初二竞赛辅导专题一：一元二次方程整数根问题(整理).doc

专题一：一元二次方程整数根问题一. 利用判别式例1.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。解：方程有整数根， =16-16m0，得m1又方程有整数根 得 综上所述，m1x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为x-4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=1二. 利用求根公式例3（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解： 由求根公式得即 由于x-1，则有两式相减，得即 由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。三. 利用方程根的定义例4.b为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b2时,x=1+b,代入第一个方程,得 解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根. b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解（考试重点）例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有_个.解: 当a=1时,x=1 当a1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x是整数 1-a=1,2, a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个.练习： 已知方程有两个不等的负整数根,则整数a的值是？ m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值六.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为，则有 令x=1，并将三式相加，注意到x1（i=1，2，6），有 但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0 故 a=b=c=1七.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程有一个整数根，则n=_.解：不妨设已知方程的整数根为，则整理。得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去） n=3。