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通信网理论根底第二章习题2.2 求M/M/mn中，等待时间w的概率密度函数。解：M/M/mn的概率分布为：假定nm，n0，现在来计算概率Pwx，既等待时间大于x的概率。其中，Pjwx的概率为：可得：特别的，新到顾客需等待的概率为：2.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩m1、m2、m3，D表示服务时间为定值b，到达率为。解：其中 从而 又 2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间，其中B是二阶指数分布：解：M/B/1B/M/1B/B/1设到达的概率密度函数为设离去的概率密度函数为假设2.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a，服务时间为b，均为恒定值，且ab，求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率pk，顾客到达时队列的长度为k的概率vk，顾客离去时队列的长度dk，以与平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论ab的情况。解：由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经过b后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。此时有：顾客不等待时G/G/1上界公式当ab时系统将不稳定,以恒定的速率增加顾客，即每隔时间后，系统队列长度增长1。2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，解：设相邻呼叫到达间隔为t，如果服务时间，将造成呼损，时无呼损。2.8在优先级别队列中，A队为优先级，不拒绝，B队为非优先级，只准一人排队等待不计在服务中的，且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队的拒绝概率。解：说明：0状态代表系统中无顾客状态；i，j状态代表系统中正在服务且A队中有i个顾客，B队列中有j个顾客排队的状态。状态转移图如右，A队到达率为，B队到达率为，服务率，系统稳定时，应有可得到特征方程如下:由于4是差分方程，不妨设其通解为： 代入有：由于5是非齐次差分方程： 其特征根为：假设其通解为：代入前式得：解之，得：代入3式得： 即：由正如此条件：2.9排队系统中有三个队列,其到达率分别为公用同一出线路，其中a类最优先，即线路有空闲就发送；b类次之，即a无排队时可以发送，c类最低，即a，b类均无排队时可以发送，不计正在传送的业务，各个队列的截至队长为na2，nb=1，nc0，试列出稳定状态下的状态方程，并计算时，各状态的概率和三类呼叫的呼损。解：r，s，k分别表示a，b，c三队中等待的呼叫数，状态以r，s，k表示。稳态方程：归一条件 假如 令C类呼损为：B类呼损为：A类呼损为：2.10 有一个三端网络，端点为，边为与，v1到v3的业务由v2转接，设所有的端之间的业务到达率为，线路的服务率为m的M/M/1问题，当采用即时拒绝的方式时，求：1) 各个端的业务呼损。2) 网络的总通过量。3) 线路的利用率。解：令：00表示e1,e2均空闲。10表示e1忙,e2闲即e1由v1,v2间业务占用。01表示e1闲,e2忙即e2由v2,v3间业务占用。11表示e1,e2均忙，且分别由v1v2,v2v3间业务占用。表示e1,e2均忙，且由v1，v3间业务占用。状态转移图如右：当时有如下关系:又 解之得:呼损而通过量线路利用率2.11上题中的网假如用于传送数据包,到达率仍为每秒，平均包长为b比特,边的容量为c比特/秒,采用不拒绝的方式,并设各端的存储容量足够大,求:1) 稳定条件。2) 网络的平均时延。3) 总的通过量。4) 线路的平均利用率。解：这是一个无损但有时延的系统。两条线路上到达率为：2l，而服务率为：c/b的M/M/1系统。1) 稳定条件为： 2lb/c5时K5是Kn的子图，从而Knn5均不是平面图。一下是对偶图注意K4为自对偶图。一个图的邻接矩阵如左，画出此图，并求各端之间的最小有向径长。对所绘制图形的端点进展编号，得邻接矩阵。解：首先作出图形：经计算：因而有其余有向径长均为 ，或不存在。 图有六个端，其无向距离矩阵如下：1. 用P算法，求出最短树。2. 用K算法，求出最短树。3. 限制条件为两端间通信的转接次数不超过2的最短树。解：1. P算法求解：2. K算法求解：按最小边长顺序取得： 此结果意味着最短树不唯一。3. 原图有一个边长全为1的根本子图G1，要求转接次数小于等于2，假如选取G1的任何4个连续顶点，,作为根底，然后再按要求增加边，例如以为根底，增加，得到一个树长为7转接次数小于等于2的树T1，事实上，以任何4个连续顶点均可得到树长为7的转接次数小于等于2的树 图有六个端，端点之间的有向距离矩阵如下：1. 用D算法求V1到所有其他端的最短径长与其路径。2. 用F算法求最短径矩阵和路由矩阵，并找到V2至V4和V1至V5的最短径长与路由。3. 求图的中心和中点。解：1、D算法V1V2V3V4V5V6指定最短径长0V1W109 1 3V3W13093 2 V5W1508 3 7V4W1408 7 V3W160 8 V2W1202、F算法最短路径矩阵与最短路由阵为W5，R5有向距离为4，有向距离为23、 中心为V3或V5中心为V2第五章习题答案求如下图中Vs到Vt的最大流量fst,图中编上的数字是该边的容量。解：此题可以利用M算法，也可以使用最大流最小割简单计算可知：可知：最大流为12，可以安排为fs1 = 3,，fs2 =5，f12=1，f2t4，f1t=4，fs3=1，fs4=3，f3t=1，f4t=3。试移动3.54图中的一条边，保持其容量不变，是否能增大fst？如果可以，求此时的最大值，但假如所有转接端v1v2v3和v4的转接容量限制在4，如此情况将如何？解：依然按照最大流最小割定理，假如能依一边从X找到部至割中，自然可以增大流量，可以将e34移去，改为：e41 或者e42均可，使总流量增至12214。当vi(i = 1,.4)的转接容量限制到4时，等效图为右图，对于3.11中的流量分配，在此题限制下，假如将fs2由5改为4即得到一个流量为11的可行流。但假如， 如此，换句话说就是11已是最大流。s和Vt间要求有总流量fst6，求最优流量分配，图中边旁的两个数字前者为容量，后者为费用。解：图1此题可以任选一个容量为6的可行流，然后采用负价环法，但也可用贪心算法，从Vs出发的两条线路费用一样，但进入Vt的两条路径费用为7和2，故尽可能选用费用为2的线路，得如下图1。再考虑V0，进入V0的两条路径中优先满足费用为3的路径，得：图2，很容易得到最后一个流量为fst=6的图3，边上的数字为流量安排。总的费用为易用负价环验证图4的流量分配为最优流量分配。19 / 19
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