2015年北京市高考数学试卷(文科)

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2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1若集合,则AB=()ABCD2圆心为且过原点的圆的方程是()ABCD3下列函数中为偶函数的是()AB CD4某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师中年教师青年教师合计ABCD5执行如图所示的程序框图,输出的值为()ABCD6设是非零向量,“”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()ABCD8某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)年月日 年月日注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每千米平均耗油量为 ()A升B升C升D升二、填空题9复数的实部为10三个数中最大数的是11在中,则=12已知是双曲线的一个焦点,则=13如图,及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为14高三年级位学生参加期末考试,某班位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看,在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题(共分)15已知函数()求的最小正周期;()求在区间上的最小值16已知等差数列满足.(1)求的通项公式;(2)设等比数列满足,问:与数列的第几项相等?17某超市随机选取位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买 甲乙丙丁(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且 ,分别为,的中点(1)求证:平面;(2)求证:平面平面(3)求三棱锥的体积19设函数(1)求 的单调区间和极值;(2)证明:若 存在零点,则 在区间上仅有一个零点20已知椭圆:,过点且不过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线交于点(1)求椭圆的离心率;(2)若垂直于轴,求直线的斜率;(3)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1(2015北京)若集合A=x|5x2,B=x|3x3,则AB=()Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【解答】解:集合A=x|5x2,B=x|3x3,则AB=x|3x2故选:A2(2015北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2+(y1)2=1B(x+1)2+(y+1)2=1C(x+1)2+(y+1)2=2D(x1)2+(y1)2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程【解答】解:由题意知圆半径r=,圆的方程为(x1)2+(y1)2=2故选:D3(2015北京)下列函数中为偶函数的是()Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x【分析】首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断x与x的函数值关系,相等的就是偶函数【解答】解:对于A,(x)2sin(x)=x2sinx;是奇函数;对于B,(x)2cos(x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2(x)=2x2x,2x2x;是非奇非偶的函数;故选B4(2015北京)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100C180D300【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C5(2015北京)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A3B4C5D6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a,退出循环,输出k的值为4【解答】解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a,a=,k=2不满足条件a,a=,k=3不满足条件a,a=,k=4满足条件a,退出循环,输出k的值为4故选:B6(2015北京)设,是非零向量,“=|”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0,从而得到,而并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项【解答】解:(1);时,cos=1;“”是“”的充分条件;(2)时,的夹角为0或;,或;即得不到;“”不是“”的必要条件;总上可得“”是“”的充分不必要条件故选A7(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A1BCD2【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PB平面ABCD,底面ABCD为正方形PB=1,AB=1,AD=1,BD=,PD=PC=该几何体最长棱的棱长为:故选:C8(2015北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ()A6升B8升C10升D12升【分析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量486=8;故选:B二、填空题9(2015北京)复数i(1+i)的实部为1【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可【解答】解:复数i(1+i)=1+i,所求复数的实部为:1故答案为:110(2015北京)23,log_25三个数中最大数的是log_25【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0231,12,log_25log24=2,即可得到最大数【解答】解:由于0231,12,log_25log24=2,则三个数中最大的数为log_25故答案为:log_2511(2015北京)在ABC中,a=3,b=,A=,则B=【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角B【解答】解:由正弦定理可得,=,即有sinB=,由ba,则BA,可得B=故答案为:12(2015北京)已知(2,0)是双曲线x2=1(b0)的一个焦点,则b=【分析】求得双曲线x2=1(b0)的焦点为(,0),(,0),可得b的方程,即可得到b的值【解答】解:双曲线x2=1(b0)的焦点为(,0),(,0),由题意可得=2,解得b=故答案为:13(2015北京)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为7【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值【解答】解:由z=2x+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=的截距最大,此时z最大即A(2,1)此时z的最大值为z=22+31=7,故答案为:714(2015北京)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看,在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学【分析】(1)根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;(2)根据散点图2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙;观察散点图,作出对角线y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学三、解答题(共80分)15(2015北京)已知函数f(x)=sinx2sin2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,上的最小值【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+),由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由x0,可求范围x+,即可求得f(x)的取值范围,即可得解【解答】解:(1)f(x)=sinx2sin2=sinx2=sinx+cosx=2sin(x+)f(x)的最小正周期T=2;(2)x0,x+,sin(x+)0,1,即有:f(x)=2sin(x+),2,可解得f(x)在区间0,上的最小值为:16(2015北京)已知等差数列an满足a_1+a_2=10,a_4a_3=2(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b_2=a_3,b_3=a7,问:b6与数列an的第几项相等?【分析】(I)由a_4a_3=2,可求公差d,然后由a_1+a_2=10,可求a_1,结合等差数列的通项公式可求(II)由b_2=a_3=8,b_3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求【解答】解:(I)设等差数列an的公差为da_4a_3=2,所以d=2a_1+a_2=10,所以2a_1+d=10a_1=4,an=4+2(n1)=2n+2(n=1,2,)(II)设等比数列bn的公比为q,b_2=a_3=8,b_3=a7=16,q=2,b_1=4=128,而128=2n+2n=63b6与数列an中的第63项相等17(2015北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买 甲乙丙丁10021720030085 98(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率(3)在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为=0.2,同时购买甲和丙的概率为=0.6,同时购买甲和丁的概率为=0.1,故同时购买甲和丙的概率最大18(2015北京)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB(3)求三棱锥VABC的体积【分析】(1)利用三角形的中位线得出OMVB,利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC;(2)证明:OC平面VAB,即可证明平面MOC平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥VABC的体积【解答】(1)证明:O,M分别为AB,VA的中点,OMVB,VB平面MOC,OM平面MOC,VB平面MOC;(2)AC=BC,O为AB的中点,OCAB,平面VAB平面ABC,OC平面ABC,OC平面VAB,OC平面MOC,平面MOC平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,AB=2,OC=1,SVAB=,OC平面VAB,VCVAB=SVAB=,VVABC=VCVAB=19(2015北京)设函数f(x)=klnx,k0(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点【分析】(1)利用f(x)0或f(x)0求得函数的单调区间并能求出极值;(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况【解答】解:(1)由f(x)=f(x)=x由f(x)=0解得x=f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:X (0,) () f(x) 0+ f(x)所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,);f(x)在x=处的极小值为f()=,无极大值(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f()=因为f(x)存在零点,所以,从而ke当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0所以x=是f(x)在区间(1,)上唯一零点当ke时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点20(2015北京)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由【分析】(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;(2)通过令直线AE的方程中x=3,得点M坐标,即得直线BM的斜率;(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可【解答】解:(1)椭圆C:x2+3y2=3,椭圆C的标准方程为:+y2=1,a=,b=1,c=,椭圆C的离心率e=;(2)AB过点D(1,0)且垂直于x轴,可设A(1,y_1),B(1,y_1),E(2,1),直线AE的方程为:y1=(1y_1)(x2),令x=3,得M(3,2y_1),直线BM的斜率kBM=1;(3)结论:直线BM与直线DE平行证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)知kBM=1,又直线DE的斜率kDE=1,BMDE;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x1)(k1),设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则直线AE的方程为y1=(x2),令x=3,则点M(3,),直线BM的斜率kBM=,联立,得(1+3k2)x26k2x+3k23=0,由韦达定理,得x_1+x_2=,x_1x_2=,kBM1=0,kBM=1=kDE,即BMDE;综上所述,直线BM与直线DE平行参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘长柏;changq;w3239003;wkl197822;sdpyqzh;双曲线;maths;吕静;caoqz;雪狼王;cst(排名不分先后)菁优网2017年2月3日第21页(共21页)
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