概率论与数理统计习题解答(第二版)李书刚编-科学出版社

概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 1 页 共 78 页 第一章 随机事件及其概率 1 写出下列随机试验的样本空间 1 同时掷两颗骰子 记录两颗骰子的点数之和 2 在单位圆内任意一点 记录它的坐标 3 10 件产品中有三件是次品 每次从其中取一件 取后不放回 直到三件次品都取出 为止 记录抽取的次数 4 测量一汽车通过给定点的速度 解 所求的样本空间如下 1 S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 S x y x 2 y20 2 设 A B C 为三个事件 用 A B C 的运算关系表示下列事件 1 A 发生 B 和 C 不发生 2 A 与 B 都发生 而 C 不发生 3 A B C 都发生 4 A B C 都不发生 5 A B C 不都发生 6 A B C 至少有一个发生 7 A B C 不多于一个发生 8 A B C 至少有两个发生 解 所求的事件表示如下 1 2 3 4 567 8 ABCABC 3 在某小学的学生中任选一名 若事件 A 表示被选学生是男生 事件 B 表示该生是三年 级学生 事件 C 表示该学生是运动员 则 1 事件 AB 表示什么 2 在什么条件下 ABC C 成立 3 在什么条件下关系式 是正确的 B 4 在什么条件下 成立 A 解 所求的事件表示如下 1 事件 AB 表示该生是三年级男生 但不是运动员 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 2 页 共 78 页 2 当全校运动员都是三年级男生时 ABC C 成立 3 当全校运动员都是三年级学生时 关系式 是正确的 CB 4 当全校女生都在三年级 并且三年级学生都是女生时 成立 AB 4 设 P A 0 7 P A B 0 3 试求 PA 解 由于 A B A AB P A 0 7 所以 P A B P A AB P A P AB 0 3 所以 P AB 0 4 故 1 0 4 0 6 5 对事件 A B 和 C 已知 P A P B P C P AB P CB 0 P AC 求14 18 A B C 中至少有一个发生的概率 解 由于 故 P ABC 0 0 P 则 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 11548 6 设盒中有 只红球和 b 只白球 现从中随机地取出两只球 试求下列事件的概率 A 两球颜色相同 B 两球颜色不同 解 由题意 基本事件总数为 有利于 A 的事件数为 有利于 B 的事件数为2abA 2abA 1112abab 则 212 aabAPPB 7 若 10 件产品中有件正品 3 件次品 1 不放回地每次从中任取一件 共取三次 求取到三件次品的概率 2 每次从中任取一件 有放回地取三次 求取到三次次品的概率 解 1 设 A 取得三件次品 则 3 310 106 272或 者 CAPAP 2 设 B 取到三个次品 则 37 8 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语 35 人会讲日语 32 人会讲日语和英语 9 人 会讲法语 英语和日语 且每人至少会讲英 日 法三种语言中的一种 求 1 此人会讲英语和日语 但不会讲法语的概率 2 此人只会讲法语的概率 解 设 A 此人会讲英语 B 此人会讲日语 C 此人会讲法语 根据题意 可得 1 3293 100 PABCPABC 2 01 1PAB 43524 9 罐中有 12 颗围棋子 其中 8 颗白子 4 颗黑子 若从中任取 3 颗 求 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 3 页 共 78 页 1 取到的都是白子的概率 2 取到两颗白子 一颗黑子的概率 3 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率 4 取到三颗棋子颜色相同的概率 解 1 设 A 取到的都是白子 则 38124 05 CPA 2 设 B 取到两颗白子 一颗黑子 84312 9B 3 设 C 取三颗子中至少的一颗黑子 075 PCA 4 设 D 取到三颗子颜色相同 38412 D 10 1 500 人中 至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少 1 年按 365 日计算 2 6 个人中 恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少 解 1 设 A 至少有一个人生日在 7 月 1 日 则 50364 1 7 P 2 设所求的概率为 P B 4126 0 CB 11 将 C C E E I N S 7 个字母随意排成一行 试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p 解 由于两个 C 两个 E 共有 种排法 而基本事件总数为 因此有2A7A 270 94Ap 12 从 5 副不同的手套中任取款 4 只 求这 4 只都不配对的概率 解 要 4 只都不配对 我们先取出 4 双 再从每一双中任取一只 共有 中取法 设 452C A 4 只手套都不配对 则有 451028 CPA 13 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件 第 i 只零件是不合格的概率为 i 1 2 3 若以 x 表示零件中合格品的个数 则 P x 2 为多少 1ipi 解 设 Ai 第 i 个零件不合格 i 1 2 3 则 1 iiPAp 所以 1iiPp 23123123 xAPA 由于零件制造相互独立 有 123123 P 123123 PA APA 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 4 页 共 78 页 12131 2 3442Px 所 以 14 假设目标出现在射程之内的概率为 0 7 这时射击命中目标的概率为 0 6 试求两次独 立射击至少有一次命中目标的概率 p 解 设 A 目标出现在射程内 B 射击击中目标 B i 第 i 次击中目标 i 1 2 则 P A 0 7 P Bi A 0 6 另外 B B1 B2 由全概率公式12 PBAPBA 另外 由于两次射击是独立的 故 