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第3课时 二项式定理 1二项式定理二项式定理 公式公式(ab)n (nN*)叫做二叫做二项式定理其中项式定理其中Cnk(k0,1,2，n)叫叫做做 Tk1 叫做叫做二项展开式的通项，它表示第二项展开式的通项，它表示第k1项项基础知识梳理基础知识梳理Cn0anCn1an1bCnkankbkCnnbn二项式系数二项式系数Cnkankbk基础知识梳理基础知识梳理在公式中，交换在公式中，交换a，b的顺序是的顺序是否有影响？否有影响？【思考思考提示提示】从整体看，从整体看，(ab)n与与(ba)n相同，但具体到某相同，但具体到某一项是不同的，如第一项是不同的，如第k1项项Tk1Cnkankbk，Tk1Cnkbnkak.2二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端对称性：与首末两端“ ”的的两个二项式系数相等，即两个二项式系数相等，即CnmCnnm.基础知识梳理基础知识梳理等距离等距离 (3)各二项式系数的和各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的展开式的各个二项式系数的和等于的和等于2n，即，即 2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系二项展开式中，偶数项的二项式系数的和数的和等于等于奇数项的二项式系数的和，奇数项的二项式系数的和，即即Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2Cn4 .基础知识梳理基础知识梳理Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n1A16B70C1792 D560答案答案：C三基能力强化三基能力强化2二项式二项式(a2b)n展开式中的第展开式中的第二项的系数是二项的系数是8，则它的第三项的二项，则它的第三项的二项式系数为式系数为()A24 B18C16 D6答案答案：D三基能力强化三基能力强化3(1x)2n(nN)的展开式中，的展开式中，系数最大的项是系数最大的项是()答案答案：C三基能力强化三基能力强化4若若(ax1)5的展开式中的展开式中x3的系的系数是数是80，则实数，则实数a的值是的值是_答案答案：2三基能力强化三基能力强化答案答案：9三基能力强化三基能力强化通项公式中含有通项公式中含有a，b，n，r，Tr15个元素，只要知道了其中的个元素，只要知道了其中的4个元素，就个元素，就可以求出第可以求出第5个元素，在求展开式中的指个元素，在求展开式中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为解方程问题转化为解方程(或方程组或方程组)这里必须这里必须注意隐含条件注意隐含条件n，r均为非负整数且均为非负整数且rn.课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求展开式中的指定项求展开式中的指定项课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】利用通项公式求解利用通项公式求解课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】(1)正确区别二项正确区别二项展开式的某一项的二项式系数、项的展开式的某一项的二项式系数、项的系数、项三个不同概念系数、项三个不同概念(2)对于通项，要注意以下几点：对于通项，要注意以下几点：它表示二项展开式中的第它表示二项展开式中的第r1项，只要项，只要r确定，该项也随即被确定；确定，该项也随即被确定；公式表示的是第公式表示的是第r1项，而不项，而不是第是第r项；项；公式中公式中a，b的位置不能颠倒，的位置不能颠倒，它们的指数和一定为它们的指数和一定为n.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)求求n；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练rZ，k应为偶数应为偶数k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项为有项为有理项，它们分别为理项，它们分别为课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】(1)解此类问题可解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出以分两步完成：第一步是根据所给出的条件的条件(特定项特定项)和通项公式，建立方和通项公式，建立方程来确定指数程来确定指数(求解时要注意二项式系求解时要注意二项式系数中数中n和和r的隐含条件，即的隐含条件，即n，r均为非均为非负整数，且负整数，且nr)；第二步是根据所求；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；的指数，再求所求解的项；课堂互动讲练课堂互动讲练(2)求二项展开式中的有理项，一般求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致方式与求有理项的方式一致课堂互动讲练课堂互动讲练本例题已知条件不变，问：本例题已知条件不变，问：“这这个展开式中是否含有个展开式中是否含有x的一次项？的一次项？”若若没有，请说明理由，若有，请求出没有，请说明理由，若有，请求出课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1根据二项式系数的性质，根据二项式系数的性质，n为奇数为奇数时中间两项的二项式系数最大，时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时为偶数时中间一项的二项式系数最大中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不同，求展开式中系数最大项系数最大项不同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第的步骤是：先假定第r1项系数最大，则项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并求解此不等式组求得组并求解此不等式组求得课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二求二项展开式中系数最大的项求二项展开式中系数最大的项课堂互动讲练课堂互动讲练(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】根据二项式系数的根据二项式系数的性质，列方程求解性质，列方程求解n，系数绝对值最大问，系数绝对值最大问题需要列不等式组求解题需要列不等式组求解【解解】由题意知，由题意知，22n2n992，即即(2n32)(2n31)0，2n32，解得，解得n5.