三角函数题型总结-教师版

高三数学三角函数题型大全一、求值化简型1、公式运用例(2004淄博高考模拟题)（1）已知tan=3,求：的值。 （2）已知tan+sin=m, tan-sin=n (,求证：.（1）解： （2）证明：两式相加，得 两式相减，得所以 举一反三（2004.湖南理）（本小题满分12分）1、已知的值.解：由 得 又于是 2、（2013年西城二模）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记（）若，求；（）分别过作轴的垂线，垂足依次为记 的面积为，的面积为若，求角的值（）解：由三角函数定义，得 ， 2分 因为 ， 所以 3分 所以 5分（）解：依题意得 ， 所以 ， 7分 9分 依题意得 ， 整理得 11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 13分2、三角形中求值例（2013年高考北京卷（理）在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(I)求cosA的值; (II)求c的值.【答案】解:(I)因为a=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为B=2A,所以.所以. 在ABC中,. 所以. 【举一反三】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求.【答案】三角不等式（2013年高考湖南卷（理）已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.【答案】解: (I). (II) 二、图像和性质型1、求范围型例（2008北京卷15）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围解：（）因为函数的最小正周期为，且，所以，解得（）由（）得因为，所以，所以，因此，即的取值范围为二次函数型例（2008四川卷17）求函数的最大值与最小值。【解】：由于函数在中的最大值为 最小值为 故当时取得最大值，当时取得最小值2、求单调区间例2014四川卷 已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值解：(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos2 sin2 )，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kZ，此时，cos sin .当sin cos 0时，(cos sin )2.由是第二象限角，得cos sin 0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.3、和图像结合例（2008广东卷16）（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，故；（2）依题意有，而，。举一反三1（2008天津卷17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小值正周期是（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合（）解： 由题设，函数的最小正周期是，可得，所以（）由（）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为2（2008安徽卷17）已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域解：（1） 由函数图象的对称轴方程为 （2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为3（2008山东卷17）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（）f(x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)4、（2008湖北卷16）.已知函数（）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.解：（）（）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为5、（2008陕西卷17）（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由解：（）的最小正周期当时，取得最小值；当时，取得最大值2（）由（）知又函数是偶函数三、解三角形型1、求基本元素【例】（2008全国二17）在中， （）求的值；（）设的面积，求的长. 解：（）由，得，由，得所以5分（）由得，由（）知，故，8分又，故，所以10分举一反三（2008江西卷17）在中，角所对应的边分别为，求及解：由得 ，又由得 即 ，由正弦定理得2、求范围均值定理型例（2008全国一17）设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值解析：（）在中，由正弦定理及可得即，则；（）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.【举一反三】2014陕西卷 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值16解：(1)a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立，cos B的最小值为.二次函数型（2013年高考江西卷（理）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围。【答案】解:(1)由已知得 即有 因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有. 因为,有. 又,于是有,即有. 转化求范围【例】设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)sin Aab(sin C2sin B)，a1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的周长的取值范围【正弦定理的高级运用，将边及对角正弦值转化】解：(1)由(a2b2c2)sin Aab(sin C2sin B)，结合余弦定理可得2abcos Csin Aab(sin C2sin B)，即2cos Csin Asin C2sin(AC)，化简得sin C(12cos A)0.因为sin C0，所以cos A.又A(0，)，所以A.(2)因为A，a1，所以由正弦定理可得bsin B，csin C，所以ABC的周长labc1sin Bsin C111sin.因为B，所以B，则sin，故labc1sin.