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第二部分专题六 类型二1(2018创新同盟联考)已知抛物线ya(xm)22m(m0)经过原点，其顶点为P，与x轴的另一交点为A.(1)P点坐标为m， 2m)；A点坐标为(2m， 0)；(用含m的代数式表示)(2)求出a，m之间的关系式；(3)当m0时，若抛物线ya(xm)22m向下平移m个单位后经过(1,1)，求此抛物线的表达式；(4)若抛物线ya(xm)22m向下平移|m|个单位后与x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果解：(1)P(m,2m)，A(2m,0)(2)将x0，y0代入ya(xm)22m得 am22m0，m0, am20，am2，a.(3)当m0时， 抛物线ya(xm)22m向下平移m个单位后：ya(xm)2m，由于经过(1,1)，a(1m)2m1，am22amam1，又am2，所以am3代入am2，解得a11, m12；a22, m21.此时抛物线的关系式为y(x2)24或y2(x1)21.(4)与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍说明：当m0时，则a0，原抛物线ya(xm)22m经过原点，故可化为yax22amx，向下平移m个单位后为yax22amxm，(am2，a)平移前：d2m，平移后：d|x1x2|m，当m0时，则a0，原抛物线ya(xm)22m经过原点，故可化为yax22amx，向下平移m个单位后为yax22amxm，(am2，a)平移前：d2m，平移后：d|x1x2|m，与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍2如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2bxc(a0)的图象经过A(0,4)，B(2,0), C(2,0)三点(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上另有一点D(4,0)，将二次函数图象沿着DA方向平移，使图象再次经过点B；求平移后图象的顶点E的坐标；求图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积解：(1)根据抛物线经过三点的坐标特征，可设其解析式为ya(x2)(x2)(a0)，再代入点A(0,4)，解得a1，故二次函数的解析式为y(x2)(x2)x24(a0)(2)经过点A(0,4)，D(4,0)两点的直线DA，其解析式为yx4.抛物线沿着DA方向平移后，设向右平移了m个单位，则顶点E为(m，m4)，此时抛物线的解析式可设为y(xm)2(m4)，将点B(2,0)代入，得0(2m)2m4，解得m10(舍去)，m25；顶点E为(5,9)，如答图1，根据抛物线的轴对称性与平移的性质，A，B之间的曲线部分所扫过的面积显然等于平行四边形ABFE的面积，也等于2个ABE的面积解法一：如答图2，过点E作EKy轴于点K，SABES梯形OBEKSAOBSAKE(25)9425515，图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2SABE30.解法二：如答图2，过点E作EKy轴于点K，过点B作BMx轴交KM于点M，过点A作ANy轴交BM于点N(将ABE的面积水平与铅直分割一种面积的常规分割法则)直线BM的解析式是x2，与DA直线yx4相交得到点G为(2,6)，所以线段BG6，SABESAGBSEGB626315，所以图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2SABE30.3如图，抛物线C1：y1ax22ax(a0)与x轴交于点A，顶点为点P.(1)直接写出抛物线C1的对称轴是直线x1，用含a的代数式表示顶点P的坐标 (1，a)；(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180得到抛物线C2(其中m0)，抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q.当m1时，求线段AB的长；在的条件下，是否存在ABP为等腰三角形，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由；当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a3时矩形APBQ的面积解：(1)抛物线C1：y1ax22axa(x1)2a，对称轴是直线x1，顶点P坐标为(1，a)(2)由旋转知，MAMB，当y10时，x12，x20，A(2,0)，AO2.M(1,0)，AM3，AB2MA236；存在A(2,0)，AB6，B(4,0)A(2,0)，P(1，a)，AP，BP.当ABAP时，1a262，解得a(负值已舍去)；当ABBP时，25a262，解得a(负值已舍去)；当APBP时，1a225a2，不成立，即当a取或时，ABP为等腰三角形如答图，过点P作PHx轴于H，点A与点B，点P与点Q均关于M点成中心对称，故四边形APBQ为平行四边形，当APB90时，四边形APBQ为矩形，此时APHPBH，即，a22m3，ma2.当a3时，m323，S(2m4)a(234)330.4(2018赣南模拟)如图，抛物线C1：yx2bxc经过原点，与x轴的另一个交点为(2,0)，将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.(1)求抛物线C1的解析式以及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当顶点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使得PAC为等边三角形，求m的值解：(1) 抛物线C1经过原点(0,0)及(2,0)，解得 抛物线C1的解析式为yx22x(x1)21.其顶点坐标为(1，1)(2)设抛物线C2的解析式为y(x1m)21，则其对称轴DE为xm1(m0)，化简y(x1m)21x22(m1)x(m1)21，设抛物线C2与y轴交于点C(0，c)，则c(1m)21m22m.过点C作CHDE于点H，如答图1，ACD为等腰直角三角形，CDAD，ADC90，CDHADE90，HCDADE.DEA90，CHDDEA，AEHD1，CHDEm1，EHHDDE1m1m2.由 OCEH得 m22mm2，解得 m11，m22(不合题意，舍去)，抛物线C2的解析式为y(x2)21. 图1 图2(3)如答图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知 APBP，则点A(m,0)，对称轴DE为直线xm1(m0)，点B的坐标为(m2,0)ACP为等边三角形，APCPBP，APC60.C，A，B三点在以P为圆心PA为半径的圆上，CBOCPA6030，BC2OC，根据勾股定理得OBOC，(m22m)m2，解得m1，m22(不合题意，舍去)，m.5
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