第一讲---数学建模基本要素

,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,雷达信号处理国防科技重点实验室,第一讲,:,数学建模基本要素,-,水鹏朗,雷达信号处理国防科技重点实验室,数学建模基础,第,一,章 建立数学模型,1.1,从现实对象到数学模型,1.2,数学建模的重要意义,1.3,数学建模示例,1.4,数学建模的方法和步骤,1.5,数学模型的特点和分类,1.6,怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型, ,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, ,物理模型,地图、电路图、分子结构图, ,符号模型,模型,是为一定目的，对客观事物进行简缩、抽,象、提炼出来的,原型,的替代物,而不是原型本身,.,模型,集中反映了,原型,中需要的那一部分特征,.,1.1,从现实对象到数学模型,什么是模型,?,1.1,从现实对象到数学模型,从实物到模型,交通部门：,网状图模型,行政部门：,Cartoon,模型,航空部门：,赋值图,(Graph),模型,1.1,从现实对象到数学模型,雷达探测：飞机被看做有多个具有一定空间分布的散射点构成,-,散射点模型,-,雷达成像,红外探测：飞机具有不同温度分布的几何对象,-,温度场,(,辐射场,),模型,-,红外成像,不是对象在变，是我们的手段和需求在变！,你碰到过的数学模型,“,航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米,/,小时,.,甲乙两地相距,750,千米，船从甲到乙顺水航行需,30,小时，,从乙到甲逆水航行需,50,小时，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,航行问题,建立数学模型的基本步骤,:,简化假设（船速、水速为常数）；,符号表示（,x, y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5,）,；,回答原问题（船速每小时,20,千米,/,小时,）,。,解剖,“,麻雀,”,数学模型,-Mathematical Model,数学建模,-Mathematical Modeling,一个,现实对象,，,一个,特定目的,，,据其,内在规律,，作出必要,假设,，,适当的,数学工具,，,得到的,数学结构和描述,。,数学模型,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,3W,规则,数学建模,W,hat,实际问题的,数学描述,Ho,w,数学问题如,何求解,W,hy,解释与检验,搞楚是什么,探讨如何做,多问为什么,1.2,数学建模的意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视。,工程技术领域,数学建模无处不在；,高新技术领域,数学建模必不可少；,数学是一种通用语言,跨越语种沟通障碍,.,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,数学建模不是万能的，但对于从事理工科研究的人，不会数学建模是“万万不能的”！,1.3,数学建模示例,1,.,3.1,椅子能在不平的地面上放平稳吗,?,问题分析,模型假设,通常,-,三只脚着地,放稳,-,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,x,B,A,D,C,O,D,C ,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f,(,) ,g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,),至少一个,为,0,数学问题,已知：,f,(,) ,g,(,),是,连续函数,;,对任意,，,f,(,) ,g,(,)=0 ;,且,g,(,0,)=0,，,f,(,0,) 0.,证明：存在,0,，,使,f,(,0,) =,g,(,0,) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子,旋转,90,0,，,对角线,AC,和,BD,互换,。,由,g,(,0,)=0,，,f,(,0,) 0,，,知,f,(,/2,)=0 ,g,(,/2,)0.,令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,和,h,(,/2,)0.,由,f, g,的连续性知,h,为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在,0,使,h,(,0,)=0,即,f,(,0,) =,g,(,0,),.,因为,f,(,) ,g,(,)=0,所以,f,(,0,) =,g,(,0,) = 0.,评注和思考,建模的关键,:,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和,f,(,),g,(,),的确定,解决问题的另一个数学模型,基本假定,:,1.,地面描述为连续曲面,;,2.,椅子围绕坐标原点水平旋转,;,3.,转角规定为椅子对角连线与,X,轴的夹角,记为,;,4.,椅子四个脚在,x-y,平面上的坐标分别为,x,B,A,D,C,O,D,C ,B,A,问题分析,:,椅子四脚着地等价于四个脚都落在曲面上,并且四个落点共面,数学模型,:,设 是一个连续曲面,则存在角度,使得曲面上的四个点,共面,.,模型求解,:,基本定理,:,空间中四点 