三角函数教案 (2)

启东市吕四中学2013-2014高一数学学案 第一章 第一课时 任意角 总序41一、教学目标：1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。二、教学重难点：1判断已知角所在象限；2终边相同的角的书写。3会写出某个区间上角的集合。三、教学过程：预习测评：（1）若角的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角的集合是 （2）若角与的终边在一条直线上，则与的关系是 （3）.把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。 （1）； （2）； （3） 典题互动：例1 （1）写出终边在y轴非负半轴上的角的集合； （2）写出终边在y轴非正半轴上的角的集合； （3）写出终边在x轴非负半轴上的角的集合； （4）写出终边在x轴非正半轴上的角的集合变式：（1）写出终边在轴上的角的集合。（2）写出终边在x轴上的角的集合。（3）所有轴线角的集合怎么表示？规律总结：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合。例3 （1）用集合的形式表示终边落在第一象限的角（2）写出终边落在所夹区域内的角的集合变题练习：（1）：第三象限角的集合N 第四象限角的集合 Q 例4 在0360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）120 （2）660 （3）-95012变式：写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）对应练习：若；变题练习：（1）已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。巩固练习：（1）1120角所在象限是 _ 。 （2）把1485转化为k360（0360, kZ）的形式是_ （3）下列命题：一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；1400的角是第四象限的角；-300的角与160的角的终边相同；相等的角的终边一定相同；终边相同的角一定相等.其中正确命题的序号是 _ （4）写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）课后作业：1、写出-720到720之间与-1068终边相同的角的集合_2、与1991终边相同的最小正角是_,绝对值最小的角是_3、若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为_4、在0到360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为 5、若是第四象限的角，则是 6、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）； （2）7、已知0360，且角的7倍角的终边和角终边重合，求.8、设集合, ,求,. 9（1）已知，角的终边与的终边关于对称，求角的集合。（2）设是第一象限角，试探究：（1）一定不是第几象限角？（2）是第几象限角？第一章 第二课时 弧度制 总序42一、教学目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（3）熟练地进行角度制与弧度制的换算；二、重点难点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.三、教学过程：预习测评：1、在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）610 （2）250 （3）93025 2、写出终边在直线=x上的角的集合 3、写出与终边相同的角的集合若，且，求4、已知与210的角终边相同，判断是第几象限角？判断2是第几象限角？概念学习：1、弧度制的定义： ；2、探究学习:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向 3、思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?4、根据探究中填空: 度例1、（1）把下列各角从弧度化为度:； 3.5练习： -2.8（2）把下列各角从度化为弧度:75 练习：-155 24515注意:角度制与弧度制的换算主要抓住角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 例2、已知集合Aa2kpa(2kp1)p，kZ，Ba-4a4，则AB为 5、弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6、扇形面积公式：扇形面积公式为： 例3、已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.练习：在单位圆中，等于周角的的圆心角所对的弧长是_，含这段弧的扇形的面积是_，含这段弧的弓形的面积是_。巩固练习：1、度化弧度：-2230_15_ 弧度化度：_；-_2、12弧度角是在第_象限角。 3、一扇形的圆心角为弧度，其弧长为，则这个扇形的面积是_。 4、已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数。课后练习 1、填写下表角度72510840165弧度10pp2、将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是 。 3、已知扇形AOB的圆心角为120，半径R6，则该扇形的面积为_4、若 的圆心角所对的弧长为 ，则此圆的半径为_ 5、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 。6、扇形 的面积为 ，它的周长为 ，求扇形圆心角的弧度数及弦长 7、钟表的时针和分针在3点到5点40分这段时间里各转过多少弧度8、已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，求这段弧所对的圆周角的度数。9、已知：扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.第一章 第三课时 任意角的三角函数（1） 总序43教学目标：使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义和三角函数值在各象限内的符号；会求已知终边上一点的角的三角函数值.教学重点：理解三角函数的定义，能确定三角函数值在各象限内的符号教学过程：课前预习：1.任意角的正弦、余弦、正切的定义设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离 比值叫做a的正弦， 记作： 比值叫做a的余弦， 记作： 比值叫做a的正切， 记作： 说明：（1）三角函数值与点的选择无关.（2）由于r2=x2+y2,r|x|,且r|y|， 故 |sina|1且 |cosa|12.三角函数的定义域三角函数定义域sinacosatana3.三角函数值在各个象限内的符号（1）图示符号规律：（2）注意点： 凡是终边相同的角的三角函数值相等；如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用；三角函数是以“比值”为函数值的函数；r0，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由角所在的象限确定.