实数部分技巧题小结(内含详细解析)

实数部分技巧题小结一填空题（共24小题）1一个正数x的平方根为2a3和5a，则x=2已知一个正数的两个平方根分别为2m6和3+m，则（m）2016的值为3比较大小：344估计与0.5的大小关系是：0.5（填“”、“=”、“”）5实数的整数部分是6已知a，b为两个连续整数，且ab，则a+b=716的平方根是8（4）2的算术平方根是9的算术平方根是，=10如图，ABO的边OB在数轴上，ABOB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么数轴上点C所表示的数是11我们规定：相等的实数看作同一个实数有下列六种说法：数轴上有无数多个表示无理数的点；带根号的数不一定是无理数；每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；数轴上每一个点都表示唯一一个实数；没有最大的负实数，但有最小的正实数；没有最大的正整数，但有最小的正整数其中说法错误的有（注：填写出所有错误说法的编号）12已知|a|=3，=2，且ab0，则ab=13已知a2=25，=7，且|a+b|=a+b，则ab=14若|x|=4，|y|=5，则|x+y|的算术平方根等于15已知=4.1，则=16已知2a1的平方根是3，3a+b1的平方根为4，则a+2b的平方根是17已知44.89，14.19，则18已知a6m=8，则a2m的算术平方根为19数轴上点A、点B分别表示实数，2，则A、B两点间的距离为20如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值21平方根等于本身的数有；立方根等于本身的数有；算术平方根等于本身的数有22已知+=0，则a+b=23如果+=0，那么xy的值为24运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律（1）=规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向移动位（2）=规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向移动位二解答题（共6小题）25（1）计算：|+2（2）求x的值：25x2=3626如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向C点停止，已知点A表示，点C表示2，设点B所表示的数为m（1）求m的值；（2）求BC的长27已知a、b两个实数在数轴上的对应点如图所示：请你用“”或“”完成填空：（1）ab； （2）|a|b|； （3）a+b0；（4）ba0； （5）a+bab； （6）abb28求下列各式的值（1）+（2）|1|+|2|29（1）若一个正数的平方根是2a1和a+2，求a的值（2）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x绝对值等于2，求2mn+x的值30回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x=；（3）当代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应x的取值X围是实数部分技巧题小结参考答案与试题解析一填空题（共24小题）1一个正数x的平方根为2a3和5a，则x=49【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（2a3）+（5a）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值【解答】解：一个正数x的平方根为2a3和5a，（2a3）+（5a）=0，解得：a=22a3=7，5a=7，x=（7）2=49故答案为：49【点评】此题考查了正数有两个平方根，且此两根互为相反数的知识注意方程思想的应用2已知一个正数的两个平方根分别为2m6和3+m，则（m）2016的值为1【分析】根据题意得出方程2m6+3+m=0，求出m，最后，再代入计算即可【解答】解：一个正数的两个平方根分别为2m6和3+m，2m6+3+m=0，解得：m=1，（m）2016=（1）2016=1故答案为：1【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键3比较大小：34【分析】首先分别求出3、4的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出3、4的平方的大小关系，即可判断出3、4的大小关系【解答】解：（1）=45，（4）2=48，4548，34故答案为：【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小（2）解答此题的关键是比较出3、4这两个数的平方的大小关系4估计与0.5的大小关系是：0.5（填“”、“=”、“”）【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小【解答】解：0.5=，20，0答：0.5【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等5实数的整数部分是2【分析】因为23，由此可以得到实数的整数部分【解答】解：23，实数的整数部分是2故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小6已知a，b为两个连续整数，且ab，则a+b=7【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得a、b的值，然后利用加法法则计算即可【解答】解：91116，34a=3，b=4a+b=3+4=7故答案为：7【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键716的平方根是4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题【解答】解：（4）2=16，16的平方根是4故答案为：4【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根8（4）2的算术平方根是4【分析】先求得（4）2的值，然后再求得16的算术平方根即可【解答