P B1B2 A P B1 A P B2 A 0 36 由加法公式 P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B 1B2 A 0 6 0 6 0 36 0 84 因此 P B P A P B1 B2 A 0 7 0 84 0 588 15 设某种产品 50 件为一批 如果每批产品中没有次品的概率为 0 35 有 1 2 3 4 件 次品的概率分别为 0 25 0 2 0 18 0 02 今从某批产品中抽取 10 件 检查出一件次品 求该批产品中次品不超过两件的概率 解 设 Ai 一批产品中有 i 件次品 i 0 1 2 3 4 B 任取 10 件检查出一件次品 C 产品中次品不超两件 由题意 01945281093475016 2 PBCAPBC 由于 A0 A1 A2 A3 A4 构成了一个完备的事件组 由全概率公式 40 0 196 iiiPB 由 Bayes 公式 000111222 5 3 APBP 故 0 58 iiCAB 16 由以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏 2 10 和 90 的概率分别为 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 5 页 共 78 页 0 8 0 15 0 05 现在从中随机地取三件 发现三件全是好的 试分析这批物品的损 坏率是多少 这里设物品件数很多 取出一件后不影响下一件的概率 解 设 B 三件都是好的 A 1 损坏 2 A2 损坏 10 A1 损坏 90 则 A1 A2 A3 是两两互斥 且 A1 A2 A3 P A 1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 因此有 P B A1 0 983 P B A2 0 903 P B A3 0 13 由全概率公式 31333 0 89 509 501 8624 iiiPB 由 Bayes 公式 这批货物的损坏率为 2 10 90 的概率分别为 312 33 8 70624 159 18 08 iiiiiiAPBP 由于 P A1 B 远大于 P A3 B P A2 B 因此可以认为这批货物的损坏率为 0 2 17 验收成箱包装的玻璃器皿 每箱 24 只装 统计资料表明 每箱最多有两只残次品 且 含 0 1 和 2 件残次品的箱各占 80 15 和 5 现在随意抽取一箱 随意检查其中 4 只 若未发现残次品 则通过验收 否则要逐一检验并更换残次品 试求 1 一次通过验收的概率 2 通过验收的箱中确定无残次品的概率 解 设 Hi 箱中实际有的次品数 A 通过验收 012 i 则 P H0 0 8 P H1 0 15 P H2 0 05 那么有 423142 5 69 8PACH 1 由全概率公式 20 0 96 iiiPAPAH 2 由 Bayes 公式 得 00 81 396 i 18 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备 调查表明 在任一时刻 每台设备被 使用的 概率为 0 1 问在同一时刻 1 恰有两台设备被使用的概率是多少 2 至少有三台设备被使用的概率是多少 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的 因此本题可以看作是 5 重伯努利试验 由题意 有 p 0 1 q 1 p 0 9 故 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第一章 第 6 页 共 78 页 1 23155 0 1 9 072 PC 2 234P 2415055 9 856C 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 7 页 共 78 页 第二章 随机变量及其分布 1 有 10 件产品 其中正品 8 件 次品两件 现从中任取两 件 求取得次品数 X 的分律 解 X 的分布率如下表所示 X 0 1 2 p 28 45 16 45 1 45 2 进行某种试验 设试验成功的概率为 失败的概率为 3414 以 X 表示试验首次成功所需试验的次数 试写出 X 的分 布律 并计算 X 取偶数的概率 解 X 的分布律为 13 24kP X 取偶数的概率 213 4163651kkPX k k为 偶 数 3 从 5 个数 1 2 3 4 5 中任取三个为数 求 123 x X max 的分布律及 P X 4 x Y min 的分布律及 P Y 3 123 解 基本事件总数为 3510C X 3 4 5 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 8 页 共 78 页 1 X 的分 布律为 P X 4 P 3 P 4 0 4 2 Y 的分布律为 P X 3 0 4 C 应取何值 函数 f k k 1 2 0 成为 C 分布律 解 由题意 即1 kfx 0110 1 kkkCCCe 解得 e 5 已知 X 的分布律 X 1 1 2 P 62636 p 0 1 0 3 0 6 Y 1 2 3 p 0 6 0 3 0 1 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 9 页 共 78 页 求 1 X 的分布函数 2 3 12PX 312PX 解 1 X 的分布函数为 kxFxp 0 11 6 2 2Fxx 2 1 6PX 3 31 02P 6 设某运动员投篮投中的概率为 P 0 6 求一次投篮时投 中次数 X 的分布函数 并作出其图形 解 X 的分布函数 0 61xFx 7 对同一目标作三次独立射击 设每次射击命中的概率为 p 求 1 三次射击中恰好命中两次的概率 2 目标被击中两弹或两弹以上被击毁 目标被击毁的 概率是多少 解 设 A 三次射击中恰好命中两次 B 目标被击毁 则 1 P A 23233 1 1 PCpp 2 P B 3323Cp 8 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分 布 求 1 每分钟恰有 6 次呼唤的概率 F x 0 x 1 0 6 1 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 10 页 共 78 页 2 每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率 