共面,行列式,引进函数,是,的连续函数,如果,表明,如果,由介值定理,存在,使得,因此,总是存在一个旋转角度,使得椅子的四,脚水平落在曲面上,(,即放平稳,),1.,3.2,商人们安全过河问题,?,问题,(,智力游戏,), ,3,名商人, ,3,名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,.,但是乘船渡河的方案由商人决定,.,商人们怎样才能安全过河,?,问题分析,多步决策过程,决策,每一步,(,此岸到彼岸或彼岸到此岸,),船上的人员,要求,在安全的前提下,(,两岸的随从数不比商人多,),经有限步使全体人员过河,.,河,小船,(,至多,2,人,),模型构成,x,k,第,k,次渡河前此岸的商人数,y,k,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k, y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2, ,s,k,=(,x,k, y,k,),过程的状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S ,允许状态集合,u,k,第,k,次渡船上的商人数,v,k,第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k, v,k,),决策,D=(,u, v,),u+v,=,1, 2 ,允许,决策,集合,u,k, v,k,=0,1,2;,k,=1,2, ,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并,按,转移律,由,s,1,=(3,3),到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法,编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,) ,16,个格点,10,个,点,允许决策,移动,1,或,2,格,;,k,奇,左下移,;,k,偶,右上移,.,d,1,，,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,x,y,3,3,2,2,1,1,0,s,1,s,n,+1,d,1,d,11,允许状态,S=(,x, y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将对象看作,“,黑箱,”,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究,(Case Studies),来学习。以下建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,1.4,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,表述,求解,解释,验证,(,归纳,),(,演绎,),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,归纳和演绎,-,在数学建模中的作用,归纳就是从现象发现事物本质运行规律的过程,观察到的现象,:,数据记录,常识与结论,.,演绎就是从已知和证实的运行规律,通过合理的分析和推导得出新的结论和规律,.,数学上的定理和推论都是从基本公理通过演绎得到的重要结论,工学中,同样从电子线路的基本原理,(,定律,),可以演绎出许多重要结论,.,归纳和演绎能力在科学发现中缺一不可,.,从第谷到万有引力定律,第谷,(1546-1601),丹麦天文学家。自幼过继给伯父,约尔根,布拉赫为子，受到良好的教育，曾先后在,哥本哈根大学、莱比锡大学、罗斯托克大学、巴,塞尔大学等多所大学求学。第谷对天文学的重大,贡献在于他通过长期观测积累的有关行星运行的,大量数据资料，成为那个时代罕见的天文观测家，,获得,“,星学之王,”,的美称。,数据积累,大量现象记录,-,科学发现的基础,从第谷到万有引力定律,(,续,),开普勒,(1571-1630),德国天文学家,第谷的学生。,从现象发现规律,第一定律,(,椭圆定律,),:,每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中,.,第二定律,(,面积定律,),:,在相等时间内，太阳和运动中行星的连线所扫过的面积都是相等的,.,第三定律,(,调和定律,),:,各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道半长轴的立方成正比,.,从第谷到万有引力定律,(,续,),牛顿爵士,是历史上曾出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术与神学。他在,1687,年发表的不朽著作,自然哲学的数学原理,里用数学方法证明了宇宙中最基本的法则,-,万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是,“,人类智慧史上最伟大的成就,”,，由此奠定了之后三个世纪中物理世界的科学观点，并成为现代工程学的基础,.,万有引力定律,自然界总是以最简单、,最美的方式运行,If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants.-Newton,如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上,.,自然界与数学的简约,1.5,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的稳健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1.6,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进现有模型,亲自动手，认真作几个实际题目,课后作业,椅子的四条腿呈矩形时,凹凸不平地面上四脚着,地问题的数学建模和求解,.,四个商人四个随从能安全渡河吗,?,尝试自己总结一下数学建模的基本步骤,.,