资源描述
课 题：411已知三角函数值求角（1）教学目的：1要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合2掌握已知三角函数值求角的解题步骤教学重点：已知三角函数值求角教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 公式二： 用弧度制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 诱导公式6：sin(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina tan(90 -a) = cota, cot(90 -a) = tana sec(90 -a) = csca, csc(90 -a) = seca诱导公式7：sin(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina tan(90 +a) = -cota, cot(90 +a) = -tana sec(90 +a) = -csca, csc(90+a) = seca诱导公式8：sin(270 -a) = -cosa, cos(270 -a) = -sina tan(270 -a) = cota, cot(270 -a) = tana sec(270 -a) = -csca, csc(270-a) = seca诱导公式9：sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina tan(270 +a) = -cota, cot(270 +a) = -tana sec(270 +a) = csca, csc(270+a) = -seca诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角这就是本节课的主要内容二、讲解新课： 简单理解反正弦，反余弦函数的意义：xy0由1在R上无反函数2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单在上，的反函数称作反正弦函数，记作，（奇函数）xy0同理，由在上，的反函数称作反余弦函数，记作已知三角函数求角：首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的三、讲解范例： 例1 (1)已知，求x解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 （即）(2)已知解：，是第一或第二象限角 即（）(3)已知解：x是第三或第四象限角（即 或 ）这里用到是奇函数例2 (1)已知，求解：在上余弦函数是单调递减的，且符合条件的角只有一个 (2)已知，且，求x的值解：，x是第二或第三象限角(3)已知，求x的值解：由上题：介绍：上题四、课堂练习：1若是三角形的一个内角，且sin，则等于( )A30 30或150 60 120或602若02，则满足5sin240的有( )A1个 2个 3个 4个3满足sin2x的x的集合是( )Axx（1），Zxx2，Zxx，Z xx，Z4若sin2x，且0x2，则x= 5若sin2x，则x 6若sinsin，R，则 7已知sinxcosx，x（0，），求x8已知sin2xsin2，求x9已知方程sinxcosx在0，内总有两个不同的解，求m的范围参考答案：1B 2D 3D 4 5 k或k，kZ 6，kZ7 8x2k或x或x2k或x2k，kZ 91五、小结 求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：课 题：411已知三角函数值求角（2）教学目的：1要求学生初步（了解）理解反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合2掌握已知三角函数值求角的解题步骤教学重点：已知三角函数值求角教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1反正弦，反余弦函数的意义：xy0由1在R上无反函数2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单在上，的反函数称作反正弦函数，记作，（奇函数）xy0同理，由在上，的反函数称作反余弦函数，记作2已知三角函数求角：求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角x0y二、讲解新课： 反正切函数 1在整个定义域上无反函数 2在上的反函数称作反正切函数， 记作（奇函数）三、讲解范例：例1 （1）已知，求x（精确到）解：在区间上是增函数，符合条件的角是唯一的 （2）已知且，求x的取值集合解： 所求的x的集合是（即）（3）已知，求x的取值集合解：由上题可知：，合并为 例2已知，根据所给范围求： 1为锐角 2为某三角形内角 3为第二象限角 4 解：1由题设 2设，或 3 4由题设 例3 求适合下列关系的x的集合 1 2 3 解：1 所求集合为 2所求集合为 3 例4 直角锐角A，B满足： 解：由已知： 为锐角， 例5 1用反三角函数表示中的角x2用反三角函数表示中的角x解：1 又由 得 2 又由 得 例6已知，求角x的集合解： 由 得 由 得 故角x的集合为例7求的值解：arctan2 = a, arctan3 = b 则tana = 2， tanb = 3 且， 而 a + b = 又arctan1 = = p例8求y = arccos(sinx), ()的值域解：设u = sin x 所求函数的值域为四、课堂练习：1若cosx0，则角x等于( )A，（Z） ，（Z）2，（Z） 2，（Z）2若tanx0，则角x等于( )A，（Z） ，（Z）2，（Z） 2，（Z）3已知cosx，x2，则x等于( )A 4若tan（3x），则x= 5满足tanx的x的集合为 6在闭区间0，2上，适合关系式cosx04099的角有 个,用04099的反余弦表示的x值是 _；用04099的反余弦表示的x的值是 _参考答案：1B 2A 3A 4xk，kZ 5xxarctak，kZ6两 arccos04099 arccos04099 arccos(04099) 2arccos(04099)五、小结：反正切函数的有关概念，并能运用知识已知三角函数值求角 六、课后作业：1方程cosxa（a1，x0，2的解的集合是( )Aarccosa，arccosa arccosaarccosa，arccosa arccosa，2arccosa2适合cosx，x（，）的x值是( )A arccos（） arccosarccos（） arccos3若tan8，且（，），则等于( )Aarctan8 arctan8 arctan8 arctan84已知3tan2x1，x是第三象限角，则x的集合是 5若tan88，且tan833188，则的集合为 6若cos2x且0x2，则x等于 7求满足sinxcosxsinxcosx10的x8已知sinxcosx1，求9求满足cos（sinx）的x的集合参考答案：1D 2C 3D 4x2k，kZ58331k180，kZ6 7x2k或x2k，kZ81 