解 1 P X 6 或者 640 14 keek P X 6 0 21487 0 11067 4467 kk 0 1042 2 P X 10 10440110 284 k kkkee 0 99716 9 设随机变量 X 服从泊松分布 且 P X 1 P X 2 求 P X 4 解 由已知可得 12 ee 解得 2 0 不合题意 0 09 42 PXe 因 此 10 商店订购 1000 瓶鲜橙汁 在运输途中瓶子被打碎的概率 为 0 003 求商店收到的玻璃瓶 1 恰有两只 2 小于两只 3 多于两只 4 至少有一只的概率 解 设 X 1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数 则 X 服从参数为 n 1000 p 0 003 的二项分布 即 X B 1000 0 003 由于 n 比较大 p 比较小 np 3 因此可 以用泊松分布来近似 即 X 3 因此 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 11 页 共 78 页 1 P X 2 230 4 e 2 32 1 1 80 92 kPX 3 32576ke 4 1 0 9 k 11 设连续型随机变量 X 的分布函数为20 0 11 xFxk 求 1 系数 k 2 P 0 25 X 0 75 3 X 的密度 函数 4 四次独立试验中有三次恰好在区间 0 25 0 75 内取值的概率 解 1 由于当 0 x 1 时 有 F x P X x P X 0 P 0 X x k x2 又 F 1 1 所以 k 12 1 因此 k 1 2 P 0 25 X 0 75 F 0 75 F 0 25 0 752 0 252 0 5 3 X 的密度函数为 2 01 xxfxFOther 4 由 2 知 P 0 25 X80 100 P Z 0 8 120 8 0 7xd 如果供电量只有 80 万千瓦 供电量不够用的概率为 P Z 90 100 P Z 0 9 120 9 3 14 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件 其寿命 单 位 小时 都服从同一指数分布 分布密度为 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 13 页 共 78 页 601 xeFx 试求在仪器使用的最初 200 小时以内 至少有一只电子 元件损坏的概率 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命 则 X 服从指数分布 设 A X 200 则 P A 1206031xede 设 Y 三只电子元件在 200 小时内损坏的数量 则 所求的概率为 1003033 1 1 1 PYPYCPAee 15 设 X 为正态随机变量 且 X N 2 又 P 2 X 4 2 0 3 求 P X 0 解 由题意知 242 24 0 3P 即 0 35 8 故 22 10 2X 16 设随机变量 X 服从正态分布 N 10 4 求 a 使 P X 10 0 时 22211 yyyYXXfyfyfyeee 当 y 0 时 0 Yf 因此有 2 0 yey 22 若随机变量 X 的密度函数为 2X 4 0 4 6 p 1 7 1 7 3 7 2 7 X2 0 4 9 p 1 7 4 7 2 7 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 16 页 共 78 页 23 01 xf 其 他 求 Y 的分布函数和密度函数 1x 解 y 在 0 1 上严格单调 且反函数为 h y y 1 1y h y 21y 224113 3YXXffhyfyy 因此有 43 0Yfother Y 的分布函数为 43311 1 0 yYydyFother 23 设随机变量 X 的密度函数为 2 0 1 0 xfx 试求 Y lnX 的密度函数 解 由于 严格单调 其反函数为 lnyx yyhehe 且 则 2 1 yyYX Xyyyffhhyfey 24 设随机变量 X 服从 N 分布 求 Y 的分布密度 2 xe 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 17 页 共 78 页 解 由于 严格单调 其反函数为 y 0 xye 1 ln hyy 且 则 221 ln 1 l 02YXXyffhfyey 当 时 0Yf0y 因此 221 ln 0yefy 25 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布 证明 Y 在区间 0 1 上服从均匀分布 21xe 解 由于 在 0 上单调增函数 其反函数为 21xye ln 0 hy 并且 则当 y01y 12 ln 2 1 YXyffhye 当 y 0 或 y 1 时 0 Yf 因此 Y 在区间 0 1 上服从均匀分布 26 把一枚硬币连掷三次 以 X 表示在三次中正面出现的次 数 Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之 差的绝对值 试求 X Y 的联合概率分布 解 根据题意可知 X Y 可能出现的情况有 3 次正面 2 次正面 1 次反面 1 次正面 2 次反面 3 次反面 对应的 X Y 的取值及概率分别为 P X 3 Y 3 P X 2 Y 1 8 23138C 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 18 页 共 78 页 P X 1 Y 1 P X 0 Y 3 311328C 3128 于是 X Y 的联合分布表如下 X Y 0 1 2 3 1 0 3 8 3 8 0 3 1 8 0 0 1 8 27 在 10 件产品中有 2 件一级品 7 件二级品和 1 件次品 从 10 件产品中无放回抽取 3 件 用 X 表示其中一级品件 数 Y 表示其中二级品件数 求 1 X 与 Y 的联合概率分布 2 X Y 的边缘概率分布 3 X 与 Y 相互独立吗 解 根据题意 X 只能取 0 1 2 Y 可取的值有 0 1 2 3 由古典概型公式得 1 其中 27130 ijkij CpPiYj 3 01 2ijki j 可以计算出联合分布表如下 01k Y X 0 1 2 3 ip 0 0 0 21 120 35 120 56 120 