2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版

高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班平面几何（四点共圆）冲刺讲义_班_号 姓名_一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点九点圆的半径是的外接圆半径的.3.三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直； ，；（角平分线定理）；（“鸡爪”定理）.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：. 证明：过作的平行线分别交、于、，则.取中点，连接、.，四点共圆. ，而由，有.，四点共圆.，而，.而是的中点，是的中点，.例2.等腰梯形中，分别是，的内心，是直线上的一点，的外接圆交的延长线于.证明： 证明：，故共圆，则，因此，而，所以，由此，例3. 在中，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆. 证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以，且相似比为，熟知：。又，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上 Z例4.设A、B为圆 上两点，X为 在A和B处切线的交点，在圆 上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CABD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点证明：X、F、G、H四点共圆证明：设O为圆心，ABXO = M XOAXAM， OXXM = XA 2 = XCXD O、M、C、D四点共圆 XMO = OCD = ODC = OMC CMG = GMD在CM上选取一点E使MXDE，则MD = ME在GX上取点X，使GFD = DFX，在XF上取W使CFGW由得 CGXD = XCGD由上面两式得 = ，故X = X GFD = XFD又 = 1和XPB = CDF 1 H和B在CX的同一侧设H为直线BF与GFX外接圆的交点，则 HXG = HFG = HFX = HGX HG = HX， H = H X、F、G、H四点共圆，得证注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证.例5.ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心求证：APOH证明：由BMC = BNC = 90知 B、C、N、M四点共圆 AMAB = ANAC又 AE = AB, AF = AC， AMAE = ANAF，即E、F、N、M共圆注意到由AMH = ANH = AEO = AFO = 90知 AH、AO分别为AMN、AEF外接圆的直径过AH中点H与AO中点O分别为AMN与AEF的外心，且易知OHOH 只需证APOH，只需证A、O为AMN、AEF外接圆的等幂点即可注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知 PMPN = PEPF故 P也为等幂点综上所述，原命题成立例6.设ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S证明：若QR = ST，则PQ = UT证明：过O作OKPU = K，OFBU = F，连结AK延长交O于另一点E，过C作CHPU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且QR = ST RK = KS 即K是RS的中点，且CHPU = = = = 1 HG = GC由中位线定理知 FG BH FGE = BAE = BCE F、G、C、E共圆 EFC = EGC = AGH = UKG EFO + OKE = OFC + CFE + OKE= 90 + (UKG + OKE)= 90 + 90 = 180 K、O、F、E四点共圆 又 OKU + OFU = 290 = 180， K、O、F、U四点共圆 结合知K、O、F、E、U五点共圆， KUO = KEO又 PA为O切线 OAPA，且OKPU KEO = KAO KPO = KUO OP = OU又 OKPU， PK = UK而QK = TU， PQ = UT，得证例7.AB、AC为O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，P为以P点为圆心、PD为半径的圆证明：C点在BMP外接圆与P的根轴上证明：作PRAC，其延长线交BC延长线于S OMA = OBA = OCA = 90， A、C、O、M、B五点共圆 BMP = BMA + 90 = BCA + 90 = 180RSC B、M、P、S四点共圆 C对BMP外接圆的幂为 CBCS = 2CACR而C对P的幂为 CP 2PD 2 = CP 2(AP 2ADAE) = CP 2AP 2 + AC 2 = CR 2 + RP 2PR 2AR 2 + AC 2 = CR 2(CR + CA) 2 + CA 2 = 2RCCA C点对P的幂等于C点到BMP外接圆的幂 C点在上述两圆根轴上，得证例8.设H为ABC的垂心，D、E、F为ABC的外接圆上三点，使ADBECF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点求证：S、T、U、H四点共圆证明：先证引理：ABC外接圆O与它的九点圆V关于ABC的垂心H位似，且位似比为 引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交O于D、E、F易知HD = HD, HE = HE, HF = HF DEF与DEF关于H位似，位似比为 DEF外接圆与DEF外接圆关于H位似，即O与V关于H位似，位似比为 回到原题：设BC、CA 、AB中点分别为X、Y、Z，过D作DPBC，交O于P，设PH中点为W易知SDBC，设PS交BC于X，则由SD关于BC对称知SX = XD X为BC中点，即X与X重合，即P与S关于X对称同理P与U、T分别关于Z、Y对称 四边形USHT与四边形ZYWX对称由引理知Z、X、Y、W四点共圆 U、T、H、S四点共圆，得证例9.