例1. 已知a的终边经过点P(2,-3)，分别求a的正弦、余弦、正切值.变式 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值.变式 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0) 求2sina+cosa的值.例2. 求下列各角的正弦、余弦、正切值 0 例3确定下列三角函数值的符号：（1）cos; (2)sin(-465) ; (3) tan例4.若sina0且tana0,试确定a为第几象限角.课后作业：1.课本15页练习1,2,3,4,5,62.课本22页习题1.2/1,23、已知costan0,那么角是第 三、四 象限角.4、在区间（0，2）内，使sinxcosx成立的x的取值范围是。5、角终边上有一点（a，a）则sin= 。6、若，则与之间的关系是 。7、填表：a030456090120135150180270360弧度0010-1010-10101无-1-0无08已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值第一章 第四课时 任意角的三角函数（2） 总序44教学目标：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域有更深的理解.教学重点：三角函数线的定义；利用三角函数线求三角函数的定义域.教学过程：一、问题情境1.复习三角函数的定义 “定义”从 的角度揭示了三角函数是一个 的函数.2.能否从几何的观点来揭示三角函数的定义？二、建构数学1.有向线段2. “单位圆”3.三角函数线的定义 设任意角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角a的终边与单位圆交于P，x轴正半轴与单位圆交于A点. 过P(x, y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边或其反向延长线交于T.此时有向线段MP的数量为sina , 即sinaMP ; 有向线段OM的数量为cosa,即cosa=OM; 有向线段AT的数量为tana,即tanaAT.（注意数量与长度的区别！不能理解成如sina|MP|）OxA1yT(1,y)atanaOxP（x,y)cosasinayMa有向线段MP,OM,AT分别称为正弦线、余弦线、正切线. 它们统称为三角函数线. 特别地，当角a的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角a的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，而正切线不存在。从三角函数线也可知道， |sina|1;|cosa|1.练习：在右边作出终边在不同象限时的三角函数线典题互动例1 在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 变式训练1：例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 例3.利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角a的范围。1 sina 2 tana 变式：在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin; (2)cos.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）学效自测1利用余弦线比较的大小；2若，则比较、的大小；3分别根据下列条件，写出角的取值范围：（1） ； （2） ； （3）课后作业：1、已知，则满足条件的角的取值范围是_ _.2、写出使的角的集合是_ _.3、设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出以下不等式：；。其中正确的是_ _。4、从小到大的顺序是_ _。5、利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且6、已知q是第三象限角且，问是第几象限角？7、求函数的定义域。8、已知，则q为第几象限角？第一章 第五课时 同角三角函数的基本关系（1） 总序45教学目标：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，OxA1yP(cosa,sina)M角a的终边并能正确运用公式进行三角函数式的求值、化简及三角恒等式的证明。教学重点：公式的灵活运用（求值、化简及证明）教学过程：问题：复述任意角的三角函数的定义.你能否找到sina、cosa、tana之间的关系？（1）称为平方关系 ; （2）称为商数关系 注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，可以用角得任意结构代换公式中的角a；2 上述公式都必须在定义域允许的范围内成立；3 根据上述公式，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值；4注意公式的变形应用： 1-sin2a=cos2a;1-cos2a=sin2a;sina=tanacosa ; cosa=例1.(1) 已知sina= ,且a是第二象限角，求cosa,tana的值.(2) 已知tana= ,求sina,cosa的值.(3) 已知tana=2,求下列各式的值： 3sin2a-cos2a练习：1.已知,且，则的值是 . 2. 已知,求下列各式的值：（1）; (2) ; (3) .例2:化简下列各式： tana,其中a是第二象限角。+(a为锐角)练习：已知是第三象限角，化简例3. 求证：=课后作业：1已知tana= - 则cosa= .2.已知=2sin2q,log2b=cos2q,则ab= .3.若角a终边落在直线x+y=0上，则+= .4.已知sinqcosq,则tanq+_.5.已知tana=，则=_.6.已知sin2q-2cosq=2,则sinqcosq+3 sinq +cosq= .7已知，则= 8若，则a的值 9若，且，则的取值范围为 .10.已知cosq+cos2q=1, 求sin2q+ sin6q+ sin8q的值.第一章 第六课时 同角三角函数的基本关系（2） 总序46教学目标：要求学生能正确运用公式进行三角函数式的求值、化简及三角恒等式的证明.教学重点：公式的灵活运用（求值、化简及证明）教学过程：预习测评：1. 已知，则 . 2. 化简：= 3. 若是方程的两根，求实数m的值.二、例题选讲：例1.已知sinacosa，求下列各三角函数式的值： sinacosa sin3acos3a sin4acos4a例2. 已知sinacosa,0ap,求tana.变：已知sinqcosq,(q为锐角),求sinqcosq的值.例3. 已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinq，cosq，q（0，2p），求 + 的值； m的值； 方程的两根及此时的q值.例4. 化简下列各式： tana(cosa-sina) + 例5 求证：变式练习：证明： 课后作业：1.若cos+2sin=-,则tan= . 2.设02,若sincos,则的取值范围是 . 3.已知，则= 4若，则 5.已知A为三角形的内角，若sinA+cosA=,则这个三角形的形状为 .6.