1 0 14 120 42 120 0 56 120 2 1 120 7 120 0 0 8 120jp 1 120 21 120 63 120 35 120 2 X Y 的边缘分布如上表 3 由于 P X 0 Y 0 0 而 P X 0 P Y 0 0 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 因此 X Y 不相互独立 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 19 页 共 78 页 28 袋中有 9 张纸牌 其中两张 2 三张 3 四张 4 任取一张 不放回 再任取一张 前后所取纸牌上的数 分别为 X 和 Y 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 以 及概率 P X Y 6 解 1 X Y 可取的值都为 2 3 4 则 X Y 的联合概率分 布为 Y X 2 3 4 i p 2 9 1 36A 129 A 129 A 2 9 3 1233346C1 3 4 429 1249 629 1 4 9jp 2 9 1 3 4 9 2 P X Y 6 P X 3 Y 4 P X 4 Y 3 P X 4 Y 4 1 6 1 6 1 6 1 2 29 设二维连续型随机变量 X Y 的联合分布函数为 arctnarctn23xyFxyABC 求 1 系数 A B 及 C 2 X Y 的联合概率密 度 3 X Y 的边缘分布函数及边缘概率密度 4 随机变量 X 与 Y 是否独立 解 1 由 X Y 的性质 F x 0 F y 0 F 0 F 1 可以得到如下方程组 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 20 页 共 78 页 arctn02ta312xABCyABC 解得 2 2 2 2 6 4 9Fxyfxyxy 3 X 与 Y 的边缘分布函数为 211 arctnarctn2xxx arct232Y yyFyy X 与 Y 的边缘概率密度为 2 4 Xfxx 39YyFy 4 由 2 3 可知 所以 X Y 相互独立 XYffy 30 设二维随机变量 X Y 的联合概率密度为 x y e 0 xf 其 他 1 求分布函数 F x y 2 求 X Y 落在由 x 0 y 0 x y 1 所围成的三 角形区域 G 内的概率 解 1 当 x 0 y 0 时 0 1 yxuvxyFede 否则 F x y 0 2 由题意 所求的概率为 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 21 页 共 78 页 1 10 20 64GxyPxyfdee 31 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 3x 4y Ae 0 xyfxy 其 他 求 1 常数 A 2 X Y 的边缘概率密度 3 0 PXY 解 1 由联合概率密度的性质 可得 34 0 1 12xyfxydAedA 解得 A 12 2 X Y 的边缘概率密度分别为 34 3012 0 xyxX edefxfydothr 34 40 xyyYfyfxte 3 01 2Pxy 2 34 8 ed 32 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 2 01 2 30 xyxyfxy 其 他 求 P X Y 1 解 由题意 所求的概率就是 X Y 落入由直线 x 0 x 1 y 0 y 2 x y 1 围的区域 G 中 则 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 22 页 共 78 页 1203 45672GxPxyfydd 33 设二维随机变量 X Y 在图 2 20 所示的区域 G 上服从均 匀分布 试求 X Y 的联合概率密度及边缘概率密度 解 由于 X Y 服从均匀分布 则 G 的面积 A 为 2112001 6xGAfxyddyxd X Y 的联合概率密度为 6 fxyother X Y 的边缘概率密度为 226 01 0 xX dyxfxfyother yY yfyfxt 34 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 X 在 0 0 2 上服 从均匀分布 Y 的概率密度是 5 0 yyef 求 1 X 和 Y 和联合概率密度 2 P Y X 解 由于 X 在 0 0 2 上服从均匀分布 所以 1 0 25Xfx 1 由于 X Y 相互独立 因此 X Y 的联合密度函数为 52 0 2 yXYexfxyf other 2 由题意 所求的概率是由直线 x 0 x 0 2 y 0 y x 所围的区域 y x 0 0 2 x y 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 23 页 共 78 页 如右图所示 因此 0 250 251 1xyGxPYXfydede 35 设 X Y 的联合概率密度为 1 0 2 2xyfxy 其 他 求 X 与 Y 中至少有一个小于 的概率 解 所求的概率为 0 512 1 2 58PXYfxyd 36 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 X 1 1 3 Y 3 1 P P 250 14 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 解 由独立性 计算如下表 X Y 1 1 3 j p 3 1 8 1 20 3 40 1 4 1 3 8 3 20 9 40 3 4ip 1 2 1 5 6 20 37 设二维随机变量 X Y 的联合分布律为 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 24 页 共 78 页 X 1 2 3 Y 1 161918 2 a b c 1 求常数 a b c 应满足的条件 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立 求常数 a b c 解 由联合分布律的性质 有 即 a b c 11698abc 123 又 X Y 相互独立 可得 698 从而可以得到 2 39c 38 