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函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹一次函数(正比例函数)1、定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,即:y=kx (k为常数,k0) 则此时称y是x的正比例函数。2、一次函数的性质:(1) 在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2) 一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。(3) k,b与函数图像所在象限: 当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b0时,直线必通过一、二象限; 当b0时,直线必通过三、四象限。 当b=0时,直线通过原点。 (4)特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰二次函数1函数叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系-韦达定理(1)若一元二次方程中,两根为,。 求根公式, 补充公式 。 韦达定理,。(2)以,为两根的方程为(3)用韦达定理分解因式3任何一个二次函数都可配方为顶点式:,性质如下:(1)图象的顶点坐标为,对称轴是直线。(2)最大(小)值 当,函数图象开口向上,有最小值,无最大值。 当,函数图象开口向下,有最大值,无最小值。(3)当,函数在区间上是减函数,在上是增函数。 当,函数在区间上是减函数,在上是增函数。 4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根不等式的解集 叁反比例函数1、定义:一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:(1)x是自变量,y是x的反比例函数;(2)自变量x的取值范围是的一切实数,函数值的取值范围是;(3)反比例函数有三种表达式:(), (), (定值)()。(4)函数()与()是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征:反比例函数()的符号图像 定义域和值域,;即(,0)U(0,+),即(,0)U(0,+)单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。肆指数函数(一)指数与指数幂的运算1根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中1,且*2实数指数幂的运算性质(1) (2) (3) 均满足(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中定义域为xR2、指数函数的图象和性质条件a10a10a0)(1),则的周期T=a;(2),或,或,或,则的周期T=2a;(3),则的周期T=3a;(4)且,则的周期T=4a;(5) ,则的周期T=5a;(6),则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)(,且). (2)(,且).9. 根式的性质(1).(2)当为奇数时,; 当为偶数时,.10. 有理指数幂的运算性质(1). (2). (3).注:若a0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式 . 对数的换底公式 (,且,且, ). 推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0,a1,M0,N0,则(1); (2); (3).注:设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) 当时,在和上为减函数.推论:设,且,则 (1). (2). 函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域,所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:f(-x)=f(x)为偶函数; f(-x)=-f(x)为奇函数; f(-x)-f(x)=0为偶; f(x)+f(-x)=0为奇; f(-x)f(x)=1是偶; f(x)f(-x)=-1为奇函数.(1) 若定义域关于原点对称 (2)若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如:在上不是奇函数 常用性质: 1是既奇又偶函数; 2奇函数若在处有定义,则必有; 3偶函数满足; 4奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称; 5除外的所有函数的奇偶性满足: (1)奇函数奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 (2)奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6 任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2. 单调性定义:函数定义域为A,区间,若对任意且 总有则称在区间M上单调递增 总有则称在区间M上单调递减 应用:(一)常用“定义法”来证明一个函数的单调性一般步骤:(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论(二) 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注:常用结论(1) 奇函数在对称区间上的单调性相同(2) 偶函数在对称区间上的单调性相反(3) 复合函数单调性-同增异减(右图) 3. 周期性(1)一般地对于函数,若存在一个不为0的常数T,使得内一切值时总有,那么叫做周期函数,T叫做周期,kT(T的整数倍)也是它的周期(2)如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。注:常用结论(1)若,则是周期函数,是它的一个周期(自己证明)(2)若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (ab),则y = f (x)是周期函数,且2| ab|是其一个周期。(自己证明) (推论)若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称,则是周期函数,是它的一个周期(3) 若;则是周期函数,2是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 02、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 3、函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (ab),则y = f (x)是周期函数, 且2| ab|是其一个周期。二不同函数对称性1、函数y = f (a+x)与y = f (bx)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称2、互为反函数的两个函数关于直线y=x对称18
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