】解：（4）2=1616的算术平方根是4故答案为：4【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，求得（4）2的值是解题的关键9的算术平方根是3，=4【分析】依据算术平方根、立方根的性质求解即可【解答】解：=9，9的算术平方根是3（4）3=64，=4故答案为：34【点评】本题主要考查的是立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键10如图，ABO的边OB在数轴上，ABOB，且OB=2，AB=1，OA=OC，那么数轴上点C所表示的数是【分析】首先根据勾股定理得：OA=，因为OC=OA，则点C所表示的数是到原点的距离为的数，即，再根据数轴上的位置即可求解【解答】解析：在RtAOB中，根据勾股定理可得OA=，OA=OC，点C在数轴的负半轴上，点C所表示的数是故答案为：【点评】本题考查了实数与数轴、勾股定理解答此题要熟练掌握勾股定理11我们规定：相等的实数看作同一个实数有下列六种说法：数轴上有无数多个表示无理数的点；带根号的数不一定是无理数；每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；数轴上每一个点都表示唯一一个实数；没有最大的负实数，但有最小的正实数；没有最大的正整数，但有最小的正整数其中说法错误的有（注：填写出所有错误说法的编号）【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案【解答】解：数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；带根号的数不一定是无理数是正确的，如=2；每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确故答案为：【点评】此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键12已知|a|=3，=2，且ab0，则ab=7【分析】先求得a、b的值，然后依据ab0，确定出a、b的值，然后代入计算即可【解答】解：|a|=3，=2，a=3，b=4又ab0，a=3，b=4，ab=34=7故答案为：7【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义、绝对值的性质、有理数的乘法，熟练掌握相关法则是解题的关键13已知a2=25，=7，且|a+b|=a+b，则ab=2或12【分析】先求得a、b的值，然后再依据绝对值的性质分类计算即可【解答】解：a2=25，=7，a=5，b=7又|a+b|=a+b，a=5，b=7或a=5，b=7ab=57=2或ab=57=12故答案为：2或12【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，求得a、b的值是解题的关键14若|x|=4，|y|=5，则|x+y|的算术平方根等于1或3【分析】根据绝对值，可得x，y的值，然后利用分类讨论的数学思想可以求得|x+y|的算术平方根【解答】解：|x|=4，|y|=5，x=4，y=5，当x=4，y=5时，当x=4，y=5时，当x=4，y=5时，当x=4，y=5时，x+y|的算术平方根等于1或3故答案为：1或3【点评】本题主要考查的是算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键15已知=4.1，则=0.41【分析】把进行变形，根据二次根式的性质计算即可【解答】解：=4.10.1=0.41，故答案为：0.41【点评】本题考查的是算术平方根的概念和性质，注意二次根式的性质在解答本题时的应用16已知2a1的平方根是3，3a+b1的平方根为4，则a+2b的平方根是3【分析】根据平方与开方互为逆运算，可得被开方数，根据被开方数，可得a，b的值，根据开平方，可得平方根【解答】解：2a1=（3）2，3a+b1=（4）2，a=5，b=2，a+2b=5+4=9，故答案为：3【点评】本题考查了平方根，先根据平方根求出被开方数，再根据被开方数求出平方根17已知44.89，14.19，则4.489【分析】先将2016写成20.16100，再运用二次根式的性质进行化简计算【解答】解：44.89，4.489故答案为：4.489【点评】本题主要考查了算术平方根，解决问题的关键是根据二次根式的性质进行化简解题时需要运用公式：=（a0，b0）18已知a6m=8，则a2m的算术平方根为【分析】先求得a2m的值，然后再依据算术平方根的性质求解即可【解答】解：a6m=（a2m）3=8，a2m=2a2m的算术平方根为故答案为：【点评】本题主要考查的是算术平方根、立方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键19数轴上点A、点B分别表示实数，2，则A、B两点间的距离为2【分析】根据数轴上两点间的距离是让较大的数减去较小的数进行计算即可【解答】解：（2）=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题关键是求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数20如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值4【分析】依据被开放数越大，对应的算术平方根越大估算出与的大小，从而求得a、b的值，然后再进行计算即可【解答】解：459，23a=2363749，67b=6a+b=2+6=4故答案为：4【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键21平方根等于本身的数有0；立方根等于本身的数有1、1、0；算术平方根等于本身的数有0和1【分析】依据平方根、立方根、算术平方根的定义求解即可【解答】解：平方根等于本身的数是0；立方根等于本身的数有1、1、0；算术平方根等于本身的数1和0故答案为：0；1、1、0；1和0【点评】本题主要考查的是平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键22已知+=0，则a+b=【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可【解答】解：由题意得，