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为232 0 11 xyyF 其 他 求边缘分布函数 与 并判断随机变量 X 与 Y 是 x y 否相互独立 解 由题意 边缘分布函数 22lim 0 10 yX xFxx 下面计算 FY y 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 25 页 共 78 页 232 0 0 lim 11 YxxyFyyy 可以看出 F x y F x x FY y 因此 X Y 相互独立 39 设二维随机变量 X Y 的联合分布 函数为 13 2 1 0yexfx 其 他 求边缘概率密度 与 并判断随机变量 X 与 Y 是 Xf Yfy 否相互独立 解 先计算 当 x 1 时 Xf 0Xfx 当 x 1 时 1133322yyedx 再计算 当 y 1 时 Yf Yf 当 y 1 时 11132 yyyYfxe 可见 所以随机变量 X Y 相互独立 Xfx 40 设二维随机变量 X Y 的联合分布 函数为 0 xyxf 其 他 求边缘概率密度 与 并判断随机变量 X 与 YXf Yf 是否相互独立 解 先计算 当 x1 时 Xf 0Xfx 当 1 x 0 时 1210 Xfydy 再计算 当 y1 时 Yf Yf 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 26 页 共 78 页 当 1 y 0 时 1201 0Yfyxdyxy 由于 所以随机变量 X Y Xfx 不独立 41 设二维随机变量 X Y 的联合分布 函数为 2 0 0 xyefy 其 他 求随机变量 Z X 2Y 的分布密度 解 先求 Z 的分布函数 F z 2 2 DXYzFzPzfxyd 当 z0 y 0 x 2y z 求得 220 zyyded 241zzze 当 z 0 时 积分区域为 D x y x 0 y 0 x 2y z 20 zyxyFded 412zze 由此 随机变量 Z 的分布函数为 1 02 zzeF 因此 得 Z 的密度函数为 1 02 zef 42 设随机变量 X 和 Y 独立 X Y 服从 b b b 0 上的均匀分布 求2 N 随机变量 Z X Y 的分布密度 解 解法一 由题意 0 z x y z x y x y y x 2y z x 2y z z x y x y 0 z x y D y y D y 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 27 页 共 78 页 2 11 zyabXYFzfzyfdedb 令 则 att 21 2zba zbazbae 解法二 2 1 1 2112XYzbFzfxzdx 0 时有非零值 仅当 z x 0 即 z x Xfx Y 时有非零值 所以当 z0 时 有 0 z x 因此1132 0 zzxxZFed 1632zzxe 44 设 X Y 的联合分布律为 X 0 1 2 3 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第二章 第 28 页 共 78 页 Y 0 0 0 05 0 08 0 12 1 0 01 0 09 0 12 0 15 2 0 02 0 11 0 13 0 12 求 1 Z X Y 的分布律 2 U max X Y 的 分布律 3 V min X Y 的分布律 解 1 X Y 的可能取值为 0 1 2 3 4 5 且有 P Z 0 P X 0 Y 0 0 P Z 1 P X 1 Y 0 P X 0 Y 1 0 06 P Z 2 P X 2 Y 0 P X 0 Y 2 P X 1 Y 1 0 19 P Z 3 P X 3 Y 0 P X 1 Y 2 P X 2 Y 1 0 35 P Z 4 P X 2 Y 2 P X 3 Y 1 0 28 P Z 5 P X 3 Y 2 0 12 Z X Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 0 06 0 19 0 35 0 28 0 12 同理 U max X Y 的分布如下 U 0 1 2 3 U 0 1 2 3 p 0 0 15 0 46 0 39 同理 V min X Y 的分布分别如下 V 0 1 2 V 0 1 2 p 0 28 0 47 0 25 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 29 页 共 78 页 第三章 随机变量的数字特征 1 随机变量 X 的分布列为 X 1 0 1 22 P 3616 14 求 E X E X 1 E X 2 解 1111362243 0E 112366243 或者 13EX222222351113664 X 2 一批零件中有 9 件合格品与三件废品 安装机器时从这 批零件中任取一件 如果取出的废品不再放回 求在取 得合格品以前已取出的废品数的数学期望 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X X 的取值为 0 1 2 3 Ak 表示取出废品数为 k 的事件 则有 13920 236 0 kkCPEXP 3 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 1 0 1 E X 0 1 E X 2 0 9 求 P X 1 P X 0 P X 1 解 根据题意得 2222 1 0 1 0 19EXPPX 可以解得 P X 1 0 4 P X 1 0 5 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 30 页 共 78 页 P X 0 1 P X 1 P X 1 1 0 4 0 5 0 1 4 设随机变量 X 的密度函数为 2 1 xf 其 他 求 E X 解 由题意 101 2 3EXxfdxd 5 设随机变量 X 的密度函数为 0 xef 求 E 2X E 2xe 解 0 2 xEXfded 0 2 2x xe 22300 1 Xxxefed 6 对球的直径作近似测量 其值均匀分布在区间 a b 上 求球的体积的数学期望 解 由题意 球的直接 D U a b 球的体积 V 342D 因此 341 2baxEVfxdda 420 2 b 7 设随机变量 X Y 的密度函数分别为 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 