人教版第二十六章-反比例函数教案全章

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第二十六章 反比例函数2611反比例函数的意义一、教学目标1使学生理解并掌握反比例函数的概念2能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想二、重、难点1重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式2难点:理解反比例函数的概念3难点的突破方法:(1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式,等号左边是函数y,等号右边是一个分式,自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k;看自变量x的取值范围,由于x在分母上,故取x0的一切实数;看函数y的取值范围,因为k0,且x0,所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数ykx(k0),比较二者解析式的相同点和不同点。(3)(k0)还可以写成(k0)或xyk(k0)的形式三、课堂引入1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?2、体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的?3、阅读书P2思考题四、例习题分析例1P3分析:因为y是x的反比例函数,所以先设,再把x2和y6代入上式求出常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。例1(补充)下列等式中,哪些是反比例函数(1) (2) (3)xy21 (4) (5)(6) (7)yx4分析:根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成(k为常数,k0)的形式,这里(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含x,(6)改写后是,分子不是常数,只有(2)、(3)、(5)能写成定义的形式例2(补充)当m取什么值时,函数是反比例函数?分析:反比例函数(k0)的另一种表达式是(k0),后一种写法中x的次数是1,因此m的取值必须满足两个条件,即m20且3m21,特别注意不要遗漏k0这一条件,也要防止出现3m21的错误。解得m2例3(补充)已知函数yy1y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x1时,y4;当x2时,y5(1) 求y与x的函数关系式(2) 当x2时,求函数y的值分析:此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用不同的字母表示。略解:设y1k1x(k10),(k20),则,代入数值求得k12,k22,则,当x2时,y5五、随堂练习1苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为 2若函数是反比例函数,则m的取值是 3矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为 4已知y与x成反比例,且当x2时,y3,则y与x之间的函数关系式是 ,当x3时,y 5函数中自变量x的取值范围是 六、课后练习已知函数yy1y2,y1与x1成正比例,y2与x成反比例,且当x1时,y0;当x4时,y9,求当x1时y的值答案:y42612反比例函数的图象和性质(1)一、教学目标1会用描点法画反比例函数的图象2结合图象分析并掌握反比例函数的性质3体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法二、重点、难点1重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质2难点:正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质3难点的突破方法:画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:列表、描点、连线,其中列表取值很关键。反比例函数(k0)自变量的取值范围是x0,所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。教学时,老师要带着学生一起画,注意引导,及时纠错。在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数ykx(k0)的图象和性质,来帮助学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的;反之,双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。四、课堂引入提出问题:1一次函数ykxb(k、b是常数,k0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例函数ykx(k0)呢?2、画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么?3、反比例函数的图象是什么样呢?五、例习题分析例2见教材P4,用描点法画图,注意强调:(1)列表取值时,x0,因为x0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线(4)由于x0,k0,所以y0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴例1(补充)已知反比例函数的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限内y随x的变化情况?分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即(k0)自变量x的指数是1,二是根据反比例函数的性质:当图象位于第二、四象限时,k0,则m10,不要忽视这个条件略解:是反比例函数 m231,且m10 又图象在第二、四象限 m10解得且m1 则例2(补充)如图,过反比例函数(x0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,设AOC和BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得( )(A)S1S2 (B)S1S2 (C)S1S2 (D)大小关系不能确定分析:从反比例函数(k0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积,由此可得S1S2 ,故选B五、随堂练习1已知反比例函数,分别根据下列条件求出字母k的取值范围(1)函数图象位于第一、三象限(2)在第二象限内,y随x的增大而增大2函数yaxa与(a0)在同一坐标系中的图象可能是( ) 3在平面直角坐标系内,过反比例函数(k0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为 七、课后练习1若函数与的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是 2反比例函数,当x2时,y ;当x2时;y的取值范围是 ; 当x2时;y的取值范围是 3 已知反比例函数,当时,y随x的增大而增大,求函数关系式答案:3 2612反比例函数的图象和性质(2)一、教学目标1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法二、重点、难点1重点:理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题2难点:学会从图象上分析、解决问题3难点的突破方法:在前一节的基础上,可适当增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。三、课堂引入复习上节课所学的内容1什么是反比例函数?2反比例函数的图象是什么?有什么性质?四、例习题分析例3见教材P7分析:反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。例4见教材P7 例1(补充)若点A(2,a)、B(1,b)、C(3,c)在反比例函数(k0)图象上,则a、b、c的大小关系怎样?分析:由k0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,因为A、B在第二象限,且12,故ba0;又C在第四象限,则c0,所以ba0c说明:由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k0时y随x的增大而增大,就会误认为3最大,则c最大,出现错误。此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。例2 (补充)如图, 一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象交于A(2,1)、B(1,n)两点(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围分析:因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解析式,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式yx1,第(2)问根据图象可得x的取值范围x2或0x1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。