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整数中的推理问题（A卷） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.在下边的表格的每个空格内,填入一个整数,使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数,那么第二行中的五个数字依次是_.01234 2.有30个2分硬币和8个5分硬币,这些硬币值的总和正好是1元.用这些硬币不能组成1元之内的币值是_.3.a是一个自然数,已知a与a+1的各位数字之和都能被7整除,那么这样的自然数a最小是_.4.有一个电话号码是六位数,其中左边三位数字相同,右边三个数字是三个连续的自然数,六个数字之和恰好等于末尾的两位数.这个电话号码是_.5.小明家住在一条小胡同里,各家号码从1号连着排下去,全胡同所有家的号码之和再减去小明家号码后是60.小明家是_号.6.女子足球赛,有甲、乙、丙、丁四个队参加,每两队都要赛一场,结果甲队胜丁队,并且甲、乙、丙三队胜的场数相同.则丁队胜了_场.7.某校五年级五个班各派一队参加小足球比赛,每两队都要比赛一场,到现在为止,一班赛了4场,二班赛了3场,三班赛了2场,四班赛了1场,那么五班赛了_场.8.某学校气象小组在一段时间里观察天气,共写出四个数据:(1)上午和下午共下雨7次;(2)有5天下午未下雨;(3)有6天上午未下雨;(4)下午下雨的那几天,上午都未下雨.这段时间共有_天,其中全天未下雨的有_天.9.某年的10月里有5个星期六,4个星期日,问:这年的10月1日是星期_.10.某人买了相同的钢笔和相同的圆珠笔各若干支,买钢笔使用了10元5角6分,如果一支钢笔的价钱比一支圆珠笔的价钱多1元,而买的钢笔比圆珠笔多6支,问这个人买了_支钢笔.二、解答题11.某次考试满分是100分.A,B,C,D,E5人参加了这次考试.A说:“我得了94分.”B说:“我在5人中得分最高.”C说:“我的得分是A和D的平均分.”D说:“我的得分恰好是5人的平均分.”E说:“我比C多得2分.并且5人中居第二.”问:这5个人各得几分?12.某商品的编号是一个三位数,现有5个三位数 874,765,123,364,925.其中每一个数与商品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字.求商品编号的位数?13.有100根火柴,甲、乙两人轮流取火柴游戏,规定每人每次可取10根以内(包括10根)的任何根火柴,以谁取完火柴使对手已无火柴可取者为胜.如果开始由甲先取.问谁一定能取胜?他怎样取才能取走?14.若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子里没有装棋子,然后他外出了.小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排了一下,小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子,问共有多少个盒子?答 案一、填空题1. 第二行五个数字依次应填:2,1,2,0,0先考虑表格中最右边4下面的填数.如果4下面填1,这表明第二行中必有1个4.由于4填在某数的下面,该数在第二行中就必须出现4次,所以4必须填在1的下面.这样0,2,3下面也都是1,但第二行中并没有出现这些数,所以不能满足要求.同样可推知,在4下面不能填大于1的数,所以4下面应该填0.再看3下面的填数,如果在3下面填1,那么第二行中有一个3,而且1下面已不能填0,所以第二行中最多有两个0,从而3不能填在0的下面.如果3填在1下面,则0和2下面都必须填1.但2下面填1,说明第二行中有一个2,矛盾.如果3填在2下面,那么第二行中必须有三个2,这是不可能的.综上所述,3下面不能填1,当然也不能填大于1的数,所以也必须填0.如果第二行中再有一格填0,那么就出现三个0.这样,在第一行的0下面空格中要填3,从而第一行中3下面就不能是0.这与上面矛盾.