31 页 共 78 页 2 0 xXef 4 yYf 求 E X Y E 2X 3Y 2 解 EXYE 2400 134XYxyfdfdee 2222400 3 3518XYxyEXYEfdfdee 8 设随机函数 X 和 Y 相互独立 其密度函数为 2 1 Xxf 其 他5 yYef 求 E XY 解 由于 XY 相互独立 因此有 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 32 页 共 78 页 12 5 05 5 5 32025 1 6 433XYyyyyEXYxfdfyxdee 9 设随机函数 X 的密度为 21 fxx 求 E X D X 解 12 0 xEXxfdd 21122 2021 1120 0010 arcsin 42xf xdxddxx 22 DXEX 10 设随机函数 X 服从瑞利 Rayleigh 分布 其密度函数为 2 0 xefx 其中 0 是常数 求 E X D X 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 33 页 共 78 页 解 2 200 x xEXxfdede 2222 0 xxuuxed 222222 32002220 0 x xx x xxuuuEXfedeedde 22 2 DXEX 11 抛掷 12 颗骰子 求出现的点数之和的 数学期望与方差 解 掷 1 颗骰子 点数的期望和方差分别为 E X 1 2 3 4 5 6 6 7 2 E X2 12 22 32 42 52 62 6 91 6 因此 D X E X2 E X 2 35 12 掷 12 颗骰子 每一颗骰子都是相互独立的 因此有 E X1 X2 X12 12E X 42 D X1 X2 X12 D X1 D X2 D X12 12D X 35 12 将 n 只球 1 n 号 随机地放进 n 只 盒子 1 n 号 中去 一只盒子装一只球 将一只球装 入与球同号码的盒子中 称为一个配对 记 X 为配对的 个数 求 E X D X 解 1 直接求 X 的分布律有些困难 我们引进新的随 机变量 Xk 则有 0k 第 只 球 装 入 第 号 盒 子第 只 球 没 装 入 第 号 盒 子 X k 服 0 1 分布1nk 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 34 页 共 78 页 因此 11 0 k kPXpPXpnn 11 1 kknnkkEDEn 2 服从 0 1 分布 则有kjX 1 1 kj kjnnPXX 1 nkD 1222 1 11kjkjn kjkjkkjkjnCovEXEXnCn 故 E X D X 1 我们知道 泊松分布具有期望与方差相等的性质 可 以认定 X 服从参数为 1 的泊松分布 13 在长为 l 的线段上任意选取两点 求两 点间距离的数学期望及方差 解 设所取的两点为 X Y 则 X Y 为独立同分布的随机变 量 其密度函数为 11 0 0 XYxxffyllotherother 2 0Y yfxyfltr 依题意有 EXYxyfdxy 220011lxlxydll 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 35 页 共 78 页 2220011l lxxdd 3 32206lll 6 22 EXYxyfdxy 201lxydl 2232010ll ylxydx 23322106lllxlxl D X Y E X Y 2 E X Y 2 221698ll 14 设随机变量 X 服从均匀分布 其密度 函数为 12 2xfx 其 他 求 E 2X2 D 2X 2 解 1220 6EXxfdx 1244420 8xfdEX 222 1 4845DEX 15 设随机变量 X 的方差为 2 5 试利用切 比雪夫不等式估计概率 7 5PE 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 36 页 共 78 页 的值 解 由切比雪夫不等式 取 得27 5 2 7 54PXE 16 在每次试验中 事件 A 发生的概率为 0 5 如果作 100 次独立试验 设事件 A 发生的次数为 X 试利用切比雪夫不等式估计 X 在 40 到 60 之间取值 的概率 解 由题意 X B 100 0 5 则 E X np 50 D X npq 25 根据切比雪夫不等式 有 405 PX 21 2304 17 设连续型随机变量 X 的一切可能值在 区间 a b 内 其密度函数为 证明 fx 1 a E X b 2 D X 2 a 4 解 1 由题意 a X b 那么 则 Exfdaxb f fd adfb 由于 1fx 所以 E X 2 解法 一 0 xxab 因 为 a b 所 以 有 即 2 0 EX 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 37 页 共 78 页 2 EXaba 又 22DEX 0 2abEXabab 平 均 值 不 等 式 变 形 时 2 2ba 2 4DX 即 解法 二 由于222 EXCXC E2 D2 DX当 时 取 最 小 值 2222 4abXEabE 于 是 当 时 有 18 设二维随机变量 X Y 的分布律为 X 0 1 Y 1 0 1 0 2 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 38 页 共 78 页 2 0 2 0 4 求 E X E Y D X D Y cov X Y 及协方差XY 矩阵 解 由题设 0 12 0 34 7EX 6Y E XY 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0 4 0 4 22 1304 2 79 2DXEX 2 63YY cov X Y E XY E X E Y 0 4 0 6 0 7 0 02 cov 0 2 104 89XYD 协方差矩阵为 21120 24C 19 设二维随机变量 X Y 的分布律为 X 1 0 1 Y 1 181818 0 0 1 181818 试验证 X 和 Y 是不相关的 但 X 和 Y 不是相互独立的 解 由于 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 39 页 共 78 页 11 00 88 EXY cov EXYEXY 111100 008888 