点与坐标平面典型例题赏析-上海进才中学北校信息管理系统

点与坐标平面典型例题赏析上海进才中学北校 郭秀丽点、 线、 面是我们学习几何图形的一个渐进的过程， 在平面上建立平面直角坐标系后，这个平面就是坐标平面，坐标平面的建立就把代数和几何统一起来，达到数、形的完美结合。本部分知识是函数的基础， 函数是初中数学的重要内容， 函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。命题时着重于应用性、综合性，同时呈现出图象、图形、表格等多种信息表达形式 . 这样命题也是向课程标准靠拢的必然趋势.我们要学习好函数必须先处理好点与坐标平面的关系， 下面我们就此来赏析几道例题。例1、若点M（x,y）满足xy=0,则点M只能位于 （）A. 原点 B. x 轴或 y 轴上C. x 轴上 D. y 轴上【分析】 注意坐标平面四个象限的位置，坐标轴不属于任何一个象限，在x轴上的点的特征是其纵坐标都为 0， 在 y 轴上的点的坐标的特征是横坐标都为0,由xy=0,我们可以知道是x=0或y=0这样我们就选 B。注意这里可能会出现由 xy=0 得出 x=0 且 y=0 选 A 的情况。例 2、点 P（-2 ， 3）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A. （-2 ， 3）B. （2， 3） C. （2， -3） D. （-2 ， -3 ）【分析】由对称点的坐标特征，可知选 D.本例是由坐标找点，再由点找坐标，如果轴对称等有关概念不清易出现其它答案。例3、设A （x, 7）, B （-3, y）,且AB/ x轴，则x, y的取值分别为。【分析】我们要知道平行于 x 轴的所有的点的纵坐标都是相同的，而横坐标则没有要求，这样就有了答案： x 取任何实数，y=0。这道题主要是要知道平行于 x 轴的直线上的所有点的纵坐标都相同， 平行于y 轴的直线上的所有的点的横坐标都相同。到底是横坐标相同还是纵坐标相同，容易出现问题。例4、P （x, y）是直角坐标平面内的点，且 xy0, x+y0 ， x+y0 知道 x0 且 y0m-2V Q点到x轴，y轴的距离相等| m+1|=|3m-5|m+1= (3m-5)当 m+1=3m-5时，m=3当 m+1=-(3m-5)时，m=1本例容易看成点P在第四象限而不是P关于原点的对称点在第四象限导致 错误的取值范围。我们要注意距离这个概念，点到直线的距离是点到直线的垂线 段的长度，距离用符号语言表示的时候一定要注意用绝对值符号。否则就丢失了一个值。例6、如图，点A、R C的坐标分别为(2, 3), (-2, -1), (1, 1),求4ABC 的面积。【分析】 ABC不是特殊三角形，要求出 ABC的面积只有作出辅助线，在坐 标平面内过已知点作辅助线一般是作坐标轴的垂线，这里我可以过点A 作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，过点C作x轴y轴的垂线，这样 就构造出特殊的三角形和四边形来求解。解：过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，过点C作x轴、y轴的垂线， 交点分别为点D E、F。. AD/ y轴.点D的横坐标和点A的横坐标相等为V BD/ x轴.点D的纵坐标和点B的纵坐标相等为 .AD=4 BD=4SA AB= S ABD - S BC S AACF- S CEDF同理：BE=3 CF=1, AF=2 FD=2= -BD- AD- BE- CE- CF- AF-ED- DF222= 1X4X4X3X2- - X1X2-1 X2222=2答：ABC勺面积为2。一般不容易求的几何图形的面积可以化为几个特殊图形的面积来处理，这种转换的方法后面的函数及其图象里应用比较多， 特别是在我们学习了二次函数以 后体现得更充分。例7、已知坐标平面内一点 M (-2, 1)(1)若点N与点M关于第一、三象限内两坐标轴夹角平分线对称，求点 N的 坐标。(2)若点N与点M关于第二、四象限内两坐标轴夹角平分线对称，求点 N的坐标。【分析】我们所学的在坐标平面内点的对称问题一般是关于坐标轴和原点对称 的问题，而本例则是关于两坐标轴夹角的平分线德望对称问题，很明 显我们要把它转化为关于坐标轴对称或原点对称的问题来处理。我们 可以由点找坐标的方法过点 M作坐标轴的垂线，得到垂足，再由角平 分线所在直线是这个角的对称轴找出两个垂足关于角平分线的对称 点，再由坐标找点，此题得解。解：(1)设点N (x, y)与点M (-2,1)关于直线l对称，由M N分别向两 坐标轴作垂线，得垂足 M足与M, N与N (如图)，可知N与M, N与M也都关 于直线l对称。