2a+1=0，b1=0，解得，a=，b=1，则a+b=，故答案为：【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为023如果+=0，那么xy的值为6【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可【解答】解：由题意得，x3=0，y+2=0，解得，x=3，y=2，则xy=6，故答案为：6【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键24运用计算器求下列各式的值，从中你发现什么规律（1）=13=1.3=0.13规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向左（右）移动一位（2）=13=1.3=0.13规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向左（右）移动一位【分析】首先利用计算器进行正确的计算，然后根据计算的结果发现小数点的移动规律即可【解答】解：（1）=13；=1.3；=0.13；规律：把一个数的小数点向左（右）移动二位，这个数算术平方根的小数点向左（右）移动一位（2）=13；=1.3；=0.13；规律：把一个数的小数点向左（右）移动三位，这个数立方根的小数点向左（右）移动一位故答案为：13，1.3，0.13，左（右），一；13，1.3，0.13，左（右），一【点评】本题考查了计算器的正确使用，解题的关键是熟悉计算器，并正确的计算，当计算出正确的结果后，发现规律不再是难点二解答题（共6小题）25（1）计算：|+2（2）求x的值：25x2=36【分析】（1）首先求出|的大小，然后再用求出的绝对值的大小加上2，求出算式|+2的值是多少即可（2）首先求出x2的大小，然后根据平方根的求法，求出x的值是多少即可【解答】解：（1）|+2=（2）25x2=36，x2=，x=【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数X围内仍然适用（2）此题还考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根26如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向C点停止，已知点A表示，点C表示2，设点B所表示的数为m（1）求m的值；（2）求BC的长【分析】（1）根据数轴两点间的距离公式得到m2=，然后解方程即可得到m的值；（2）根据两点间的距离，即可解答【解答】解：（1）m2=，m=2（2）BC=|2（2）|=|22+|=【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数27已知a、b两个实数在数轴上的对应点如图所示：请你用“”或“”完成填空：（1）ab； （2）|a|b|； （3）a+b0；（4）ba0； （5）a+bab； （6）abb【分析】根据数轴得出b0，a0，|a|b|，根据有理数的大小比较法则比较即可【解答】解：由数轴可知：b0，a0，|a|b|，ab，|a|b|，a+b0，ba0，a+bab，abb，故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【点评】本题考查了有理数的大小比较和实数与数轴的关系的应用，能根据数轴得出b0，a0，|a|b|是解此题的关键，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目28求下列各式的值（1）+（2）|1|+|2|【分析】（1）利用立方根的定义和平方根的性质进行计算即可；（2）利用绝对值的定义先把绝对值号去掉，再进行加减运算即可【解答】解：（1）+=2+8=6；（2）|1|+|2|=1+（2）=1+2+=23【点评】本题主要考查实数的运算，注意去掉绝对值号时需要判断绝对值号里面数的正负29（1）若一个正数的平方根是2a1和a+2，求a的值（2）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x绝对值等于2，求2mn+x的值【分析】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此列方程求a；（2）a，b互为相反数，则a+b=0；m，n互为倒数，则mn=1；x绝对值等于2，则x=2，代入所求代数式即可【解答】解：（1）2a1和a+2为一个正数的平方根，（2a1）+（a+2）=0，解得a=1；（2）依题意，得a+b=0，mn=1，x=2，当x=2时，2mn+x=2+02=4，当x=2时，2mn+x=2+0+2=0，故：2mn+x=2+02=4或0【点评】本题考查了数的开方的意义，实数的有关概念及运算30回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和3的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是|x（1）|，如果|AB|=2，那么x=1或3；（3）当代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应x的取值X围是1x2【分析】（1）规律为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值；（2）注意绝对值等于2的数有2或2两个；（3）|x+1|+|x2|的最小值，意思是x到1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在1和2之间的线段上【解答】解：（1）|25|=|3|=3；|2（5）|=|2+5|=3；|1（3）|=|4|=4；（2）|x（1）|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=2，所以x=1或x=3；（3）数形结合，若|x+1|+|x2|取最小值，那么表示x的点在1和2之间的线段上，所以1x2【点评】本题考查的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值绝对值是正数的数有2个17 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