因此 即 X 和 Y 是不相关的 XY 但由于 16PPY 因此 X Y 不是相互独立的 20 设二维随机变量 X Y 的密度函数 为 1 2 8xyxyfy 其 他 求 E X E Y D X D Y cov X Y 及协方差XY 矩阵 解 2011 84Xfxfydxydx 746XE 又 22205 1 3xfyxy 5736DE 同理可得 YD 2014 83EXxyfdxydx cov EX 47363 1XYDY 协方差矩阵为 2112 361 C 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 40 页 共 78 页 21 已知随机变量 X Y 服从正态分布 且 E X E Y 0 D X 16 D Y 25 cov X Y 12 求 X Y 的密度函数 解 由题意 cov 12305XYD 则密度函数为 2 21122 1 12 xxyfxye 22531605xy 22 设随机变量 X 和 Y 相互独立 且 E X E Y 0 D X D Y 1 试求 E X Y 2 解 222 EXYYE 由于 222D DE Y 1 因此有 2 102 23 设随机变量 X 和 Y 的方差分别为 25 36 相关系数为 0 4 试求 D X Y D X Y 解 由题意 cov 0 4cov 0 45612XYYD D X Y 2 cov X Y D X D Y 24 25 36 85 因为 cov X Y cov X Y 12 因此 D X Y 2 cov X Y D X D Y 24 25 36 37 24 设随机变量 X 和 Y 相互独立 且都服 从正态分布 N 0 2 令 U aX bY V aX bY 试求 U 和 V 的相关系数 解 由于 X Y 相互独立 则都服从 N 0 2 222 DabDXbYab 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第三章 第 41 页 共 78 页 22 22 DVaXbYDbYab 4UaX 22221cov 4 VUbab 222c aDU 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 42 页 共 78 页 42 第四章 大数定律与中心极限定理 1 设 Xi i 1 2 50 是相互独立的随机变量 且它们 都服从参数为 0 02 的泊松分布 记 X X 1 X 2 X 50 试利用中心限定理计算 P X 2 解 由题意 E X i D Xi 501iiX 由中心极限定理 随机变量 近似 2n 服从标准正态分布 所以有 2 1 2 1 1 0 587PXPX 2 某计算机系统有 100 个终端 每个终端有 2 的时间在使 用 若各个终端使用与否是相互独立的 试分别用二项 分布 泊松分布 中心极限定理 计算至少一个终端被 使用的概率 解 设 X 为被使用的终端数 由题意 X B 100 0 02 1 用二项分布计算 00101 1 2 3260 874PC 2 用泊松分布近似计算 因为 np 100 0 02 2 查表得 0 1353 0 8647 1 0 1PX 3 中心极限定近似计算 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 43 页 共 78 页 43 1 01 120 96 2437 20 983856PXXnpnpq 3 一个部件包括 10 个部分 每部分的长度是一个随机变量 它们相互独立 服从同一分布 数学期望为 2mm 均方 差不 0 05mm 规定部件总长度为 20 0 1mm 时为合格 品 求该部件为合格产品的概率 解 设 Xi 表示一部分的长度 i 1 2 10 由于 X1 X2 X10 相互独立 且 E Xi 2 D Xi 0 052 根据独立同分布 中心极限定理 随机变量 近似地服从标准正态分布 101 2 20 58 5kXXn 于是 19 20 1 20 58 58 63 3 20 12 71 4PX 4 计算机在进行加法时 对每个加数取整 取为最接近于 它的整数 设所有的取整误差是相互独立的 且它们都 在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 若将 1500 个数相加 试求误差总和的绝对值超过 15 的概率 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 44 页 共 78 页 44 2 多少个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概率为 0 05 的概率 解 设 Xi 表示一个加数的误差 则 Xi U 0 5 0 5 E Xi 0 D Xi 1 12 1 根据独立同分布中心极限定理 随机变量 1501501 21 8iii iiiiXEnX 近似地服从标准正态分布 于是 5 51 8 1 8PX 34 2 20 9 19 因此所求的概率为 1 P 15 X 15 1 0 8198 0 1802 2 由题意 设有 n 个数相加可使误差总和绝对值小 于 10 的概率为 0 90 X nXi 由独立同分布的中心极限定 理 随机变量 近似地服从标准正态11 2niiiEX 分布 则 0 9000 10 1 PXXPnn 12 9 2 0 95 n 即 查表得 1 645 1 2n 解得 n 443 即 443 个数相加可使误差总和绝对值小于 10 的概 率为 0 05 的概率 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 45 页 共 78 页 45 5 为了确定事件 A 的概率 进行了一系列试验 在 100 次 试验中 事件 A 发生了 36 次 如果取频率 0 36 作为事 件 A 的概率 p 的近似值 求误差小于 0 05 的概率 解 删除 6 一个复杂系统由 10000 个相互独立的部件组成 在系统 运行期间 每个部件损坏的概率为 0 1 又知为使系统正 常运行 至少有 89 的部件工作 1 求系统的可靠度 系统正常运行的概率 2 上述系统由 n 个相互独立的部件组成 而且要求至 少有 87 的部件工作 才能使系统正常运行 问 n 至少为多在时 才能保证系统的可靠度达到 97 72 解 设 X 表示正常工作的部件数 X B 10000 0 9 1 所求的概率为 由于 n 比较大 可以使 0 891 PX 用中心极限定理 由于 近似地有 