给定锐角ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记ABC的垂心为H，在ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交APD的外接圆于Q求Q点的轨迹解：Q点轨迹为ABC的九点圆如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，延长AD交ABC外接圆于G则熟知HD = DG，连接KN、MN、KD、PB、PG因为各取中点有 NKD = BPG, NMD = BAG K、N、M、D四点共圆又Q在APD的外接圆上， PHHQ = AHHD，即 2KHHQ = 2MHHD KHHQ = MHHD于是有K、D、Q、M、N五点共圆又DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上反之，在如上所述九点圆上任取一点Q，设QH延长线交ABC外接圆于P，取PH中点R，同上可证R在九点圆上故 2RHHQ = 2 MHHD，即PHHQ = AHHD因此Q在APD外接圆上得证例10.在ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心求证：ODBC AD恰好经过ABC的九点圆心证明：连AO1、BO1、AO2、CO2，作AB、AC垂直平分线交于点O AO2C = 2ADB = AO1B, AO1 = BO1, AO2 = CO2， AO1BAO2C AO1O2ABC AO1O = 180AO1B = 180AO2C = 180AO2O故O在O上，O是ABC的外心，故AOOAO1B又ADB = 1, O1AB = OAO = OOA ODBC BAO1 = ADO ADO = ODA A、O、O、D共圆 AOO = 180ADO = ADB + ODC ADB = ODC ( AOO = 2ADB )如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M，OM与BC交于点L由ADB = ODC DL = LM OM = 2OL = AH AKHMKO OK = KH K为九点圆心 AD经过ABC的九点圆心综上所述，命题得证 例11. 内接于, 自作的切线, 又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心. 以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明:、如图,设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上,则，因此共圆, 由于为的切线，则，又由，所以 ，因此为的内心. 、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由(1)知, 点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，由，则共圆. 故共线, 因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆.所以共线, 即是的外角平分线, 因此为边外的旁心例12. 三角形中，是的中点，分别是边上的点，且的外接 圆 交 线 段于若点满足：证明：证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，与分别共圆，于是 设点在边上的射影分别为，则，故由 得，1设的内心为 今证四点共圆：连 因分别共圆，则，又由1， 所以因此而所以因为故得，因此四点共圆，于是延长交的外接圆于则为该外接圆的直径, 于是且因此, 点O是所在圆的圆心, 从而为的切线. 延长交于T, 则,所以 , 又由,得, 因故 . 延长到,使，则为平行四边形, . 由 得 . 由 、得 所以，, 即.三、巩固训练1.为正三角形的边上的任意一点，设与的内心分别为，外心分别为；证明：证明：如图，据内心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆此圆的圆心即为的圆心；注意的平分线也是的中垂线，即共线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且由于，则；又在中，；在中，；所以，于是从而，由于在直角三角形中，所以有2.ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与ABC内切圆交于K、N求证：BNC外接圆与ABC内切圆切于N证明：设ABC关于BAC的旁切圆为IA，半径为rA，ABC内心为I，I半径为r，IA切BC于T，KI交I于K、S，则 = = ，IATIS (均垂直于BC)， A、S、T共线 I为SK中点，M为AD中点，SKAD， T、I、M共线 = = = , IKIAT， M、K、IA三点共线设I关于点K、N切线交于Q，则QINK设QI交NK于R，则 IB平分ABC，IAB平分ABC外角， IBIA = 90又 IRIA = 90， I、B、IA、R共圆同理I、R、C、IA共圆， I、B、IA、C、R共圆 QBQC = QRQI IQKN, IKKQ， QRQI = QK 2 QBQC = QK 2 = QN 2， BNC外接圆有切线QN又QN为I切线， BNC外接圆与ABC内切圆切于N，证毕3.已知ABC的三边分别交O于X、X、Y、Y、Z、Z若AYZ、BXZ、CXY的外接圆交于一点M，AYZ、BXZ、CYZ的外接圆交于一点M求证：OM = OM证明：设M的等角共轭点为M1，在BC、AC、AB上分别取点X1、Y1、Z1使 M1X1B = M1Y1C = M1Z1A = MXC = MYA = MZB A、Y1、Z1M四点共圆 AZ1Y1 = AM1Y1 = M1Y1CM1AC= MZBMAB = AMZ = AYZ Y1、Y、Z1、Z四点共圆1同理可得Y、X1、X、Y1共圆2；X1、X、Z1、Z共圆3 若1 2，则3 1, 2，与三圆根轴交于一点，矛盾！故1 = 2 = 3，X、X1、Y、Y1、Z、Z1共圆，则X1 = X, Y1 = Y, Z1 = Z设MXMX = X0, MYMY = Y0, MZMZ = Z0，则 M、M、X0、Y0、Z0三点共圆( XX0X = YY0Y = ZZ0Z)又OX0M = OY0M ( OX0XX, OY0YY) O、M、M、X0、Y0、Z0共圆而OMM = OX0M = OMM，故OM = OM第17页