同样可推知第二行不能有四个0,所以第二行中只能有两个0,就是说在第一行的0下面填2.再看第一行中剩下的1与2下面的填数.若在1下面填2,第2行必有两个1,这不可能,所以1下面必须填1.最后我们看到第一行的2下面必须填2.综上所述,第二行五个数字依次应填2,1,2,0,0.2. 用这些硬币不能组成1元之内的币值是:1分、3分、97分和99分四种.因为硬币有2分、5分两种,显然不能组成1分和3分币值.同时根据硬币的总额为1元=100分的条件可知,也不可能组成100-1=99(分)和100-3=97(分)币值.因此,用这些硬币不能组成1元之内的币值是1分、3分、97分和99分.3. 最小a是69999.根据题意, a+1必须在a的基础上进位,不然a和a+1的各位数字之和就成为两个相邻的自然数,显然不可能同时被7整除,这样a的个位数字只能是9,而a+1的个位数字必然是0.首先, a+1不会是两位数,因为个位数字是0,各位数字之和能被7整除的两位数只有70;而69的各位数字之和不能被7整除.其次,考虑a+1是三位数,此处B只能是0,不然a的各位数字之和一定是A+(B-1)+9=A+B+8,而a+1的各位数字之和是A+B,这两个数字和不会同时被7整除.当B是0时,A只能是7,即a+1等于700,但a等于699,各位数字之和不能被7整除,说明a+1不能是三位数.采用类似的办法可知, a+1不会是四位数.说明a+1至少是五位数,而且末尾四位也必须都是0,即a+1至少是五位数,而且末尾四位也必须都是0,即a+1=70000,此时a=69999.均满足要求,说明符合条件的最小a是69999.4. 电话号码是555321设电话号码为,其中b、c、d为连续自然数,则 因为b、c、d为连续自然数,所以d= c-1,或d= c+1.若,则,从而 显然c只能为2,此时a=5, b=3, d=1.所求六位数为555321.若,从而 只有c=1,此时b=0, d=2,因为0不是自然数,矛盾,这说明是不能成立的.所以,所求电话号码是555321.5. 小明家是6号.依题意知,全胡同所有家的号码之和一定大于60.据此估算如下:10家门牌号码之和是55,不合题意;11家门牌号码之和是66;12家门牌号吗之和是78,不合题意.由此可见,胡同里应该是11家,小明家的号码应是6号.6. 丁队胜了0场.4个队每两队都要赛一场,每队要赛3场,一共赛了(432=)6场.已知甲、乙、丙三队胜的场数相同.假设他们各胜1场,则丁队要胜3场.这不可能.因为丁队已知败给甲队.所以甲、乙、丙三队各胜2场.故知丁队胜了0场.7. 五班赛了2场.一班赛了4场,这就是说,一班与二、三、四、五班各赛了1场.因此,二班、三班、四班除去与一班比赛之外分别还赛了2场、1场、0场.于是二班只能是与三班、五班各赛1场.所以,五班到现在为止共赛了2场.（1）（2）（3）（4）（5）本题用图形来表示更直观.如右图,一班、二班、三班、四班、五班分别用一个点表示,两个点之间的连线表示他们之间进行过比赛.8. 共有9天,全天末下雨的有2天. 由“(4)下午下雨的那几天,上午都未下雨”,可推出:在观察的这段时间内,没有全天下雨的,但有全天未下雨的.上午和下午各是半天.未下雨的几个全天的上午和下午,都包含在未下雨的5个下午和6个上午之中.因此共观察的半天有: 7+5+6=18(个)共观察的天数为:182=9(天)全天未下雨的有:9-7=2(天)用图示法也可以解答此题,以代表下雨的半天,而以代表未下雨的半天.如下图所示,即可推出结果. 9. 10月1日是星期四.10月有31天,而31=47+3,所以,这个月有4个星期零3天,要判断10月1日是星期几,可以先推算这个月的第一个星期六是几日:如果10月1日是星期六,那么10月2日、9日、16日、23日30日都是星期日,出现了5个星期日,与题设的“10月里有4个星期日”不符,所以10月1日不是星期六,用同样的方法,可以推算出10月2日也不是星期六.如果10月3日是星期六,那么10月4日、11日、18日、25日是星期日,恰好是4个星期日,符合题目条件.倒推回去,可以知道10月1日是星期四.