9 0EnpDnp X N 9000 900 则 80 1 909 PX 3 13 6 2 根据题意 设 X 为正常工作的部件数 则 0 9EXnp 根据中心极限定理 近似地有 1 0Dn X N 0 9n 0 09n 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 46 页 共 78 页 46 0 87 1 9 0 91110 972PXnnn 查表得 n 400 01n 即 n 至少为 400 时 才能保证系统的可靠度达到 97 72 7 某单位有 200 台电话分机 每台分机有 5 的时间要使用 外线通话 假定每台分机是否使用外线是相互独立的 问该单位总机要安装多少条外线才能以 90 以上的概率 保证分机使用外线时不等待 解 设 X 为某时刻需要使用外线的户数 分机数 显然 X 200 0 05 E X np 10 D X np n p 9 5 设 k 是为要设置的外线的条数 要保证每个要使用外线 的用户能够使用上外线 必须有 k X 根据题意应有 0 9PXk 这里 n 200 较大 可使用中心极限定理 近似地有 X N 10 9 5 1010 99 5 5kkk 经过查表 取 k 1402 37 即至少 14 条外线时 才能保证要使用外线的用户都能使 用外线的概率大于 95 8 设 n 为 n 重伯努利试验中成功的次数 p 为每次成功的 概率 当 n 充分大时 试用棣莫弗 拉普拉斯定律证明 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 47 页 共 78 页 47 21nnPppq 式中 p q 1 是标准正态分布的分布函数 x 证明 由题意 当 n 很大时 nBp nnED 近似服从正态分布 即 或者使用标准化的随n Npq 机变量 01 npq 因此 由棣莫弗 拉普拉斯定理 有 nPp nn pPq 12nPpqpqnnpq 公 式 4 3 9 现有一大批种子 其中良种占 今在其中任选 4000 粒 14 试问在这些种子中 良种所占比例与 之差小于 1 的概 率是多少 解 设 X 为 4000 粒种子中良种粒数 则所求的概率为 10 4P 因为 X B 4000 0 25 由棣莫弗 拉普拉斯定理 有 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第四章 第 48 页 共 78 页 48 10 44400 257 25721 68XP 10 一批种子中良种占 从中任取 6000 粒 问能以 0 996 的概率保证其中良种的比例与 相差多少 这时相应的良1 种粒数落在哪个范围 解 设 X 为 6000 粒种子中良种粒数 设所求的差异为 p 则所求的概率为 10 960Pp 因为 X B 6000 1 6 E X np 1000 D X np 1 p 2500 3 由棣莫弗 拉普拉斯定理 有 1606025 325 310 9 pPpp 因此 60 25 3 查表可得 2 57 p 解得 16 70 04p 由于 所以 良种的粒数大约落在区 247 间 926 1074 之间 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第五章 第 49 页 共 78 页 49 第五章 数理统计的基本概念 1 在总体 N 52 63 2 中随机抽取一容量为 36 的样本 求样 本均值 落在 50 8 到 53 8 之间的概率 X 解 由题意 由定理 1 1 52 0 1 6 3 XNn 50 8 8 50 83 6 36PP 2 2 6 3 174 1 08293 2 在总体 N 80 20 2 中随机抽取一容量为 100 的样本 求 样本均值与总体均值的绝对值大于 3 的概率是多少 解 这里总体均值为 80 20 n 100 由定理 1 1 801 80 1 2 XXNn 由题意得 3 3 180 PP 122 5 093 16X 3 求总体 N 20 3 的容量分别为 10 15 的两独立样本均值 差的绝对值大于 0 3 的概率 解 由定理 2 1 12105 86 0 1 3nXYXYXYN 由题意 所求的概率为 0 3 18165003 8165 2 4 2 987 2PPXY 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第五章 第 50 页 共 78 页 50 4 设总体 X 的容量为 10 的样本观测值为 4 5 2 0 0 1 0 1 5 3 4 4 5 6 5 5 0 0 3 5 4 0 试分别计算样本均值 与样本方差 S2 的值 X 解 1 4 521 53 46 5034 59 221119 819nni ii iS 5 样本均值与样本方差的简化计算如下 设样本值 x1 x 2 x n 的平均值为 和样本方差为 作变换x2xS 得到 它的平均值为 方差为 试iiayc 12 ny y2y 证 xySc 证明 ii iia 由 所 以 2211 nniyiiS 111nnii ii ini iccyacya 2 221 nxi ii iSxcya 21ni ii icy 221niyi cS 6 对某种混凝土的抗压强度进行研究 得到它的样本值为 1936 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2 310 采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差 即先作变换 再计算 与 然后利用第 5 题中的公式获得20iiyx y2yS 和 的数值 S 解 做变换后 得到的样本值为 61 303 1030 424 20 91 185 20 310 概率论与数理统计 习题参考答案 仅供参考 第五章 第 51 页 共 78 页 51 1240 niy 2 16 28yiiSy 2 xy 7 某地抽样调查了 1995 年 6 月 30 个工人月工资的数据 试画出它们的直方图 然后利用组中间值给出经验分布 函数 440 444 556 430 380 420 500 430 420 384 420 404 424 340 424 412 388 472 360 476 376 396 428 444 366 436 364 440 330 426 解 最小值 最大值 故 a b 可取为 329 559 130 x 1056x 将 a b 分为长度为 23 的 10 个区间 列出频数与频率表如下 序 号