【例】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C(2bc)cos A(1)求角A的大小；(2)求cos2sin2的取值范围【纯粹三角形内角之间的转化，比上题简单一步】解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos A，从而可得sin(AC)2sin Bcos A，即sin B2sin Bcos A，又B是三角形的内角，所以sin B0，于是cos A.又A为三角形的内角，因此A.(2)cos2sin2sin Bcos C1sin Bcos 1sin Bcos cos Bsin sin B1sin Bcos B1sin1，由A可知，B，所以B，从而sin，因此sin1，故cos2sin2的取值范围为.【例】【还是转化问题，在单位圆上坐标与三角函数的转化-如何选变量的问题】已知A(xA，yA)是单位圆(圆心O在坐标原点)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30得到OB，交单位圆于点B(xB，yB)，则xAyB的最大值为()A. B. C1 D. 小结 在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点、角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中定义的三角函数，则只需将角的终边上点的纵(横)坐标除以该点到坐标原点的距离，即得该角的正(余)弦值【解】设从x轴正方向逆时针旋转到射线OA所形成的角为，根据三角函数定义得xAcos ，yBsin(30)，所以xAyBcos sin(30)sin cos sin(150)，故其最大值为1. 求面积【例】（2008辽宁卷17）在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积解：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得4分联立方程组解得，6分（）由题意得，即，8分当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积12分【例】如图K221所示，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD.(1)求BC的长；(2)求DBC的面积图K221【图形的转化】解：(1)因为sin，所以cosABC12.在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理可得9b2a24a.在ABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB，cosBDC.因为cosADBcosBDC，所以有，所以3b2a26.由可得a3，b1，即BC3.(2)由(1)得，sinABC，所以ABC的面积为232，所以DBC的面积为.四、与向量结合型例（2008福建卷17）（本小题满分12分）已知向量m=(sinA,cosA),n=，mn1，且A为锐角.（）求角A的大小；（）求函数的值域.解：（）由题意得由A为锐角得（）由（）知所以因为xR，所以，因此，当时，f(x)有最大值.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是.【举一反三】1、（2013年高考陕西卷（理）已知向量, 设函数. () 求f (x)的最小正周期. () 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期为. () . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 2、(2004天津联考题)平面直角坐标系有点，（）求向量和的夹角的余弦用表示的函数（）求的最值.(理)解：()()且即；3、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1) 即, 又, (2) 即 两边分别平方再相加得: ABC4、在中，.（）求的值；（）设动点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，求的最小值.解：（）由已知. 2分ACxyPB 4分 5分（）建立如图所示的直角坐标系，则，因为，根据三角函数定义， 7分点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，可设，其中. 8分 . 10分因为，所以，当时，取得最小值，所以的最小值为. 12分五、综合运用【例】2014辽宁卷 已知函数f(x)(cos xx)(2x)(sin x1)，g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln.证明：(1)存在唯一x0，使f(x0)0；(2)存在唯一x1，使g(x1)0，且对(1)中的x0，有x0x1.证明：(1)当x时，f(x)(1sin x)(2x)2xcos x0，f20，当t时，u(t)0，所以u(t)在(0，x0上无零点在上u(t)为减函数，由u(x0)0，u4ln 20，故g(x)(1sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1，使g(x1)0.因为x1t1，t1x0，所以x0x1.【例】2014辽宁卷 已知函数f(x)(cos xx)(2x)(sin x1)，g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln.证明：(1)存在唯一x0，使f(x0)0；(2)存在唯一x1，使g(x1)0，且对(1)中的x0，有x0x1.证明：(1)当x时，f(x)(1sin x)(2x)2xcos x0，f20，当t时，u(t)0，所以u(t)在(0，x0上无零点在上u(t)为减函数，由u(x0)0，u4ln 20，故g(x)(1sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1，使g(x1)0.因为x1t1，t1x0，所以x0x1.【例】（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.来源:学,科,网(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.【答案】解:()由函数的周期为,得 又曲线的一个对称中心为, 故,得,所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ()当时, 所以 问题转化为方程在内是否有解 设, 则 因为,所以,在内单调递增 又, 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, 即存在唯一的满足题意 ()依题意,令 当,即时,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, 现研究时方程解的情况 令, 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ,令,得或 当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,所以 综上,当,时,函数在内恰有个零点 第20页共20页