五、随堂练习1若直线ykxb经过第一、二、四象限,则函数的图象在( )(A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第三、四象限 (D)第一、二象限2已知点(1,y1)、(2,y2)、(,y3)在双曲线上,则下列关系式正确的是( )(A)y1y2y3 (B)y1y3y2 (C)y2y1y3 (D)y3y1y2六、课后练习1已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小,且k的值还满足2k1,若k为整数,求反比例函数的解析式2已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2 , 求(1)一次函数的解析式; (2)AOB的面积答案:1或或2(1)yx2,(2)面积为6262实际问题与反比例函数(1)一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式3难点的突破方法:用函数观点解实际问题,一要搞清题目中的基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式),这一步很重要;二是要分清自变量和函数,以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值范围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。三、课堂引入寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然发现前面有一处冰出现了裂痕,小明立即告诉同伴分散趴在冰面上,匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗?四、例习题分析例1见教材第12页分析:(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为104,底面积是S,深度为d,满足基本公式:圆柱的体积 底面积高,由题意知S是函数,d是自变量,改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式,(2)问实际上是已知函数S的值,求自变量d的取值,(3)问则是与(2)相反例2见教材第13页分析:此题类似应用题中的“工程问题”,关系式为工作总量工作速度工作时间,由于题目中货物总量是不变的,两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系,(2)问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少?例3(补充)、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式;(2)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?分析:题中已知变量P与V是反比例函数关系,并且图象经过点A,利用待定系数法可以求出P与V的解析式,得,(3)问中当P大于144千帕时,气球会爆炸,即当P不超过144千帕时,是安全范围。根据反比例函数的图象和性质,P随V的增大而减小,可先求出气压P144千帕时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于立方米五、随堂练习1京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京,则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为 2完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式 3一定质量的氧气,它的密度(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,当V10时,1.43,(1)求与V的函数关系式;(2)求当V2时氧气的密度答案:,当V2时,7.15六、课后练习1小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分),所需时间为t(分)(1)则速度v与时间t之间有怎样的函数关系?(2)若小林到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少?(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位?答案:,v240,t122学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天(1)则y与x之间有怎样的函数关系?(2)画函数图象(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?262实际问题与反比例函数(2)一、教学目标1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这一数学模型二、重点、难点1重点:利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2难点:分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题3难点的突破方法:本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用,不但能巩固所学的知识,还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学,要引导学生从已有的生活经验出发,按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题,注意体会数形结合及转化的思想方法,要告诉学生充分利用函数图象的直观性,这对分析和解决实际问题很有帮助。三、课堂引入1小明家新买了几桶墙面漆,准备重新粉刷墙壁,请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢?其原理是什么?2台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节,你能说出其中的道理吗?四、例习题分析例3见教材第14页分析:题中已知阻力与阻力臂不变,即阻力与阻力臂的积为定值,由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系,写出函数关系式,得到函数动力F是自变量动力臂的反比例函数,当1.5时,代入解析式中求F的值;(2)问要利用反比例函数的性质,越大F越小,先求出当F200时,其相应的值的大小,从而得出结果。例4见教材第15页分析:根据物理公式PRU2,当电压U一定时,输出功率P是电阻R的反比例函数,则,(2)问中是已知自变量R的取值范围,即110R220,求函数P的取值范围,根据反比例函数的性质,电阻越大则功率越小,得220P440例1(补充)为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ;药物燃烧后,y关于x的函数关系式为 .(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过_分钟后,员工才能回到办公室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?分析:(1)药物燃烧时,由图象可知函数y是x的正比例函数,设,将点(8,6)代人解析式,求得,自变量0x8;药物燃烧后,由图象看出y是x的反比例函数,设,用待定系数法求得(2)燃烧时,药含量逐渐增加,燃烧后,药含量逐渐减少,因此,只能在燃烧后的某一时间进入办公室,先将药含量y1.6代入,求出x30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小,求得时间至少要30分钟(3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加,当y3时,代入中,得x4,即当药物燃烧4分钟时,药含量达到3毫克;药物燃烧后,药含量由最高6毫克逐渐减少,其间还能达到3毫克,所以当y3时,代入,得x16,持续时间为1641210,因此消毒有效五、随堂练习1某厂现有800吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是( )(A)(x0) (B)(x0)(C)y300x(x0) (D)y300x(x0)2已知甲、乙两地相s(千米),汽车从甲地匀速行驶到达乙地,如果汽车每小时耗油量为a(升),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)的函数图象大致是( ) 3你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示:(1)写出y与S的函数关系式;(2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米?七课后练习一场暴雨过后,一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟,排水量为a米3/分,且排水时间为510分钟(1)试写出t与a的函数关系式,并指出a的取值范围;(2)请画出函数图象(3)根据图象回答:当排水量为3米3/分时,排水的时间需要多长?
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