(2)设第设第r1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，则则TrTr1，且，且Tr1Tr2.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结思维总结】在运用二项式定理时不能在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，本例中是求本例中是求“系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项”，若改为，若改为“系数最大的项系数最大的项”又该如何处理？因为第又该如何处理？因为第4项的系项的系数为负值，所以系数最大项必是第数为负值，所以系数最大项必是第3项或第项或第5项项中的某一项比较这两项的系数中的某一项比较这两项的系数C10228与与C10426大小即可大小即可课堂互动讲练课堂互动讲练赋值法是求展开式中的系数与赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意赋值要有系数和的常用方法，注意赋值要有利于问题的解决，可以取一个或几利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为个值，常赋的值为0，1.课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三赋值法在二项展开式中的应用赋值法在二项展开式中的应用一般地，要使展开式中项的关系一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令变为系数的关系，令x0得常数项，得常数项，令令x1可得所有项系数和，令可得所有项系数和，令x1可得奇数次项系数之和与偶数次项系可得奇数次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式中含负数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令值项时，令x1则可得各项系数绝则可得各项系数绝对值之和对值之和课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)已知已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】二项展开式是一二项展开式是一个恒等式即对任意的个恒等式即对任意的xR都成立，都成立，因而可采用赋值完成因而可采用赋值完成【解解】令令x1，则，则a0a1a2a3a4a5a6a71 令令x1，则，则a0a1a2a3a4a5a6a737 2分分(1)a0C701，a1a2a3a72. 3分分(2)()2得：得：课堂互动讲练课堂互动讲练(4)法一法一：(12x)7展开式中，展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)，1093(1094)2187. 12分分法二：法二：|a0|a1|a2|a7|，即即(12x)7展开式中各项的系数和，令展开式中各项的系数和，令x1|a0|a1|a2|a7|372187. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】求关于展开式求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，特点赋给其中字母一些特殊的数，如如1，1，.课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)在二项式在二项式(2x3y)9展开式中，求：展开式中，求：(1)二项式系数之和；二项式系数之和；(2)各项系数之和；各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和系数绝对值的和解解：设：设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9 1分分(1)二项式系数之和为：二项式系数之和为：C90C91C92C9929. 3分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)各项系数之和为：各项系数之和为：a0a1a2a9.令令x1，y1，得得a0a1a2a9(23)91.6分分(3)由由(2)知知a0a1a2a91. 7分分令令x1，y1，得，得a0a1a2a3a8a9(23)959. 8分分课堂互动讲练课堂互动讲练(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a8a959. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1二项式定理及通项公式的应用二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用有时先作适当变形后再展开较为运用有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理理规律方法总结规律方法总结(2)运用二项式定理一定要牢记通项运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cnkankbk，注意，注意(ab)n与与(ba)n虽然相虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题意顺序问题(3)在通项公式在通项公式Tk1Cnkankbk(nN*)中，要注意有中，要注意有nN*，kN，kn，即，即k0,1,2，n.规律方法总结规律方法总结2项的系数与项的二项式系数的区别项的系数与项的二项式系数的区别利用通项公式求二项展开式中指定的项利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等如常数项、系数最大项、有理项等)或某些或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的区分展开式中的“项项”、“项的系数项的系数”、“项的项的二项式系数二项式系数”等概念的异同如等概念的异同如(12x)5的展的展开式中的第开式中的第3项为项为T3C5213(2x)240 x2，其，其中该项的系数为中该项的系数为C522240，而该项的二项，而该项的二项式系数为式系数为C5210.规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练
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