因为M点的坐标为(-2, 1),所以M O=2, O M=1,所以O Ni= O M2=1,O Nj= Mi O=2,即 x=1, y =2,因为 N (x, y)在第四象限。则 x=1, y=-2 ,即可得到点N的坐标为(1,-2)。(2)如图，设直线l为第三、四象限内两坐标轴夹角平分线，N (x, y)与 M (-2,1)关于直线l对称，由以上推理我们可得此时点 N的坐标为(-1 , 2)。由以上特例我们可以得出，点 M(a, b)关于第一、三象限内两坐标轴夹 角平分线对称点的坐标为N (b, a)；点点M (a, b)关于第二、四象限内两坐标 轴夹角平分线对称点的坐标为 N (-b, -a)0坐标平面内某些特殊位置的点，或 者点与点之间的某些特殊位置，它们的坐标往往有一定的关系，比如：在第一、 三象限内两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标相等，即x=y；在第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标则是互为相反数，即 x+y=0o练习题一、选择题：1、若a为整数，且点M(3a 9, 2a10)在第四象限，则a2+1的值为().(A) 17(B) 16(C) 5(D) 42、点M3,y)在直线y= x上，则点M关于x轴的对称点为().(A) (3,3) (B) (3,3) (C) (-3,3) (D) (-3,-3)3、点P(1,3)关于原点对称的点的坐标是A. (_1,4)B. (1,-3)C. (1, 3)D. (-3, 1)4、在直角坐标系中，点A( 1,m2 +1)一定在()A.第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限5、长方形ABCDK 三点的坐标分别是(0, 0) , (5, 0) , (5, 3)点D的坐标是()A、(0,5)B、(5,0)G(0,3) D(3,0)二、填空题：6、点M (a, b-2 )关于x轴对称的点N坐标是。7、已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1,点P的坐标是。(写出合条件的一个点即可)8、已知点P的坐标为(2-a, 3a + 6),且点P到两坐标轴的距离相等，则点 P坐标是。9、若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为.10、无论x为何实数值，点P (x +1 , x - 1 )都不在第 象限。三、解答题：11、一个腰长为4的等腰直角 ABC它的底边AB在x轴上，直角顶点C在y轴上，试写出这个三角形三个顶点的坐标(点A在点B的左边)12、点A (0,-3)，点B (0,-4)，点C在工轴上，如果 ABC的面积为15,求点C的坐标.13、已知点A(a-b,b)与点B(2a,-1)关于x轴对称，求P(a,b)的位置14已知PWa2,-2),Q(b2+1,C)两点，试判断它们在直角坐标系中的位置。15、在平面直角坐标系中，请你找出28个点，使顺次 连接各点所得到的封闭图形是如图所示的“井”字.16、如图，写出五边形OABC购各个顶点的坐标。 哪些点的纵坐标相同？(2)线段AB与坐标轴的位置关系如何？写出线段OA与BC的关系；(4)四边形OABO什么四边形？17、在直角坐标系中，有四个点A (-8,3)、B (-4,5)、C(0,n)、D(m50),当四边形ABCD勺周长最短时，m的值为 n练习题解答:1、A 2、B 3、B 4、6、(a,2-b) 7 、(-2,3)等 8、(3, 3) (6, -6) 9、(-3 , 0) (3, 0)10、11 A (-2, 0), B (2,00, C (0, 2)或(0, -2)12设点C的坐标为(x, 0),则S AAB(=AB , OC=- 则 x= 307所以点C的坐标为,30,0 ,713、: A(a-b,b)与点B(2a,-1)关于x轴对称 a-b=2a, b=-(-1)=1a=-1,b=1. P(a,b)即P(-1,1)在第二象限角平分线上。14 、 V Va2 0, -20当c0时，Q点在第一象限当c = 0时，Q点在x轴正半轴上当c0时，Q点在第四象限15、略16、0(0, 0) , A( 1, 一 3) , B(4, 一 3) , C(5, 0) , D(3, 2)。(1)A点与B点，。点与C点(2)AB/x 轴，ABy 轴(3)OA平行且等于BC(4)平行四边形。17、A关于x轴的对称点是E (-8,-3), B关于y轴的对称点为F (4, 5) 设过EF的直线解析式为y=kx+bo如图，则 -8k+b=-34k+b=5 14 y 27斛行k = 一 , b =一。33人 r 7)人 令 y=0,贝U D , -,0 。令 x=0,贝UC02 2)即 m =，n = 723所以 m = -3n 2