应用空间向量解立体几何问题(第十课时)课件

应用空间向量解立体几何问题(第十课时)zxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg例例1、如图、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是三角形的两边之间的夹角都是 ，且，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？ 500kg1F 2F 3F 60 123200FFFkg 应用空间向量解立体几何问题(第十课时)F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy,31(0,0,0),(0,1,0),(,0).22AABCxAyAByAByAxyzABC 解 ： 如 图 ， 以 点为 原 点 ， 平 面为坐 标 平 面 ，方 向 为 轴 正 方 向 ，为 轴 的 单 位 长 度 建 立 空 间直 角 坐 标 系则 正 三 角 形 的 顶 点 坐 标 分 别 为11( ,),601cos 60( ,) (0,1, 0),2Fx y zFAB ACx y z 设 力方 向 上 的 单 位 向 量 坐 标 为由 于与的 夹 角 均 为， 利 用 向 量 的 数 量 积 运 算 ，得131c o s 6 0(,)(, 0 ),222xyz.21,121yx解得应用空间向量解立体几何问题(第十课时)12311211212200(,)(,)(,0,)12 23122333200(0,0,6)FFF 它们的合力F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以2311212200(,)200(,0,)122333FF类 似 地所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5006200.,6200Okg应用空间向量解立体几何问题(第十课时)应用空间向量解立体几何问题(第十课时)F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角与距离的问题。量的办法解决空间角与距离的问题。建立空间直角坐标系，解立体几何题建立空间直角坐标系，解立体几何题1 122330a ba ba bba112233,()ab ab abRba|112222/ababab一、常用公式：一、常用公式：1、求线段的长度：、求线段的长度：222zyxABAB212212212zzyyxx2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：|nnPMPN，（，（N为垂足，为垂足，M为斜足，为斜足，n为平面为平面的法向量）的法向量）5、求直线、求直线l与平面与平面所成的角所成的角： |sin|nPMnPM，(lPM Mn为为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角： |cosCDABCDAB7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :( 为二面角的两个面的法向量）为二面角的两个面的法向量）|cos2121nnnn1n2n8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 : SS射影cos（射影面积法）（射影面积法）9、求法向量：找；求：设、求法向量：找；求：设ba, 为平面为平面内的任意两个向量，内的任意两个向量， ),(zyxn 为为 的法向量的法向量 00nbna则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量n例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角异面直线异面直线AB与与CD所成角：所成角： |cosCDABCDABA1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角题型一：线线角A1AB1B1C1D1F解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 11CC (1,0,0),(0,1,0),ABCxyzC) 1 ,21,21(),1 , 0 ,21(11DF) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA10302345| 141|1111DBFADBFA11cos,AF BD |所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF1030例二例二： 在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMxyz(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD (0,0,0),A1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型一：线线角题型一：线线角两线垂直两线垂直证明：如图建立坐标系，则1.ADAM01DAMAa 例二例二已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCA B C MBCNCC 14CNCC ABMN NMACBCABb c 解解1：向量解法：向量解法 设设，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得，得,ABaACbAAc .ABMN 你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？)412121()(cbacaNMBAcbcabaca214121|41|2122,21, 0, 1|bacbcacba0414121NMBA,412121cbaMANANMcbNAbaMAcaBA41),(21,NMACBCAB.ABMN 解解2：直角坐标法：直角坐标法 。 取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 ,GCB的中点),1 ,21, 0(),0 , 0 ,23(),41,21, 0(), 0 , 0 , 0(BANM) 1 ,21,23();41,21, 0(BANM041410141)21(21023 MNBAXYZG例例2 2已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCA B C MBCNCC 14CNCC ABMN 题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，ABCD1A1B1C1DMxyzADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即例三：例三：1111ABCDABC D112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，51NA, 61AA, 8, 6ADAB例三：例三：题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，ABCD1A1B1C1DMNxyzADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DMN51NA)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343, 61AA|sin|nDAnDAABDCA1B1D1C1例四例四. .在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF题型三：线面平行题型三：线面平行) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(. 2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系xyz).1 , 1 , 1 (),1, 0 , 2(),0 , 2 , 2(1111BDEACA则的法向量设平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即即)2, 1 , 1 (n解得, 021111nBDnBD./111ECADB平面题型四：二面角题型四：二面角ABCDS。所成的二面角的余弦值与面求面平面是一直角梯形，例五、如图，SBASCDADBCABSAABCDSAABCABCD,21, 1,900解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：设平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn。是即所求二面角的余弦值36xyz题型五：异面直线的距离题型五：异面直线的距离的距离。与的中点。求为中底面的侧棱已知：直三棱柱例101111,90, 2, 4. 6ABCEABEBCABCACABCAACBAABCzxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,z则y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1题型六：点面距离题型六：点面距离P点到平面点到平面的距离：的距离：|nnPMPN，（，（N为垂足，为垂足，M为斜足，为斜足，n为平面为平面的法向量）的法向量）例七：例七：如图ABC是以B为直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点， （1）求证：MNAB； （2）求二面角S-ND-A的余弦值； （3）求过A且与平面SND平行的平面到平面 SND的距离ASNMBDC