这里的关键是要判定10月的第一个星期六是10月几日,由此就容易算出10月1日星期几,也可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日,读者不妨一试.10. 买了8支钢笔. 由“买的钢笔比圆珠笔多6支”这个条件,就能判断买的钢笔不少于7支.由“一支钢笔的价钱比一支圆珠笔的价钱多一元”能判断出一支钢笔的价钱多于1元.由“买钢笔用了10元5角6分”能判断买的钢笔支数不能多于10支,而且只能是7、8、9、10这四个数,而这四个数中,只有8才能整除1056分,所以这个人买了8支钢笔.二、解答题11. A,B,C,D,E 5人得分依次是94,98,95,96,97. 题目已告诉我们,B得分最高,E其次.现在要分析,A,B,D 3人的得分谁多谁少.C是A和D的平均分,因此C是A与D之间的数.为了说明清楚起见,分三种情况来说: (1)A和D相等,C是它们的平均分,也与A、D相等,B和E都比它们得分多.D就不可能是5个人的平均分,与题目的条件不符合,因此这一情况不成立. (2)A比D得分多,C是它们的平均分,当然也比D得分多,这样一来,D是得分最少的,就不可能是5人平均分,因此这一情况也不成立. (3)D比A得分多.C是A和D的平均分,得分就比D少,比A多.也就是说A是得分最少的.A得94分,其他人得分就在95分至100分之间. A的得分94是偶数,与D的平均分C的得分是整数,D的得分也一定是偶数,D只能是96或98分.如果D是98分,B和E中只能是99和100,而C的得分是(94+98)2=96.5个人的平均分将是 (100+99+98+96+94)5=97.4, 并不等于D的得分98,与题目条件不符合.因此D的得分是96分,C的得分是(96+94)2=95,E的得分是95+2=97.为了使5人平均分是D的得分96,B应得98分. B,E,D,C,A 5人得分依次是98,97,96,95,94. 分情况讨论,这是数学推理时常用的方法.这道例题对D的得分98和96进行讨论,排除与题目条件不符合的情况,缩小了考虑问题的范围,逐渐求出正确答案.12. 商品编号是724. 每一个数与商品的编号,恰好在同一位有一个相同的数字,5个数就出现5次相同,列出这5个数 874 765 123 364 925 这5次相同要分布在百位、十位、个位上.百位上5个数各不同,只能与商品编号的百位数出现一次相同.十位上有两个6和两个2;个位上有两个4和两个5,因此,十位和个位只能各出现两次相同. 分两种情况: (1)商品编号的十位数字是6,这样个位数字就不能是5和4,个位上就不能出现两次相同. (2)商品编号的十位数字是2.这样,个位数字就不能是3和5.商品编号的个位只能是4,在个位上恰好出现两次相同. 当确定后两位是24后,5个数中后两位与24都不相同的只有第二个数765.商品编号的百位数只能是7.商品编号是724.13. 先取者甲一定能胜. 因为100=911+1,甲开始取1根,余下99根是11的倍数, 这时不论乙取多少,甲再取的火柴根数与乙刚才取的数目凑成11(这时余下88根,仍是11的倍数). 依此法进行,直至最后余下11根火柴时,轮到乙取,这时不论乙取几根火柴时,余下火柴甲都可一次取完.14. 共有11个盒子. 原有一个空盒子,现在装进了棋子.而小明没有发现有人动过,可见现在又有一个空盒子.这说明原来一定有一个盒子内装的是一个棋子.原来装有一个棋子的盒子现在成了空盒子,可见现在另有一个盒子装有一个棋子.而这另一个盒子原来是装有两个棋子. 同样的推理分析,原来一定有一个盒子装三个棋子,装四个棋子等等. 总之,原来各盒中棋子数是0,1,2,3这一系列数. 由于,0+1+2+9=45 0+1+2+10=55 0+1+2+11=65 可见原来一定是11个盒子,各装着0个,1个,2个,10个棋子. 这个题的解题依据是小光移动棋子前后情况一样,突破口是“空盒”,棋子的总量控制了盒的数量,由此推理,便一环扣一环,将盒子装棋子的情况逐渐推开,同时也就知了盒子数.
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