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-三角形综合例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AOOD，BOOC，EOOF求证：AEBDFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PFDC，PEBC求证：APEF例题3：ABC的高AD与BE相交于H，且BHAC求证：BCHABC例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，PAQ45求证：PQPBDQ例题5：过ABC的顶点A分别作两底角B和C的角平分线的垂线，ADBD于D，AECE于E求证：EDBC例题6：如图，P是等边三角形ABC部的一点，PA2，PB，PC4， 求ABC的边长.例题7：如图 l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l 在图 3 正方形 ABCD 画一个半等角点P，且满足。( 2 在图 4 四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保存画图痕迹不需写出画法 . ( 3 假设四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2如图 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。例题8：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC。1如图1，假设点O在BC上，求证：ABAC；2如图2，假设点O在ABC的部，求证：ABAC；3假设点O在ABC的外部，ABAC成立吗.请画图表示。练习试题：1如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于以下四个结论：；以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；设则；不能成为的中位线其中正确的结论是_把你认为正确结论的序号都填上2如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，、和分别表示DNC、DAC、DBC的面积。当AB CD时，有 (1)1如图2，假设图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立.请说明理由。2如图3，假设图1中AB与CD相交于点O时，、和有何种相等关系.试证明你的结论。3如图，设ABC和CDE都是正三角形，且EBD62o，则AEB的度数是【 】A124oB122oC120oD118o4如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN60.试探究MB、MN、之间的数量关系，并给出证明.5如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB_6如下图，在ABC中，ABAC，ADAE，则_71如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；2如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转OAB和OCD不能重叠，求AEB的大小.8两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结1请找出图2中的全等三角形，并给予证明说明：结论中不得含有未标识的字母；2证明：9如图，AD是ABC的边BC上的高，由以下条件中的*一个就能推出ABC是等腰三角形的是_。把所有正确答案的序号都填写在横线上BADACD BADCAD，ABBDACCD ABBDACCD参考答案例题1、证明：OAEODF，因为：二边及夹角对等角相等，得：AE=DF。同理证得：OBEOCF，OABOCD，得：EB=CF，AB=CD。因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。所以：AEBDFC例2 F于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于NP为正方形ABCD对角线BD上任一点PM=PF,PN=PE又AMPN为矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90PEFANPNAP = PFE又NPA=FPG(对顶角) NAP +NPA=90PFE+FPG=90PGF=180-(PFE+FPG)=90APEF例3 BHAC，BDHADC90，HBDCAD这个知道的吧BDHADCHDCD，BD=ADHDC与ABD是等腰直角三角形BCHABD=45例4：在CB的延长线上取点G，使BGDQ，连接AG正方形ABCDABAD，BADABGD90BGDQABGADQ SASAQAG，BAGDAQPAQ45BAP+DAQBAD-PAQ45PAGBAP+BAGBAP+DAQ45PAGPAQAPAPAPQAPG SASPQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6例7（1） 根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点因为在图形部，所以不能是AC的端点，又由于，所以不是AC的中点2画点B关于AC的对称点B，延长DB交AC于点P，点P为所求因为对称的两个图形完全重合3先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意AP1D=AP1B，DP1C=BP1CAP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明DP1P2BP1P2而，则P1DP2和P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以DPA=BPA，DPC=BPC即点P是四边形的半等角点解答：解：1所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给4分2画点B关于AC的对称点B，延长DB交AC于点P，点P为所求不写文字说明不扣分给3分说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分3连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，AP1D=AP1B，DP1C=BP1C，AP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上9分在DP1P2和BP1P2中，DP2P1=BP2P1，DP1P2=BP1P2，P1P2公共，DP1P2BP1P211分所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得DPA=BPA，DPC=BPC，所以点P是四边形的半等角点例8证明：1过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFCB=C，从而AB=AC。2过点O分别作OEAB，OFAC，EF分别是垂足，由题意知，OE=OF。在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFE。 OBE=OCF，B=OC知OBC=OCB，ABC=ACD，AB=AC。3解：不一定成立。注：当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，ABAC，如例如图练习13解：等边ABC、等边CDE AC=BC，CE=CD，BACABCACB=ECD=60ACE=ACB-BCE，BCD=ECD-BCEBCD=ACEACEBCD SASCBD=CAEEBD62CBDEBD-CBD62-CBECAE62-CBEBAEBAC-CAE60-62+CBE-2+CBEABE+BAE60-CBE-2+CBE58AEB180-ABE+BAE1224BM MN证明：延长AC至M1，使CM1BM，连结DM1 由条件知：ABCACB60，DBCDCB30ABDACD90 BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC，而 DMDM1 MDM1120MDBM1DC120 又MDN60M1DNMDN60MDNM1DN MNNM1NCCM1BM即BM MN51证明：APB=BPC=CPA，三角之和是360APB=BPC=120PAB+PBA=180-120=60 ABC=PBC+PBA=60PAB=PBCPABPBC【APB=BPC，PAB=PBC】2解：PABPBCPA/PB =PB/PC推出PB=PAPC=68=48PB=48=436设EDC=*, B=C=yAED=EDC+C=*+y又因为AD=AE, 所以ADE=AED=*+y则ADC=ADE+EDC=2*+y又因为ADC=B+BAD所以 2*+y=y+30解得*=15所以EDC的度数是15度71如图3，OCD和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，OD=OC=OB=OA，1=2=60，4=5又4+5=2=60，4=30同理6=30AEB=4+6，AEB=602如图4，OCD和ABO都是等边三角形，OD=OC，OB=OA，1=2=60又OD=OA，OD=OB，OA=OC，4=5，6=7DOB=1+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180，6+7+AOC=180，25=26，5=6又AEB=8-5，8=2+6，AEB=2+5-5=2，AEB=608可以找出BAECAD，条件是AB=AC，DA=EA，BAE=DAC=90+CAE由可得出DCA=ABC=45，则BCD=90，所以DCBE解答：解：ABC，DAE是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90BAE=DAC=90+CAE，在BAE和DAC中BAECADSAS由得BAECADDCA=B=45BCA=45，BCD=BCA+DCA=90，DCBE9. z.
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