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理科数学 衡水市2017年高三第二次模拟考试 理科数学考试时间:_分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题 (本大题共12小题,每小题_分,共_分。) 1.若复数的实部为1,且,则复数的虚部是( )A. B. C. D. 2.设函数,集合,则右图中中阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D. 3.命题“函数是偶函数”的否定是( )A. B. C. D. 4.已知,则( )A. B. C. D. 5.实数满足条件,则的最小值为()A. 16B. 4C. 1D. 6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于( )A. B. C. D. 7.已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为()A. 127B. 255C. 511D. 10238.已知函数的定义在R上的奇函数,当时,满足,则在区间内()A. 没有零点B. 恰有一个零点C. 至少一个零点D. 至多一个零点9.定义:,已知数列满足:,若对任意正整数,都有成立,则的值为()A. B. 2C. D. 10.如图,正方体的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A. B. C. D. 11.当时,某函数满足:;对任意有,则可以是下列函数中的()A. B. C. D. 12.在平面直角坐标系中,点,对于某个正实数,存在函数,使得为常数),这里点的坐标分别为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 填空题 (本大题共4小题,每小题_分,共_分。) 13.设,函数的导函数为,且是奇函数,则14.点P是函数的图象的最高点,M、N与点P相邻的该图象与轴的两个交点,且,若,则的值为15.设锐角的内角对边分别为,若,则的取值范围是16.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆的面积为,则该三棱锥的高的最大值为简答题(综合题) (本大题共6小题,每小题_分,共_分。) 已知分别是的三个内角的对边,.17.求A的大小.18.当时,求的取值范围.已知数列的前n项和为,且,数列满足,且.19.求数列,的通项公式;20.设,求数列的前2n项的和设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.21.求数列的通项公式(用表示)22.设为实数,对满足且的任意正整数,不等式都成立,求的最大值.已知斜三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面所成角为,点在底面上射影D落在BC上.23.求证:平面;24.若点D恰为BC的中点,且,求的大小;25.若,且当时,求二面角的大小.如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证赛道运动员的安全,限定.26.求的值和两点间的距离;27.应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?已知函数,点.28.若,求函数在点处的切线方程;29.当时,若不等式对任意的正实数恒成立,求的取值范围;30.若,函数在和处取得极值,且直线OA与直线OB垂直(是坐标原点),求的最小值.答案单选题 1. B 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 填空题 13. -114. 15. 16. 8简答题 17. 18. 19. 20. .21. 22. 23. 见解析24. 25. 26. 27. 当角28. 29. 30. 解析单选题 1. 由题意设,可得解得,故选B.2. 由得,故从而,阴影部分表示在内且不在内的元素构成的集合,故答案D.3. 如果函数()是偶函数,则,所以命题的否定是,故答案A4. 解得故故答案C.5. 设z=x-y,即y=x-z,作出不等式组对应的平面区域如图:由图象可知当直线y=x-z过点A(0,1)时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,此时z=0-1=-1,故的最小值为,答案D.6. 由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥,如图,棱柱的高为5;底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4,几何体的体积,故答案B.7. 等比数列an的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,2a125=2a123+48,解得a1=1,an的前8项和S8,故答案B.8. 当时,两边同乘以得即,则,令,则是增函数,当时,0,,是奇函数,当时,因为所以在只有一个零点.故答案B.9. ,2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n3时,(n-1)2-20,当n3时an+1an;当n3时,(n-1)2-20,所以当n3时an+1an当n=3时an取到最小值为f(3)=,故答案C.10. 如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=则A1AE=同理,所以,故弧EF的长为:2,而这样的弧共有三条在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为1,FBG=,所以弧FG的长为:1,于是所得的曲线长为:,故选:A11. 排除法,符合的函数图形是凹图像,对于A不满足;B不满足,C不满足,故答案D.12. 由题设知,点P(1,a),Q(k,ak2),A(5,0),(为常数),两式相除得且.故答案选A.填空题 13. 求导数可得f(x)=(ex)-a(e-x)=ex+,是奇函数,f(0)=1+a=0,解得a=-1,故答案-1.14. 由题意可得PMN为等腰直角三角形,斜边上的高等于2,故斜边长等于4,再根据N(3,0),可得M(-1,0),P(1,2),解得,再由五点法作图可得,故答案.15. 锐角ABC中,由于A=2B,02B90,2B+B,30B45,由正弦定理可得,故答案.16. 如图,设球的半径为R,由球的体积公式得:,又设小圆半径为r,则=16,r=4显然,当三棱锥的高过球心O时,取得最大值;由,所以高.故答案8.简答题 17. ABC中,由正弦定理得:,即,故【解题思路】先利用正弦定理将边换成角,去分母,再利用两角和的正弦公式化简得到,再在中,考虑角的范围求角.18. 由正弦定理得,=,19. Sn=2an-2,n=1时,a1=2a1-2,解得a1=2,n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,an=2an-1,an是首项为2,公比为2的等比数列,an2n数列满足b1=1,且,是首项为1,公差为2的等差数列,.20. ,=.21. 由题意知:化简得:,当时,适合的情形,故.22. 恒成立.又且,故,即的最大值为.23. 证明:点B1在底面上的射影D落在BC上,B1D平面ABC,AC平面ABC,B1DAC,又ACB=90,BCAC,B1DBC=D,AC平面BB1C1C24. B1D面ABC,B1DAC,又ACBC,AC面BB1C1CAB1BC1,由三垂线定理可知,B1CBC1,即平行四边形BB1C1C为菱形,又B1DBC,且D为BC的中点,B1C=B1B,即BB1C为正三角形,B1BC=60,B1D面ABC,且点D落在BC上,B1BC即为侧棱与底面所成的角,6025. 以C点为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则平面ABC的法向量,设平面的法向量为由得,二面角大小是锐二面角,二面角的大小是.26. 因为图像的最高点为所以,由图知的周期为所以,所以,所以27. 在MNP中,故,由正弦定理得,设使折线段赛道MNP为L,则=所以当角时L的最大值是.28. 由题意知所以又,所求的切线方程为29. 当时,即,令,则由得由上表知的最小值,所以.30. 假设,即,故又由为的两根可得,从而,即当且仅当时,即时取等号,所以的最小值为.
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