定理.定积分计算（续）（1学时+1学时习题课）（二）教学目的掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.教学重点变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分教学难点变上限的定积分和它的分析性质的应用课 型理论+实践教学媒体教法选择讲授+练习教 学 过 程教法运用及板书要点回顾复习：换元积分法2.定积分分部积分法定理9.13 （定积分的分部积分法） 若、为上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式： ，或 。例4 计算 例5 计算和。 解 = ；解得 直接求得 ， 第 页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页. 于是,当 为偶数时, 有 ;当 为奇数时, 有 .三 泰勒公式的积分型余项1.设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则 。其中即为的泰勒公式的阶余项。由此可得，即为泰勒公式的积分型余项。 由于连续，在（或）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，使得。即为拉格朗日型余项。 2. 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 ，其中，。 而，故 第 页 ，称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当时，柯西型余项变为： ，。注：1、变上限的定积分求导,补充上限是一个函数情况.按复合函数求导法则来进行2、换元积分法和分部积分法对照着不定积分的区别与练习,注意“换元换限”就可以了作业：P229 3. 4 .(2)(4)(6)(8)(10)(12)此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第 页时间-月-日星期-课题习 题 课 （2学时）教学目的1.解答学生在处理课后习题中遇到的问题。2. 能力提高教学重点变上限函数的导数教学难点变上限函数的导数的应用课 型理论+实践教学媒体教法选择讲授+练习教 学 过 程教法运用及板书要点一 积分不等式： 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1 证明不等式 .证 注意在区间 0 , 1 上有 , 例2 证明不等式.证 考虑函数,.易见对任何 , 在区间 上 和 均单调, 因 第 页此可积,且有 , 注意到 , 就有 .而, .因此有 .取 , .在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ， . 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页综上 , 有不等式.2.某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, . 若对任何 和 , 均有 ,即得.令 , 注意到函数 f(x)和g(x)在区间 a,b上可积, 即得积分不等式 .倘若函数 和 连续 , 还可由 .二. 变上限函数的导数 : 例3 求例4 求例5 求 .例6 设时函数f(x)连续且. 求.例7 设函数 连续且 .求 和 .解 令 . 两端求导, .例7 设 . = .试证明 : = .小结：此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 27