化简：.7. 求证：.8. 设方程式，试求的值9若sincos，则tan的值是 10已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为sin和cos，(0,2)，求： (1)m的值；(2)方程的两根及此时的值第一章 第六课时 诱导公式（1） 总序47一、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。二、重点难点：1诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；2应用诱导公式二、三的推导。三、教学过程预习测评1. sin2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为 .2.sin210= .3、则 。4、= 。5、已知cos(+)=-,且是第四象限角，计算：(1)sin(2-);(2) (nZ).例1 求下列三角函数值：（1）； （2）变式1、已知求：的值例2 化简变式2、已知，求的值。例3、若函数，（1）求证：是偶函数；（2）求f ()的值学效自测1、tan600的值是 。2、如果sin=，（0，），那么cos()= 3、化简sin(2)+cos(2)tan(24)所得的结果是 。4、已知f()=;(1)化简f();(2)若是第三象限角，且cos，求f()的值.课后作业：1、已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边为射线，则的值为 。2、tan3000+tan2250的值为 。3、已知，则的值为 。4、若，其中是第二象限角，则；5、已知，则的值是_6、化简：7、求下式的值：2sin(1110) sin960+8、设f(x)=， 求f ()的值9、，若则 。第一章 第七课时 诱导公式（2） 总序48一、教学目标：1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。二教学重点与难点：重点：掌握角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路难点：角的正弦、余弦诱导公式的推导.一预习测评：1. 已知,则用可表示为 2. 设，则= 3. 已知、是关于的方程的两实根，且求的值. 例1.求证：，变题1.若，则等于例2 .已知，且，求的值。变题2.已知，求的值例3. 若，求证：其中。变题3. 若已知，问是否存在角使得等式：，同时成立？ 三学效自测：1. 如果，且是第四象限的角，那么2. 若，且为第二象限角，则的值为_3. 计算的值是_4.化简：课后作业：1若是三角形的一个内角，且，则=2.已知，且，则3. 若，则_4. 已知，且,则= 5.如果6.化解函数，并判断该函数的奇偶性： 7. 已知是方程的根，求的值8.已知为第三象限角，且f()(1)化简f()； (2)若cos()，求f()的值； (3)若1860，求f()的值 9. 已知 求的值10. 若，求值： 第一章 第十一课时 函数yAsin(x)的图象（1）总序49一、教学目标：1.使学生掌握用五点法作出函数y=Asin(x+)的图象 2.明确函数y=Asin(x+)的图象与函数y=sinx的图象之间的关系二、重点难点：1.函数y=Asin(x+)的简图的作法 2.函数y=Asin(x+)的图象变换三、 教学过程：1、将函数y=sin的图象先向左平移,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .2、f(x)=cos(x-)最小正周期为，其中0，则= .3、为了得到函数y=2sin，xR的图象，只需把函数y=2sinx，xR的图象上所有的点向 平移 单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.4、某三角函数图象的一部分如右图所示，则该三角函数为 .例1 已知函数y=2sin,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 ：变式1.已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；例2 如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式. 解：变式2.函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为 .学效自测1、为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位长度.2、已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间。课后作业：1. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是 。2 .满足sin(x-)的x的集合是 。3 要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象向左平移 个单位。4若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是 。5、关于函数，有下列命题：（1）其最小正周期是；（2）其图像可由的图像向左平移个单位得到；（3）其表达式可改写为；（4）在上为增函数。其中正确命题的序号是_。6、已知函数。（1）画出函数的简图； （2）指出它可由函数的图像经过哪些变换而得到，并画出图像变换流程图； （3）写出函数的单调减区间。7、作y2sin（）、ysin(2x)的图象，并说明与ysinx图象关系.8、画出y=图象的示意图9 试判断方程sinx=实数解的个数第一章 第十二课时 函数yAsin(x)的图象（2）总序50一、教学目标：通过本节课的学习，进一步增强对y=sin的图像与的图像之间的变换关系及对的图像的影响的理解，掌握参数的影响。二、重点、难点：理解对的图像的影响。图像按参数的变化规律。三、教学过程预习测评：1、把函数的图像向右平移个单位，所得到图像的函数解析式为_，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图像的函数解析式为_。2、已知函数的图像与直线的交点中，距离最近的两点间的距离为，那么此函数的最小正周期是_。3、函数的图像的一条对称轴的方程是_。4、曲线的一个对称中心是_。例1、设函数 0,0,0,0,0,0,）在一个周期内，当时，取最小值1；，取最大值3，求此函数的解析式。课后作业：1、设点P是函数的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴的距离的最小值是，则的最小正周期是_。2、函数的图像关于y轴对称，则的最小正角为_。3、函数的图像与x轴的各交点中，离原点最近的一点是_。5、已知函数，则方程的实根的个数为_。7、已知函数 （A0,0,）图像的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（6,0）。（1）求这个函数的表达式；（2）求该函数的频率、初相。8、已知函数，且。（1）求函数的解析式；（2）讨论函数的性质（定义域、值域、奇偶性、最小正周期、单调性）。 9、已知函数 （0，）是R上的偶函数，其图像关于点（，0）对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【教学后记】： 第37页 第38页