9xxarcsink，kZ七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：44同角三角函数的基本关系式（一）教学目的：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力教学重点：同角三角函数的基本关系教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系如:由 得:,同样可以有: ，等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯教材中的3个基本关系式，只有：sin2+cos2=1是绝对恒等式，即对于任意实数都成立,另外两个公式,仅当取使关系式的两边都有意义的值时才能成立因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点这组公式的灵活运用是本节教学的难点灵活运用的前提是熟练掌握公式弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件教材中指出：“在第二个式子中时，式子两边都有意义；在第三个式子中，的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的教学过程：一、复习引入：1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2任意角的三角函数的定义及其定义域 R R 以上六种函数，统称为三角函数3 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限全为正,二正三切四余弦 4 终边相同的角的同一三角函数值相等诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题二、讲解新课： 1公式: 2采用定义证明： 3推广：这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有： 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有： 这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有： 4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系 5注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号6这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)三、讲解范例：例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值 分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值解：sin2+cos2=1，是第二象限角例2已知，求sin、tan的值分析：cos0是第二或第三象限角因此要对所在象限分类当是第二象限角时，当是第三象限时提问：不计算sin的值，能否算得tan的值？由于而在或III象限例3已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos解：由 即 而 四、课堂练习：1已知 ， 求的值解法1：， 在、象限， 当在象限时，当在象限时解法2：当在象限时，当在象限时 2已知，求的值解 tan = 2 0，在、象限当在象限时 当在象限时, 注意：此题在求出cos的值以后，若直接用平方关系求sin的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin值，使得问题轻松获解3已知tan=3，则sin= ，cot = 思路分析：由tan30知，在第二或第四象限，可分类后用同角三角函数基本关系求解（略）由于这是一个填空题，可先将角视为锐角，求出sin和cot的值，然后具体的再看角所在象限得出sin、cot的符号将视为锐角，则有tan=3，= cot=,在第或第象限五、小结与总结已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：已知象限，由象限定符号；已知值，由值分情况讨论；值是字母，开平方时，分情况讨论六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：思考题：1已知，求下列各式的值sin3cos3 sin4cos4 sin6cos6分析：由两边平方，整理得然后将各式化成关于sincos，sincos的式子将上两式的值代入即可求得各式的值答案： 注意：sincos、sincos称为关于角的正弦和余弦的基本对称式，关于sin、cos的所有对称式都可以用基本对称式来表示 2已知sincos，且，则cossin的值是多少?分析：由sincos得2sincossin22sincoscos21（cossin）2，cossin，即cossin0cossin 课 题：44同角三角函数的基本关系式（二）教学目的：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力教学重点：同角三角函数的基本关系教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：同角三角函数的基本关系公式: 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立 3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)二、讲解范例：例1化简： 解：原式例2 已知解： （注意象限、符号）例3求证： 分析：思路1把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法证法1：左边=右边，原等式成立证法2：左边=右边证法3：，证法4：cosx0，1+sinx0，0，1， 左边=右边 原等式成立证法6：证法7：， = 例4已知方程的两根分别是，求 解： （化弦法）例5已知，求解：例6消去式子中的解：由由 （平方消去法）例7已知解：由题设： /： +： 三、课堂练习：1已知cot=2，求的其余三个三角函数值分析：由于cot=20，因此分在第、III象限时，讨论解：cot=20 在第、III象限当在第象限时， 当在第II象限时，2已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值分析：题目要用定义求三角函数值，则解决问题的关键应找到终边的所在象限解：，而在第二象限设点P(x，y)为角终边上任一点由，可设，则，3已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值解：由题意可知角的终边在直线y=3x上设P(a，3a)(a0)为角终边上的任一点当在第一象限时，a0当在第三象限，4已知 求cot的值分析：由题意可知cos0，分在、象限讨论利用平方关系可求正弦值，利用商的关系，即可求余切值解： m1 ，在第I、IV象限当在第I象限时当在第IV象限时，5已知，求tan和sin的值分析：由已知条件可知cos的值可能正可能负,要分别讨论分子为正、为负的情形解：(1)若mn0则cos0 在、象限当在第象限时当在第象限时(2)若0mn时，则cos0 在第II、III象限当在第象限时当在第III象限时(3)若n=0、m0时，tan =0，sin =0(4) 若m=0、n0时，tan =0，sin =0说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：(1) 角所在的象限；(2) 用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论6已知tan =3，求下列各式的值分析：思路1，可以由tan =3求出sin、cos的值，代入求解即可；思路2，可以将要求值的表达式利用同角三角函数关系，变形为含tan的表达式解：(1)原式分子分母同除以得，原式=(2)原式的分子分母同除以得：原式=(3) 用“1”的代换原式=(4)原式=(5) (6)同(5)(7)(8)= = = =说明：数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识7 化简下列各式123分析：在化简前应先复习“”以及绝对值的概念解：（）原式 （）原式说明：在三角式的化简或恒等变形中，正确处理算术根和绝对值问题是个难点这是由于算术根和绝对值的概念在初中代数阶段是一个不易理解和掌握的基本概念，现在又以三角式的形式出现，就更增加了它的复杂性和抽象性，所以形成新的难点为处理好这个问题，要先复习算术根和绝对值的定义8求证：证明：可先证： （） 右式左式（）式成立，即原等式成立9已知 证：由题设： 四、小结 几种技巧五、课后作业： 六、板书设计（略）七、课后记：1已知sincos，且0，则tan的值为( )2若sin4cos41，则sincos的值为( )A0 B1 C1 D13若tancot2，则sincos的值为( )A0 B C D4若10，则tan的值为 5若tancot=2，则sin4cos4 6若tan2cot22，则sincos 7求证8已知tansin，tansin求证：(1)cos（2）9已知tancot2，求sin3cos3的值参考答案：1A 2D 3D 42 5 67 (略) 8略 90 课 题：45正弦、余弦的诱导公式（一）教学目的：1通过本节内容的教学，使学生掌握180+，-，180-，360角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“”、“”、“”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，角的终边与角的终边关于x轴对称，所以、各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键教学过程：一、复习引入：诱导公式一: （其中）用弧度制可写成 （其中）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0360之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0360内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础3运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的二、讲解新课： 公式二： 用弧度制可表示如下： 它刻画了角180+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数这是因为若设的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180+角的终边与单位圆的交点必为P(-x，-y)（如图4-5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(180+)=-y,cos(180+)=-x, 所以 :sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos公式三： 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)（如图4-5-2）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义根据点P的坐标准确地确定点P的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质事实上，在图1中，点P与点P关于原点对称，而在图2中，点P与点P关于x轴对称直观的对称形象为我们准确写出P的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的五组诱导公式可概括为：+k360（kZ），-，180，360-的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个符号”是指的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角看成锐角建议通过实例分析说明三、讲解范例：例1下列三角函数值： （1）cos210； (2)sin分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题求解时，只须设法将所给角分解成180+或（+），为锐角即可解：（1）cos210=cos(180+30)=cos30=；（2）sin=sin()=sin=例2求下列各式的值： （1）sin()；(2)cos(60)sin(210)分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求解：（1）sin()=sin()=sin=；（2）原式=cos60+sin(180+30)=cos60sin30=0例3化简 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键解 例4已知cos(+)= ，2，则nqin(2)的值是（ ）（A）(B) (C)(D)分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2)化成sin,再用同角三角函数的平方关系即可事实上，已知条件即cos=，于是sin(2)=sin=()=因此选A四、课堂练习：1求下式的值：2sin(1110) sin960+答案：2提示：原式=2sin(30)+sin60=2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用使用方法：供课堂练习用评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度2化简sin(2)+cos(2)tan(24)所得的结果是（ ）（A）2sin2(B)0(C)2sin2(D) 