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课时训练20直角三角形与勾股定理限时:40分钟夯实基础1.下列说法中,正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中,C=90,所以BC2+AC2=AB2D.在RtABC中,B=90,所以BC2+AC2=AB22.2019包头下列命题:若x2+kx+14是完全平方式,则k=1;若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一条直线上,则m=5;等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.2018黄冈如图K20-1,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()图K20-1A.2B.3C.4D.234.如图K20-2,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么(a+b)2的值为()图K20-2A.5B.19C.25D.1695.2017常德命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为.6.2017宿迁如图20-3,在ABC中,ACB=90,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是.图20-37.2019北京如图K20-4所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA=(点A,B,P是网格线交点).图K20-48.2017庆阳如图K20-5,一张三角形纸片ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于cm.图K20-59.2019巴中如图K20-6,等腰直角三角板如图所示放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图K20-610.2019呼和浩特如图K20-7,在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系;(2)求证:ABC的内角和等于180;(3)若aa-b+c=12(a+b+c)c,求证:ABC是直角三角形.图K20-7能力提升11.2016哈尔滨如图K20-8,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()图K20-8A.60海里B.45海里C.203海里D.303海里12.2019宁波勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图K20-9,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图K20-9A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和13.2019南京无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-10所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有cm.图K20-1014.2018玉林如图K20-11,在四边形ABCD中,B=D=90,A=60,AB=4,则AD的取值范围是.图K20-1115.2018柳州如图K20-12,在RtABC中,BCA=90,DCA=30,AC=3,AD=73,则BC的长为.图K20-1216.2019南宁如图K20-13,AB与CD相交于点O,AB=CD,AOC=60,ACD+ABD=210,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为.图K20-1317.如图K20-14,在RtABC中,AB=AC,BAC=90,O为BC的中点.(1)写出点O到ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系(不要求证明);(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断OMN的形状,并证明你的结论.图K20-14【参考答案】1.C2.B解析若x2+kx+14是完全平方式,则x2+kx+14=x122,k=1,故为假命题;若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一条直线上,即P(1,m)在直线AB:y=x+4上,m=1+4=5,故为真命题;等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,故为假命题;多边形的内角和为(n-2)180,外角和为360,一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则(n-2)180=2360,解得n=6.这个多边形是六边形,故为真命题.综上,为真命题.故选B.3.C解析在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以CE=12AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在RtCDE中,CD=CE2-DE2=4,故选C.4.C5.如果m是有理数,那么它是整数6.27.45解析本题考查三角形的外角,可延长AP交正方形网格于点Q,连接BQ,如图所示,经计算PQ=BQ=5,PB=10,PQ2+BQ2=PB2,即PBQ为等腰直角三角形,BPQ=45,PAB+PBA=BPQ=45,故答案为45.8.154解析如图,在RtABC中,因为AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理,得AB=10 cm.设CE=x cm,由折叠的性质,得BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x)cm.在RtBCE中,根据勾股定理,得BC2+CE2=BE2,即62+x2=(8-x)2.解得x=74.8-x=254.DE=(254)2-52=154.9.证明:(1)ABC是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,ACE+BCD=90.AEEC,EAC+ACE=90,BCD=CAE.BDCD,AEC=CDB=90,AECCDB(AAS),EC=BD.(2)AECCDB,BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,S梯形AEDB=12(AE+BD)ED=12(a+b)(a+b),S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab,12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.10.解:(1)CA+B.(2)证明:过点B作直线DEAC,A=ABD,C=CBE.又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180.ABC的内角和等于180.(3)证明:原式可变形为aa+c-b=a+b+c2c,(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形.11.D12.C解析设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影=c2-a2-b2+a(a+b-c),由勾股定理可知,c2=a2+b2,S阴影=c2-a2-b2+S重叠=S重叠,即S阴影=S重叠,故选C.13.5解析由题意可得:杯子内的筷子长度至多为:122+92=15,露在杯子外面的筷子长度至少为:20-15=5(cm).14.2AD8解析如图,延长BC交AD的延长线于E,作BFAD于F.在RtABE中,E=30,AB=4,AE=2AB=8,在RtABF中,AF=12AB=2,AD的取值范围为2AD8.15.2或5解析过点A作AEBC,AE与CD的延长线交于点E,则CAE=90.ECA=30,AC=3,AE=1.设BC=a,由AEBC可知BCDAED,BCAE=BDAD,即a1=BD73,BD=73a.在RtABC中,由勾股定理得:AB2=BC2+AC2,即73a+732=a2+(3)2,解得:a=2或a=5.故BC的长为2或5.16.AB2=AC2+BD2解析过点A作AECD,截取AE=CD,连接BE,DE,如图所示:则四边形ACDE是平行四边形,DE=AC,ACD=AED.AOC=60,AB=CD,EAB=60,CD=AE=AB,ABE为等边三角形,BE=AB.ACD+ABD=210,AED+ABD=210,BDE=360-(AED+ABD)-EAB=360-210-60=90,BE2=DE2+BD2,AB2=AC2+BD2.故答案为:AB2=AC2+BD2.17.解:(1)点O到ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系是OA=OB=OC.(2)OMN的形状是等腰直角三角形.证明:在ABC中,AB=AC,BAC=90,O为BC的中点,B=C=45,OA=OB=OC,AO平分BAC,AOBC.AOB=90,BAO=CAO=45,CAO=B.在BOM和AON中,BM=AN,B=CAO,OB=OA,BOMAON(SAS),OM=ON,AON=BOM.AOB=BOM+AOM=90,AON+AOM=90,即MON=90.OMN是等腰直角三角形.
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