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wordGeoGebra 数学绘图教室(3) 函数与方程式台北县立锦和高中 陈禾凯与GSP比拟起来，GeoGebra多了输入字段，直接输入函数或方程式便立即可看到其对应图形，真是方便极了，也可如同实验一般，试着改变函数的某个参数来观察对应图形的变化，假如能配合数值滑杆或其他指令，便能创造出更多的图形.。一 直线方程式y=mx+k(1)设定两个数值滑杆，名称分别为m,k(2)输入y=m*x+k (或y=m x+k 注意m k 之间空一格表示相乘)(3)以鼠标分别拉动滑杆m, k 观察图形的变化 二 参数式虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形，但以参数式形式输入更能体会到函数中自变量与应变量的关系。为例(1)在X轴上任取一点A(2)输入t=x(A)(3)输入 P=(t, t3-3t-1) 在绘图区会显示P点 将光标移至P点，然后按鼠标右键，点选 显示移动踪迹(5)拉动X轴上A点，观察P点轨迹的变化以椭圆为例 的参数式为设定两个角度滑杆名称分别为,数值最小，最大2pi输入Curve3cos(t),2sin(t),t, 调整滑杆, 的大小，即可看到以,为X围的椭圆弧线。三 Sequence指令的应用(1)在某个区间内把 X 轴的取样点从少变多,再画出 (x, f(x) 的描点图, 如此让学生对于函数图形有更深刻的印象以为例设定数值滑杆t 最小:0 最大:40, 增量:1输入Sequence(a, sin(a), a, -2pi, 2pi, 2pi / t再拉动滑杆观察图形的变化(2)假如想把上例所出现的取样点由左而右依序出现，再加上两个步骤：新增数值滑杆n，最小0，最大50，增量1，并将sequence改为Sequence(a, sin(a), a, -2pi, -2pi+4pi *n/50, 2pi /t，当拉动滑杆n时，函数图形由左而右一点一点描绘出来。四 对数函数与指数函数的图形GeoGebra的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异，如下表：自然对数常用对数底数为10国内教科书y=ln(x)y=log(x)GeoGebray=log(x)或y=ln(x)y=lg(x)在GeoGebra之中假如输入y=log(x) 是代表的是自然对数，而常用对数是输入y=lg(x) ，假如底数为其他正数如此要用换底公式，即输入y=log(x)/log(2) 来表示(1) 画出四个函数图把这四个函数画在一起，前两个对称于轴，后两个对称于轴，又第一个和第三个以与第二个和第四个有反函数关系，两两对称于y=x。绘图步骤y=log(x)/log(a)输入y=log(x)/log(1/a)输入y=ax输入y=(1/a)x利用在y=log(x)/log(a)上画出一点A，再用对称钮找出在另三个图形上的点A,A,A1，拉动滑杆看看图形的变化(2)观察 y=loga(x) 与y=ax两图形交点的个数一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点与一点的图形，但要画出交于三点的情形如此远超出人类描绘的能力，在GeoGebra中可用数值滑杆来设定底数a的X围以方便观察此二函数相交情形。绘图步骤输入f(x)=log(x)/log(a)输入g(x)=ax另外输入h(x)= f(x)-g(x)观察当h(x)和X轴有个交点时，即此两函数图形交于点五 利撒求(Lissajous)图形这是由两个振动所形成的二维图形，每个振动均为一个正弦波所代表的简谐运动，即的轨迹图形其中a,b表振幅，w1,w2表角速度，1, 2代表相差，t为时间绘图步骤首先设定个数值滑杆，名称分别为a,b,w_1,w_2,_1,_2作线段BC长度适当即可 ,在上任取一点输入t=6 pi *DistanceB, D / DistanceB, C (以D在BC上的位置来表示0-6间的数字，X围可根据需要而自行调整)输入 A=(a*sin(w_1*t+_1),b*sin(w_2*t+_2)单击按钮，点选要显示的轨迹点，然后再点选控制点，即可画出Lissajous图形。Lissajous图形变化多端，可先从简单的图形开始观察。以下为,的情形，图形为圆、椭圆与线段。数据源：当w=2 w1 时，以w1=3, w=6为例，固定而变动到接近，图形的左右两扇区域逐渐缩小，形成抛物线，这可由以下算式看出来w1=3, w=6, w1=3, w=6, w1=3, w=6, 接着可观察的情形，可设定滑杆w1最小，最大12，增量为2，滑杆w最小1，最大13，增量为2，。w1=1, w=2w1=1, w=4w1=1, w=6w1=3, w=2w1=3, w=4w1=3, w=6w1=5, w=2w1=5, w=4w1=5, w=6经由以上的观察可以发现Lissajous的图形为限制在2a2b的矩形之中，w1,w2皆为整数的情形下曲线不管多复杂，轨迹会重复出现。由于Lissajous图形在学术上的应用广泛，因此有不少研究机构用来作为Logo，右图为美国麻省理工学院林肯实验室的首页，其中的Lissajous图形为w1=, w=,1=2= 0 的情形。六附录：常用的函数、方程式以与在GeoGebra中的输入形式函数名称与一般式例输入备注一次函数y=ax+by=3x+2y=3x+2国中一次方程式ax+by=c5x+2y=15x+2y=1国中二次函数y=ax2+bx+cy=2x2-3x+1y=2x2-3x+1国中, 高一下高斯函数y=xy=ceil(x)高一下根式函数y=sqrt(x)y=cbrt(x)或以指数函数方式输入,如y=x(1/2) 高一下指数函数y=ax+by=2xy=2x高一下绝对值函数y=|ax|+by=|x|+1|+2y=abs(abs(x)+1)+2高一上三角函数y=sin xy=cos xy=tan xy=cot xy=sec xy=csc xy=sin(x)y=cos(x)y=tan(x)y=1/tan(x)y=1/cos(x)y=1/sin(x)高一下其中有三个要以倒数关系表示三角函数的迭合y=Acos x+Bsin xy=3sin x+4cos xy=3sin(x)+4cos(x)高一下反三角函数y=asin(x)y=acos(x)y=atan(x)高一下对数函数：常用对数底数为y=log xy=lg(x)或y=log(x)/log(10)高一下对数函数：自然对数底数为e y=ln xy=log(x) 或y=ln(x)大学微积分抛物线y2=4cx , x2=4cyy2=4xy2=4x高二下圆 x2+y2=r2x2+y2=4x2+y2=4高二上双曲线x2/16-y2/25=1高二下圆锥曲线方程式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0x2+xy+y2=1x2+x y+y2=1(x y, 之间空一格或x*y表示相乘)高二下七、参考数据1. 李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君：函数 y=ax 与 y=logax 的图形交点个数的探索 数学传播季刊第 28 卷 第 4 期2. 左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译:GeoGebra使用说明3. Eli Maor着胡守仁译：毛起来说三角天下远见出版4. 麻省理工学院的林肯实验室首页： 5. 维基百科：文档
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