初三竞赛培训试题34.一元二次方程(四)：整数根与有理根.doc

初三竞赛培训试题4一元二次方程（四）：整数根与有理根1已知k为整数，且关于x的二次方程有两个不等的正整数根，则k = _。2设一元二次方程的两根均为整数，且两根同号，则a = _。3方程 (x- a ) (x 8 ) 1 = 0的两个整数根，则a = _。4若p,q都是正整数，方程的两根都是质数，则2p + q = _.5已知p,q为自然数，方程两根都是质数，则p+q = _。6若p是质数，且方程的两根均为整数，则p = _。7设方程的两根均为正整数，若p + q = 28，则=_。8如果a为有理数，要使方程的根总是有理数，则b的值应为_。9设关于x的二次方程当a_时，此方程至少有一个正整数解；当a_时，此方程有两个正整数解；当a_时，此方程有两个负整数解。10对于整系数一元二次方程有有理根的充要条件是_；若a,b,c均为奇数，则方程_，若a,b为偶娄，c为奇数，则方程_，若此方程有有理根p/q(p,q互质)，则p,q,a,c之间必有关系_；若a0且不是完全平方数，则方程有_。C卷一、填空题1若k是自然数，且关于x的二次方程有两个正整数根，则2两个质数p,q恰是整系数方程的两根，则3若二次方程至少有一个整数根，则自然数a = _.4若正整系数二次方程有相异的两个有理根p,q，且pq，又方程与方程有一公共根，则方程的另一根为_。5设a,b,c为三角形ABC的三边，且满足（1）a b c；（2）2b = a + c；（3）则整数b = _。6象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局，每局赢者得2分，输者得0分，平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991，经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_名选手参加比赛。二、选择题1设p是质数，如果方程的两根均为整则，则（ ）A0 p 10B10 p 20C20 p 30D30 p 40.2设m，n为整数，则方程和方程必定（ ）A至少有一个有整数根；B均无整数根；C仅有一个有整数根；D均有整数根。3关于x的一元二次方程（m、n都是整数）如果有一个整数根，则对它的另一根所作的如下断言中正确的是（ ）A不是整数；B一定是整数；C一定是奇数；D一定是偶数。4若方程有整数根，且m、n为整数，则的值有（ ）A1个B3个C5个D无数个三、解答题1若x,y为正整数，使得能被2xy整除，证明：x为完全平方数。2M为何整数时，能分解成两个连续自然数之积。3已知方程及分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b 1 c b + 1 .答案A卷1原方程化为(k+1)x - 6(k - 1)x 3 = 0,2-2; 38;4199754096设原方程的两根，则p为质数，故中有一个是p的倍数，设=kp（k为整数），又即当k=3时，p=37，p = 37。729；81；9原方程变形为(a-1)x (2a+1)(x-a)=0当a=1时，原方程只有一个根x=a；当a1时，其二根为因此，（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，（2）要使方程二根均为正整数，由于所以，当a为正整数，只要3能被a-1整除，则是正整数，故只须取a=2或a=4即可，当a=2时，方程有两个正整数根当a=4时，方程有两个正整数根（3）当为负整数时，由a-10, 2a+10, 为正数，无论a取何值，方程两根不会是负整数。10=是一个完全平方数；无整数根，p/c且q/a；有共轭无数根C卷一、填空题1设、是方程的两个正整数根，则由于、是正整数，故也是正数，从而k=2，则=2且+=3=故p=3，从而2由韦达定理，p+q=99，由于p,q是质数，故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q是对移的，不妨设p=2，从而q=97，3原方程至少有一个整数根，故=为完全平方数，设（m为自然数）则代入原方程，得解之得中至少有一个整数，m | 4或（m+1）|4又m为自然数，m=1，2，4或m+1=2，4。m=1，2，3，4，从而a=1，3，6，10。4设公共根为a，则 (p q )a + 2 (p q ) = 0(p q )(a + 2) = 0p c0，a,c是关于x的二次方程的两个不等正根，从而解之得b是整数，b0，即b=5.6设共有x名选手参加，依题意可得x是正整数，且大于1，所以x, x 1是两个连续的正整数。不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，则x(x-1)=1980，解之得（舍去），故共有45名选手参赛。二、选择题1由已知得=为完全平方数，因为p是质数，故p /（p+4580）, p / 4580，但4580=（1）若p=2，则p(p+4580)= 11611非完全平方数，不合；（2）若p=5，则5(5+4580)= 465= 93非完全平方数，不合；（3）若p= 2q，则2q(2q+4580)=2(1+420)= 281=2为完全平方数，故应选C2对于两个方程来说，=45，而5的个位数字只能是9或5，故5的个位数字只能是0或5。故为53的个位数字只能是2，3，7，8之一，而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，6，9之一，当m,n为整数时，53均不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根，故应选B3B4设方程有整数根，则=mn0，=m+n0，故这两个根均为正数。又其中均非负，而2分为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0。分别可解得 mn的值仅有3个，故选B三、解答题1能被2xy整除，则有=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程： （1）由题设，此方程有一根为整数，由韦达定理，另一根为满足=2kx-故也是整数，因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式应为完全平方数。由于x和互质，故必为完全平方数。2设对某个自然数k0，有将此式整理成关于m的一元二次方程，得 （1）因为m为整数,k为自然数，故（1）的判别式必为完全平方数，再设=（p为自然数），则=0 （2）为使方程（2）的根为自然数，须使（2）的判别式为完全平方数，又设（q为自然数），则（q+p）（q-p）=920 （3）因为q+pq-p0，q+p与q-p同奇偶，即它们均为偶数，从而解之得：把p的值代入（2）求得k的值，再把k值代入（1）可求得m值，从而即得m=-1，2，6，-13。即当m=-1，2，6，-13时，能分解成两个连续自然数之积3设，分别是两个方程的根，先证假设不成立，由知，而，与0矛盾，故又由于c (b - 1) = c b 1 由方程讨论可得