1答案：C选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用使用方法：供课堂练习用评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如“sin(2)”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度 五、小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式值得注意的是公式右端符号的确定在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性六、布置作业：1求下列三角函数值：（1）；(2)；(3)；(4)2化简：3当时，的值是_作业的答案与提示：1（1） （2） （3） （4）2提示：原式=13提示：原式=当时，原式=补充题：求值：化简：已知，则的值是_设f ()=，求f ()的值补充题的答案与提示：- 提示：原式=sin 提示：原式=sin 提示：已知条件即，故 提示： = = =七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：45正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 公式二： 用弧度制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 二、讲解范例：例1求下列三角函数的值(1) sin240；(2)；(3) cos(-252)；(4) sin（-）解：（1）sin240=sin(180+60)sin60=(2) =cos=；(3) cos(-252)=cos252= cos(180+72)=cos72=03090；(4) sin（-）=sin=sin=sin=说明：本题是诱导公式二、三的直接应用通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表例2求下列三角函数的值(1)sin(-11945)；(2)cos；(3)cos(-150)；(4)sin解：(1)sin(11945)=sin11945=sin(180-6015)= sin6015=08682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150)=cos150=cos(180-30) =cos30=；(4)sin=sin()=sin=说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表例3求值：sincossin略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+cos+sin =+03090=13090 说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题利用公式求解时，应注意符号例4求值：sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan855解：原式sin(120+3360)cos(210+3360)+cos(300+2360)-sin(330+2360)+tan(135+2360)sin120cos210cos300sin330+tan135sin(18060)cos(180+30) cos(36060)sin(360-30)+=sin60cos30+cos60sin30tan45=+-1=0说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系与前面各例比较，更具有综合性通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用 例5化简：略解：原式=1说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型例6化简：解：原式= = = =说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一例7求证：证明：左边= = = =，右边=，所以，原式成立例8求证证明：左边 tan3右边，所以，原式成立说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简例9已知求：的值解：已知条件即， 又，所以：=说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号例10已知,求:的值解：由，得，所以故 =1tan2tan2=1+说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用提高运算能力等都能起到较好的作用例11已知的值解：因为，所以：=m由于所以于是：=，所以：tan(= 说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=-（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用例12已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 所以 =说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能马上将未知与已知沟通起来然而，当我们通过观察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益三、课堂练习：1已知sin(+) ，则的值是（ ）（A）(B) 2(C)(D)2式子的值是（ ）（A）(B)(C)(D)- 3，是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A）sin(+)+sin(B)cos(+)- cos(C)sin(+)-cos(-)tan(D)cos(2+)+ cos24已知：集合，集合，则P与Q的关系是（ ）（A）PQ(B)PQ(C)P=Q(D)PQ=5已知对任意角均成立若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）（A）-cos2x(B)cos2x(C) -sin2x(D)sin2x6已知，则的值等于 7= 8化简：所得的结果是 9求证10设f(x)=， 求f ()的值答案与提示1D 2B 3C 4C 5A 6 70 82cos9提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所以左边=右边10提示：分n=2k，n=2k+1(kz)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x故f()=四、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数；2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数；3用“pa”或“2p - a”公式化为锐角的三角函数五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：
展开阅读全文